Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
cd495 / klvm3.doc
Скачиваний:
25
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
5.6 Mб
Скачать

Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл

3.1. Определение и вычисление тройного интеграла

Исходя из определения кратного интеграла, имеем

.

Замечание 1. Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам крат-ного интеграла.

Определение. Правильной пространственной областью V называется область, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Верхняя и нижняя границы области V задаются уравнениями: исоответственно;

2. Всякая прямая, параллельная оси Oz, пересекает верхнюю и нижнюю границы области V не более чем в двух точках;

3. Проекция областиV в плоскость Oxy является правильной в направлении осей Oy или Ox областью D.

z

V

O y

a

D

b

х

Если V правильная область, то можно показать, что вычисление тройного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла

.

3.2. Замена переменных в тройном интеграле

Пусть заданы непрерывно дифференцируемые функции

которые осуществляют взаимно однозначное отображение области в координатахна областьV в координатах . Тогда аналогично, как и для двойного интеграла, получим формулу замены переменных в тройном интеграле

(1)

где определитель J = называетсяякобианом.

В качестве примера рассмотрим цилиндрические координаты. В цилиндрических координатах положение точки определяется координатами .

z

O y

x

Из рисунка видна связь декартовых координат с цилиндрическими

Если теперь в формуле (1) положить , то получим

так как якобиан для цилиндрических координат имеет вид

Здесь  уравнения нижней и верхней границ об-ласти V в цилиндрической системе координат, а  границы области D в полярной системе координат.

3.3. Приложения тройного интеграла

3.3.1. Объём тела.

Если положить , то из определения тройного интеграла следует, что

Пример 1. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

Изобразим данную область z

1

O 1 y

x

3.3.2. Центр масс (тяжести) тела.

Если  плотность области V, то, как было показано ранее, масса тела будет равна

Рассуждая аналогично, как и для случая двойного интеграла находим координаты центра масс (тяжести)

(2)

Замечание 2. Формулы (2) для однородного тела преобразуются аналогично, как и для случая двойного интеграла.

Пример 2. Найти координаты центра масс (тяжести) тела, ограничен-ного поверхностями: , если известна его плот-ность.

z

O y

x

В цилиндрических координатах

Тогда в силу симметрии тела и функции плотности относительно оси аппликат имеем хС = уС = 0 и

3.3.3. Моменты инерции.

Аналогично, как и для двойного интеграла, получаем выражения для моментов инерции относительно координатных осей

Пример 3. Найти момент инерции однородного бруса длиною l, a и b размеры прямоугольного поперечного сечения.

z

a

b y

x

,

где т  масса бруса.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.