- •Курс лекций
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 51. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 52
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •. Лекция № 53
- •Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 55. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 56.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 57. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 58. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 59
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 60. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 61. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 62. Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 64. Тема 6 : Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Дискретные законы распределения
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Непрерывные законы распределения
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция № 65
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •Лекция № 66. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Элементы математической статистики Лекция № 67. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 68
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 69. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 70
- •1.3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 71. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 72
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 73
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 74. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 75.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •С о д е р ж а н и е
2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
Напомним связь между декартовыми и полярными координатами:
Вычислим якобиан для этого случая, полагая
.
Тогда формула (4) для вычисления двойного интеграла примет вид
(5)
О
Замечание 2. Из геометрического смысла якобиана следует, что площадь элементарной площадки в полярной системе координат вычисляется по формуле элемент площади в полярной системе координат.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл , пере-ходя к полярной системе координат, где область
у
а
-а О а х
Пример 2. Вычислить интеграл Пуассона .
Рассмотрим областьy
.
Перейдём к полярным
координатам.
Тогда О R x
.
Таким образом, интеграл Пуассона .
2.5. Приложения двойного интеграла
2.5.1. Площадь плоской области.
Если подынтегральная функция , то площадь областиD в ДСК равна или в полярной системе координат, что следует из определения двойного интеграла.
Пример 3. Найти площадь у
области
D
Изобразим данную О 2 х
область на рисунке и
вычислим ее площадь:
Пример 4*. Найти площадь у
фигуры, ограниченной линией
.
Изобразим данную область х
на рисунке.
Перейдём к полярной системе
координат
.
Из рисунка следует
Для вычисления этого интеграла воспользуемся заменой
-
0
t
0
1
и формулой . Тогда имеем
. Лекция № 53
2.5.2. Объём тела.
Объём тела, ограниченного снизу поверхностью , сверху -, из геометрического смысла двойного интеграла вычисляется по формуле
.
Пример 1. Найти объём тела, z
ограниченного поверхностями
.
1 2 y
x
Этот результат легко проверить, если вычислить объём соответству-ющей пирамиды.
2.5.3. Площадь поверхности.
Пусть поверхность с площадью задана уравнением, а её проекцией на плоскостьОху является область D.
Как известно, нормальным вектором к поверхности будет вектор . Выделим на данной поверхности элемент, проекцией которого в областьD с точностью до б.м.в. более высокого порядка служит элемент .
z
y
x
Так как ,
то, интегрируя , находим.
Пример 2. Найти площадь поверхности сферы
Уравнение верхней половины сферы имеет вид . Тогда
и .
Областью интегрирования является круг .
2.5.4. Масса плоской фигуры.
Как было показано ранее, масса тела, в частности плоского, с плотностью вычисляется по формуле
.
Пример 3. Найти массу плоской фигуры с плотностью , заданной областью
В силу симметрии имеем
2.5.5. Центр масс (тяжести) плоского тела
Из механики известно, что координаты центра масс (тяжести) системы материальных точек определяются по формулам
. (1)
Разобьём данное плоское тело на п частей и выберем в каждой из этих частей произвольно точки . Тогда масса каждой части будет равна, где плотность плоского тела, и согласно формулам (1) получаем
Переходя в этих формулах к пределу при , имеем
(2)
Замечание. Если плоское тело однородное , то формулы (2) принимают вид
; . (3)
Пример 4. Найти центр тяжести однородной равнобедренной трапеции высотой h и основаниями 2а и 2b
Выберем систему координат как показано на рисунке.
Воспользуемся формулами (3) у
и проинтегрируем сначала
по х, а затем по у (почему?).
Составим уравнения сторон
трапеции, как уравнения прямых,
проходящих через две точки: -а О b a x
В силу симметрии координата . Так как площадь трапеции равна , то получим
.
2.5.6. Моменты инерции.
Аналогично можно получить формулы для нахождения моментов инерции плоской фигуры.
Для системы материальных точек моменты инерции относительно коор-динатных осей равны: ; , а относительно центра координат –.
Тогда, соответственно, если плотность фигуры, то
Пример 5. Найти момент инерции однородного круга радиусом R относительно его центра, совпадающего с началом системы координат.