- •Курс лекций
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 51. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 52
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •. Лекция № 53
- •Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 55. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 56.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 57. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 58. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 59
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 60. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 61. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 62. Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 64. Тема 6 : Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Дискретные законы распределения
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Непрерывные законы распределения
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция № 65
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •Лекция № 66. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Элементы математической статистики Лекция № 67. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 68
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 69. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 70
- •1.3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 71. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 72
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 73
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 74. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 75.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •С о д е р ж а н и е
3. Размещения.
Всякое упорядоченное подмножество, содержащее k элементов данного множестваМ из n элементов, называется размещением из n элементов по k.
Число размещений .
Пример 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 ?
Поформуледляразмещений находим количество всевозможных трех-
значных чисел
Замечание. Часто при решении задач число п достаточно велико, поэтому в таких случаях полезно использовать формулу Стирлинга
4. Основные правила комбинаторики.
Правило суммы. Если некоторый объект можно выбратьп разными способами,а объект можно выбратьт разными способами, причем никакой выбор не совпадает ни с каким выбором, то один из объектовилиможно выбратьспособами.
Пример 5. На двух полках находится 35 и 40 книг соответственно. Сколькими способами можно выбрать одну книгу ?
По правилу суммы находим число всех возможных способов выбора
Правило произведения. Если некоторый объект можно выбратьп разными способами и при каждом выборе объекта объектможно выбратьт разными способами, то выбор пары объектов можно осуществитьспособами.
Пример 6. В группе 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек. Сколькими способами можно выбрать одного юношу и одну девушку для участия в конкурсе?
Каждый из п = 8 вариантов выбора юноши может комбинироваться с одним из т = 12 вариантов выбора девушки, поэтому по правилу произведения число способов выбора пары равно
Пример 7. В группе 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух юношей и трех девушек для участия в конкурсе?
Каждый из вариантов выбора двух юношей может комбинироваться с одним извариантов выбора девушки, поэтому по правилу произведения
число способов выбора равно
1.6. Классическое определение вероятности
Это определение относится только к тем опытам, у которых возможно конечное число равновозможных исходов. Исходы являются равновозмож-ными, если нет оснований считать, что ни один из них будет более воз-можным, чем другие. Например, если брошена игральная кость, то исходы: выпало одно очко, - два очка, …, - шесть очков – являются равно-возможными.
Определение 1. Вероятностью события А называется число , гдеn число всех исходов опыта, а т число исходов, благоприятных появлению события А.
Из определения следуют основные свойства вероятности:
1. , так как;
2. , так как в этом случае;
3. , так как в этом случае.
Пример 8. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет в сумме три очка.
Пусть А интересующее нас событие. Благоприятные исходы: (1 , 2) и (2, 1), т.е. . Число общих исходов определяем из того, что каждое число очков на одной кости может сочетаться с шестью вариантами числа
очков на другой кости, т.е. . Тогда.
Пример 9. Абонент забыл последние три цифры семизначного номера и, помня, что они различные, набрал их наугад. Найти вероятность того, что он набрал правильный номер.
Пусть А - интересующее нас событие. Очевидно, что . Число различных вариантов набора трёх различных цифр из десяти будет равна
Тогда .
Пример 10. Некий гражданин купил карточку лото и наугад отметил 6 номеров из 49. Найти вероятность того, что он правильно угадал k номеров из 6 .
Пусть А интересующее нас событие. Общее число исходов . Число угаданных , каждый из этих вариантов может сочетаться с одним изнепра-вильных вариантов.
Тогда
.
Кстати, при .