КДМ / Lektsii-DM

133

2) Довести ізоморфізм графів: G1 (V1 ,E1 ) G2 (V2 ,E2 ) .

5 2

Побудуємо бієкцію між множинами вершин цих двох графів: .

V1 V2

Доведемо, що бієкція зберігає відношення суміжності між вершинами графів. Це означає наступне: якщо деякі довільні вершини u, v є суміжними у графі G1 , то й відповідні їм за бієкцією вершини: (u), (v) також будуть суміжними у графі G2 .

Перевіримо цей факт для кожної із вершин графу G1 .

134

Вершина 1 графа G1 суміжна вершинам 4,5,6. Відповідна їй вершина 1

Хоча для вершини 6 графу G1 усі перевірки вже виповнені, повторимо той же хід розміркувань. Вершина 6 графа G1 суміжна вершинам 1,2,3 . Відповідна їй вершина 2 графа G2 повинна бути суміжна вершинам 1,3,5 графа G2 , що відповідають вершинам 1,2,3 графа G1 :

Необхідні умови ізоморфізму двох графів:

1)однакова кількість вершин;

2)однакова кількість ребер;

3)однакові ступеневі послідовності.

Наприклад.

1)Приклади графів, для яких виконуються необхідні умови ізоморфізму,

але графи не є ізоморфними. а)

б)

136

2) Графи, що зображено на рисунку нижче є ізоморфними між собою, більш того це два зображення відомого повного дводольного графу K3,3 (із задачі про три будинки та три колодязі).

5.7 Ізоморфна вкладеність

Граф H називається ізоморфно-вкладеним у граф G , якщо граф H є ізоморфним деякому породженому підграфу графа G .

1) Граф H є ізоморфно-вкладеним у граф G за визначенням. Породжений підграф графу G , що ізоморфний графу H , виділений на

рисунку графу G .

H G

137 2) Граф H є ізоморфно-вкладеним у граф G , тому що він ізоморфний графу K2,2 , який у свою чергу є породженим підграфом графу G , що є графом

K3,3 .

H G

K2,2

5.8 Незалежна множина вершин графа

Незалежною множиною вершин (НМВ) графа G або внутрішньо-

стійкою множиною називається така підмножина S вершин графа G , що будьякі дві вершини цієї множини не суміжні між собою.

Підграф, породжений незалежною множиною, є порожнім.

Незалежна множина вершин називається максимальною, якщо вона не є власною підмножиною іншої незалежної множини із більшою кількістю вершин.

Незалежна множина вершин називається найбільшою, якщо вона найбільша за потужністю.

Потужність найбільшої незалежної множини називається числом незалежності.

Позначається число незалежності, як: (G) .

Наприклад.

138

4

Підграф, породжений клікою, повним.

Максимальною клікою графа G називають таку кліку графа G , що не є власною підмножиною іншої кліки графа із більшим числом вершин.

Найбільша кліка – кліка максимальна за потужністю.

Потужність найбільшої кліки називається кліковим числом або

щільністю графа. Позначається: (G).

Наприклад.

У наступному графі Si ,i 1,6 – кліки: S1 {1,2}, S2 {1,2,3}, S3 {2,3,4}, S4 {2,3,5}, S5 {2,4,5}, S5 {3,4,5}, S6 {2,3,4,5}. Серед них максимальними являються кліки: S2 {1,2,3},S6 {2,3,4,5}, а найбільшою – S6 {2,3,4,5},тому клікове число або щільність графу дорівнює: (G) 4 .

139

1

5 3

5.10 Домінуючі множини вершин графа

Домінуючою (зовнішньо-стійкою) множиною вершин (ДМВ) графа G

називається така підмножина вершин графа G , що

S V : v V \ S, w S, e {v,w} E ,

тобто для кожної вершини, що не входить у S , існує ребро, що йде в цю вершину із деякої вершини S .

Домінуюча множина називається мінімальною, якщо немає іншої домінуючої множини, що міститься в цій множині.

ДМВ являється найменшою, якщо вона має найменшу потужність серед всіх мінімальних ДМВ.

Потужність найменшої домінуючої множини називається числом домінування. Позначається (G) .

Зауваження

Незалежна множина вершин графа є максимальною (не обов’язково найбільшою), тоді й тільки тоді, якщо вона домінуюча.

Домінуюча множина вершин графа не обов’язково є незалежною множиною.

Підмножина вершин графа, що є одночасно незалежною та домінуючою називається ядром.

Наприклад.

Нехай задано граф G .

140

1

6

множини із другої по шосту є також незалежними множинами, а тому й ядрами цього графу.

Для графу H множини вершин {1,2,3,7} , {1,2,3,8}, {2,3,5,7} , {2,3,5,8}

являються прикладами найбільших незалежних множин вершин графу H , тому число незалежності для нього дорівнює (H) 4 .

А, наприклад, множина вершин {4,7} є максимальною, але не найбільшою

ядрами цього графу. Але, наприклад, множина {4,6} є домінуючою, але не є незалежною.

З другої сторони, множина {4,6} являється мінімальною й найменшою ДМВ графу H , тому число домінування цього графу складає: (H) 2.

141

5.11 Операції над графами та їх елементами

5.11.1 Бінарні операції над графами

Нехай задано два неорієнтованих графа: G1 (V1 ,E1 ) та G2 (V2 ,E2 ) . Об'єднанням двох графів G1 та G2 називається такий граф G (V,E),

множина вершин якого є V V1 V2 та множина ребер є E E1 E2 . Ілюстрація операції об'єднання двох графів.

Перетином двох графів G1 і G2 називається такий граф G , у якого

142

5.11.2 Операції над елементами графів

До операцій над елементами графу відносять:

-операцію видалення вершини;

-операцію видалення ребра;

-операцію замикання або ототожнення вершин;

-операцію стягування ребер.

Видалення вершини

Нехай задано граф G (V,E) та його довільну вершину u V . Видалення вершини u – це унарна операція над графом G , що полягає у

побудові породженого підграфа графа G на множині вершин V \ {u} .

Видалення ребра

Нехай задано граф G (V,E) та його довільне ребро e E e, тоді граф G (V ,E ) G \ e виходить шляхом побудови підграфа графа G , із тією ж множиною вершин V V та множиною ребер E E \ {e}.

1) Ілюстрація операції видалення вершини v2 графу G .

При видаленні вершини, вочевидь, що видаляються ребра, для яких ця вершина є кінцевою.

2) Ілюстрація операції видалення ребра e4 графу G .