Элементы математической статистики Лекция № 67. Введение

1. Предмет математической статистики

Определение 1. Математической статистикой называется раздел мате-матики, изучающий методы получения, описания и обработки закономер-ностей массовых случайных событий.

Основной метод изучения случайных величин в математической ста-тистике является выборочным. Его идея состоит в том, что о тех или иных свойствах генеральной совокупности (общая совокупность объектов) судят на основании изучения свойств выборочной совокупности (выборки).

Пусть генеральная совокупность состоит из N объектов, подлежащих изучению относительно некоторой случайной величины X (размер, вес, брак и т.д.). Из этой совокупности берётся выборка объёма n и подвергается сплошному исследованию, т.е. находятся значения исследуемого приз-нака всех объектов, входящих в выборку. По результатам такого иссле-дования судят о всей генеральной совокупности.

К основным задачам математической статистики относятся:

1. Задача определения закона распределения случайных величин по статистическим данным, т.е. приближенно найти функцию распределения случайной величины Х, которая приняла значения: .

2. Приближенно найти (оценить) параметры закона распределения, т.е. математическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики случайной величины.

3. Проверить ту или иную статистическую гипотезу, высказанную относительно закона распределения случайной величины. Например, что случайная величина имеет нормальное распределение.

4. По данным наблюдений случайных величин Х и Y оценить степень связи между ними. Например, что между ними имеется практически линейная связь.

Тема 1: Статистические законы распределения выборки

1.1. Полигон и гистограмма

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение наблюдалось , ,…, раз и объём выборки.

Наблюдаемые значения называютсявариантами. Количество наблюдений значенияназываетсячастотой, а величина отно-

сительной частотой.

Определение 2. Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот.

			…
			…

Если варианты выборки расположены в возрастающем порядке, то такое статистическое распределение называется вариационным рядом.

1. Рассмотрим случай дискретной случайной величины.

Определение 3. Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки:

Аналогично определяется полигон относительных частот.

Пример 1. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки

	2	4	5	6	8
	10	40	20	15	15

Здесь 10 + 40 + 20 + 15 + 15 = 100, а

w

0,4

0,2

0,1

0 2 4 5 6 8 x

2. Случай непрерывного распределения выборки.

В этом случае весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят - сумму частот вариант, попавших вi-ый интервал.

Определение 4. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием h и высотой  плотность частоты.

Аналогично определяется гистограмма относительных частот .

Из определения следует, что гистограмма относительных частот приближенно определяет плотность распределения вероятности случай-ной величины.

Пример 2. По данным распределения выборки построить гистограмму частот

i
1		10	2,5
2		20	5
3		50	12,5
4		12	3
5		8	2

Здесь 10 + 20 + 50 + 12 + 8 = 100, а

12,5

5,0

2,5

0 1 5 9 13 17 21 x