- •Курс лекций
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 51. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 52
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •. Лекция № 53
- •Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 55. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 56.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 57. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 58. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 59
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 60. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 61. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 62. Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 64. Тема 6 : Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Дискретные законы распределения
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Непрерывные законы распределения
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция № 65
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •Лекция № 66. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Элементы математической статистики Лекция № 67. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 68
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 69. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 70
- •1.3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 71. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 72
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 73
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 74. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 75.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •С о д е р ж а н и е
Тема 4 : Элементы теории корреляции
4.1. Статистические зависимости
Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от другой случайной величины Х.
Две случайные величины могут быть связаны определённой зависимостью, которую принято называть статистической, или быть независимыми.
Определение 1. Статистической называется зависимость, при которой изменение одной случайной величины Х влияет на распределение другой случайной величины Y. Если при этом изменяется еще и среднее значение случайной величины Y, то такая зависимость называется корреляционной.
Например, пусть Х сумма затрат на подготовку лавы, а Y уровень добычи угля. При одинаковых затратах на подготовку лав добыча угля будет отличаться, т.е. СВ Y не является функцией от Х. Это можно объяснить влиянием случайных факторов (глубиной залегания пласта, его мощностью, сортностью угля и т.п.). Тем не менее, средняя добыча угля является функцией от суммы затрат, т.е. случайные величины Y и Х связаны корреляционной зависимостью.
4.2. Линейная регрессия
Определение 2. Выборочным уравнением линейной регрессии случайной величины Y на Х называется уравнение вида
(3)
Уравнение (3) часто называют просто уравнением линейной регрессии, а угловой коэффициент выборочным коэффициентом регрессии.
Для отыскания выборочного уравнения регрессии воспользуемся методом наименьших квадратов, т.е. мы должны минимизировать функцию суммы квадратов отклонений
Как было показано ранее, в этом случае коэффициенты уравнения (3) определяются по формулам
(4)
где
Пример 2. Найти выборочное уравнение линейной регрессии СВ Y на Х по данным 10 наблюдений:
п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
X |
1,5 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
5,0 |
6,0 |
7,5 |
8,5 |
9,0 |
9,5 |
Y |
11,0 |
10,0 |
9,0 |
8,0 |
7,5 |
7,5 |
7,0 |
6,5 |
5,5 |
5,0 |
Составим расчетную таблицу:
1,5 |
11,0 |
2,25 |
16,50 |
2,5 |
10,0 |
6,25 |
25,00 |
3,0 |
9,0 |
9,00 |
27,00 |
3,5 |
8,0 |
12,25 |
28,00 |
5,0 |
7,5 |
25,00 |
37,50 |
6,0 |
7,5 |
36,00 |
45,00 |
7,5 |
7,0 |
56,25 |
52,50 |
8,5 |
6,5 |
72,25 |
55,25 |
9,0 |
5,5 |
81,00 |
49,50 |
9,5 |
5,0 |
90,25 |
47,50 |
По формулам (4) получим и.
Таким образом, линейная регрессия имеет вид .
Проверим, насколько хорошо полученные результаты согласуются с наблюдаемыми данными. Найдем отклонения
1,5 |
10,23 |
11,0 |
-0,77 |
2,5 |
9,62 |
10,0 |
-0,38 |
3,0 |
9,31 |
9,0 |
0,31 |
3,5 |
9,00 |
8,0 |
1,00 |
5,0 |
8,08 |
7,5 |
0,57 |
6,0 |
7,46 |
7,5 |
-0,04 |
7,5 |
6,53 |
7,0 |
-0,47 |
8,5 |
5,92 |
6,5 |
-0,58 |
9,0 |
5,61 |
5,5 |
0,11 |
9,5 |
5,30 |
5,0 |
0,30 |
Как видим из таблицы, не все отклонения достаточно малы. Это объясняется недостаточным количеством наблюдаемых данных.