Лекция № 56.

4.3. Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом второго рода по границе L области D и двойным интегралом по этой области.

Теорема.

Построим область D и её границу L:

y М

А В

N

O а b х

Докажем для второго члена правой части формулы Грина

Аналогично доказывается и другая часть формулы Грина

Пример 1. Используя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл , гдеL  полуокружность и отрезок.

.

4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

Соединим две точки А и В двумя кривыми

М

В

А

N

Потребуем, чтобы или

(2)

Используя формулу Грина, с учетом условия (2), получаем

. (3)

Соотношение (3) означает, что выражение есть полный дифференциал некоторой функции, т.е.и тогда

Таким образом, значение интеграла не зависит от формы кривой, а зависит только от начальной и конечной точек линии интегрирования.

Как найти функцию ? у

Зафиксируем точку ,

а точка  текущая. Линию

интегрирования L выберем так,

как показано на рисунке:

х

Тогда

.

Пример 2. Найти функцию для выражения

.

Проверим является ли это выражение полным дифференциалом:

.

Тогда

Замечание 1. В рассмотренном примере в качестве точки М₀ можно взять точку (1, 1). Почему нельзя взять точку (0, 0)?

Тема 5 : Поверхностные интегралы

5.1. Поверхностные интегралы первого рода

Пусть в пространстве задана некоторая поверхность , на которой определена функция, где точка. Если в крат-ном интеграле в качестве областирассмотреть поверхность, а качестве меры – площадь этой поверхности, то получим частный случай кратного интеграла, который называетсяповерхностным интегралом пер-вого рода:

.

Из определения следует, что свойства поверхностного интеграла первого рода аналогичны свойствам кратного интеграла.

Как было показано в лекции 53, элемент площади проекции поверх-ности вычисляется по формуле , где элемент поверх-ности,

и тогда формула для вычисления интеграла принимает вид

,

где D - проекция поверхности в плоскостьОху, а  уравнение поверхности .

Замечание 2. Аналогично можно получить формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода в случае задания уравнений поверхности в виде или.

Пример 3. Вычислить , где часть поверхности конуса:

Так как уравнение поверхности в этом случае имеет вид , тои тогда получаем

,

где D  круг .

Переходя к полярным координатам, получим

.