- •Курс лекций
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 51. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 52
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •. Лекция № 53
- •Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 55. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 56.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 57. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 58. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 59
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 60. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 61. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 62. Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 64. Тема 6 : Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Дискретные законы распределения
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Непрерывные законы распределения
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция № 65
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •Лекция № 66. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Элементы математической статистики Лекция № 67. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 68
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 69. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 70
- •1.3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 71. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 72
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 73
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 74. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 75.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •С о д е р ж а н и е
4.3. Непрерывная св. Функция распределения
и плотность распределения вероятностей
Функция распределения вероятностей непрерывной СВ определяется аналогично как и для дискретной . В этом случаеявляется непрерывной функцией и обладает свойствами1-4. Однако, если непрерывная, то вероятность любого определённого значения непрерывной СВ равна нулю, так как
Для локальной характеристики непрерывной СВ вводится понятие плотности распределения вероятностей.
Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распре-деления . Вычислим вероятность попадания этой СВ в интервал. По свойству4, получаем .
Рассмотрим отношение , т.е. “среднюю“ вероятность и устремим
.
Определение 3. Плотностью распределения вероятностей или диффе-ренциальной функцией распределения называется функция .
Из этого определения следуют её свойства:
1. , как производная от неубывающей функции.
2. Вероятность попадания СВ в интервал равна
так как вероятность попадания СВ в интервал длины
3. , так как
4. , что следует из свойства3 и того, что
Пример 3. Найти интегральную функцию по заданной дифференциаль-ной и вероятность попадания СВ в интервал , если
Найдём значение параметра а из свойства 4 дифференциальной функции
или
а по свойству 3 находим интегральную функцию
Вероятность попадания в заданный интервал можно определить по формулам из свойства 4 интегральной функции или из свойства 2 дифференциальной функции. Воспользуемся формулой
.
Приведём графики дифференциальной и интегральной функций.
3
1
0 1 х 0 1 х
Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
5.1. Математическое ожидание св
Часто на практике закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться неполными сведениями о СВ. Тогда полезно использовать некоторые параметры, которые суммарно описывают СВ. Такие параметры называются числовыми характеристиками. К их числу, в частности, относится математическое ожидание.
5.1.1. Рассмотрим случай дискретной СВ.
X |
… | |||
p |
… |
|
Обозначим её среднее значение через М(Х), тогда
,
так как .
Определение 1. Математическим ожиданием дискретной СВ называ-ется величина
. (1)
Замечание. Если число возможных значений дискретной СВ беско-нечно, то
,
при условии сходимости ряда.
Из определения математического ожидания следуют его свойства:
1. Если .
2. Если .
3. .
Действительно, рассмотрим две СВ с законами распределения
X |
… | ||
p |
… |
Y |
… | ||
q |
… |
Тогда СВ принимает возможные значения с вероят-ностьюи тогда
.
4. Если Х и Y независимые СВ, то .
Так как , то
.
Следствие. .
Пример 1. Найти математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Пусть Х и Y СВ выпадения очков на двух костях соответственно:
X |
1 |
… |
6 |
p |
… |
|
Y |
1 |
… |
6 |
p |
… |
|
Тогда
.
5.1.2. Для непрерывной СВ выражение представляет собой среднее значение этой СВ на интервале длинойи тогда её среднее значение
. (2)
Замечание. Математическое ожидание непрерывной СВ имеет анало-гичные свойства.