Лекция № 65

6.2.3. Нормальное распределение

Определение 3. СВ X называется распределённой по нормальному закону, если функция плотности распределения .

Определим смысл параметров a и . Для этого вычислим:

,

так как первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, а второй является интегралом Пуассона.

Таким образом, . Аналогично можно показать, что, т.е..

График функции нормального распределения имеет вид (Лекция 22)

f(х)

О а х

Здесь точки перегиба, .

Если вычислить значения центральных моментов

,

то получим

Часто на практике в качестве числовых характеристик используются так называемые эксцесс  Ex и коэффициент асимметрии  As. В частности, для нормального распределения они равны:

Таким образом, эти коэффициенты определяют степень отклонения распределений от нормального.

Вероятность попадания в заданный интервал случайной величины, имеющей нормальное распределение, определяется по формуле

(1)

Следствие 1. При ииз формулы (1) получаем

. (2)

Следствие 2. Если положить в формуле (2) и учесть, что при, то получим

. (3)

Выражение (3) представляет собой так называемое правило трёх сигм. Оно означает, что практически в интервале находятся все возможные значения нормально распределённой СВ.

Нормальный закон распределения играет в теории вероятностей важную роль, так как является предельным законом, к которому приближаются многие другие законы. Это отражено в центральной предельной теореме Ляпунова.

Теорема. Если Х  сумма большого числа независимых случайных величин , которые имеют различные распределения и их влияние на СВХ незначительно, то Х имеет распределение близкое к нормальному. А в пределе СВ Х стремится к нормальному закону.

Нормальный закон широко используется в теории ошибок, в теории стрельбы, теории надёжности и т.д.

Пример 3. По цели, имеющей вид полосы, ширина которой 20 м, ведётся стрельба в направлении перпендикулярном полосе. Прицеливание ведётся по средней линии. Среднее квадратическое отклонение (точность прицела) в направлении стрельбы равна . Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

у

10 а = 0 10 х

Здесь

Подставляя в формулу (2) эти значения, получим

Тема 7 : Закон больших чисел

Этот закон обосновывает устойчивость средних, т.е. при очень большом числе случайных событий их средний результат практически перестаёт быть случайным и может быть предсказан с большой точностью. Какие условия необходимы для этого?

7.1. Неравенство Чебышева

Теорема 1. Если случайная величина Х имеет конечную дисперсию, то для справедливо неравенство

.

Доказательство проведём для непрерывной СВ.

Из рисунка

х

следует

что и требовалось доказать.

Пример 3. Дана случайная величина Х с математическим ожиданием и дисперсией. Оценить вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания не менее, чем на .

Положим в неравенстве Чебышева , тогда верхняя граница вероятностей

,

что верно для всех законов распределения СВ.

7.2. Теорема Чебышева

Теорема 2. Если  независимые СВ, имеющие конечные дисперсии, т.е. , то

Рассмотрим новую СВ и применим к ней неравенство Чебышева

.

Переходя к пределу при и, учитывая что, получаем теорему Чебышева.

Следствия:

1. Теорема Бернулли. Если  число наступления события А в п независимых испытаниях, а р  вероятность А, то

Пусть  число появления события A в одном испытании, т.е.

	0	1
p	q	p

Тогда и

Подставляя в неравенство Чебышева соответствующие значения, полу-чаем теорему Бернулли.

2. Если для последовательности независимых случайных величин вы-полняется равенство , то

Доказательство следует из теоремы Чебышева.

Этот частный случай даёт основание правилу среднего арифметичес-кого, употребляемого в теории измерений, т.е. если результаты измерений: , то искомая величина. Следовательно, увеличивая число измерений, мы получим более надежный результат.

Пример 3. Дисперсия каждой из попарно независимых случайных величин не превышает 10. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического 16000 этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превосходит 0,25.

По условию

Тогда по теореме Чебышева С = 10 и искомая вероятность