КДМ / Lektsii-DM

103

Інтервал x2x3 є зайвим, бо всі одиниці, що він покриває, вже покриті іншими інтервалами.

4.11.3 Метод Квайна мінімізації булевих функцій

Припустимо, що булева функція задана в ДДНФ. Елементарні кон'юнкції рангу n будемо називати мінітермами рангу n .

Крок 1. Знаходження первинних імплікант.

Усі мінітерми заданої ФАЛ порівнюються між собою попарно на предмет склеювання. Якщо мінітерми mi та mj такі, що їх можна попарно представити у

склеюються, і т.д. Етап закінчується, коли знову отримані мінітерми j-го рангу вже не склеюються між собою.

104

Усі невідмічені мінітерми називаються первинними або простими імплікантами.

Зауваження: якщо у кінці першого етапу зосталися невідмічені мінітерми рангу n , то їх можна зразу виписати у мінімальну форму, бо далі вони будуть тільки ускладнювати виконання алгоритму.

Для заданої функції алгебри логіки перший етап закінчується побудовою СДНФ:

f(x 1 , x2 ,..., xn ) λi ,

i

де λi є первинними імплікантами.

Крок 2. Формування імплікантної таблиці Для знаходження мінімального покриття інтервалами максимального

рангу необхідно зробити викидання деякої кількості первинних імплікант.

На етапі розміщення міток складається таблиця, число рядків у якій дорівнює числу первинних імплікант, число стовпців дорівнює числу мінітермів ДДНФ.

Якщо в мінітерм ДДНФ входить який-небудь із первинних імплікант, то на перетинанні відповідного стовпця й рядка ставимо мітку.

Крок 3. Знаходження істотних імплікант.

Якщо в стовпці розташована всього одна мітка, то відповідна імпліканта – істотна. Істотна імпліканта не може бути виключена із правої частини (1), тому що без її не буде отримане покриття всього множини T1 даної функції. Тому з таблиці міток виключаємо рядка, що відповідають істотним імплікантам, і стовпці мінітермів, що покриваються ними.

Крок 4. Викреслювання зайвих стовпців.

Якщо в таблиці є два стовпці з мітками в однакових рядках, то один з них викреслюється (тому що покриття одного забезпечує й покриття іншого).

Крок 5. Викреслювання зайвих первинних імплікант.

Якщо після етапу 4 у таблиці є рядка без єдиної мітки, то вони викреслюються.

105

Даний крок виповнюється за рахунок повного перебору усіх можливих варіантів. Досліджується отримана таблиця, вибирається така сукупність первинних імплікант, що включає мітки у всіх стовпцях (принаймні по 1 у кожному стовпці). При декількох варіантах віддається перевага варіанту покриття з мінімальним сумарним числом букв у простих імплікантах. Якщо маємо декілька варіантів покриття із однаковим мінімальним сумарним рангом,

Розв’язання.

ДДНФ для заданої ФАЛ:

f (x1 , x2 , x3 , x4 ) x1x2x3x4 x1õ2x3x4 õ1x2x3x4 õ1x2x3x4x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 ,

R 32.

1.Визначимо первинні імпліканти для заданої ФАЛ.

Для цього виконаємо порівняння кожного мінітерму рангу 4 із кожним іншим мінітермом ДДНФ на предмет склеювання. Ті мінітерми, що склеювались відмітимо зіркою.

Мінітерми 3 рангу:

x1x3x4

x2x3x4

x2x3x4

x1x2x3

x1x2x4

x2x3x4

x1x3x4

x1x2x4

x1x2x3

106

Мінітерми 2 рангу: x2x3 .

Подальше склеювання неможливо, тому СДНФ для заданої ФАЛ:

f (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) x2x3 x2x3x4 x1x3x4 x1x2x4 x1x2x4 x1x3x4 . R 17 .

Переходимо до другого кроку алгоритму Квайна. 2. Таблиця міток для ФАЛ.

Проаналізуємо таблицю міток. Стовпці, що відповідають мінітермам 4 та C мають рівно одну мітку. Тому, імпліканта õ2õ3 є істотною, і може бути вписана у МДНФ. Більше істотних імплікант для заданої ФАЛ нема.

З таблиці міток видаляємо перший рядок, що відповідає істотній імпліканти та стовпці, що вона покриває: мінітерми 4,5,C,D.

107

4. Проаналізуємо таблицю міток, маємо 4 мінітерми та 5 імплікант, причому ранг кожної із них дорівнює 3. Треба вибрати таку сукупність імплікант, що покриває усі мінітерми та має мінімальний сумарний ранг. Оскільки ранг кожної імпліканти 3, то, якщо знайдемо дві імпліканти, що покриють усі мінітерми, то таке покриття буде мати мінімальний ранг. Тоді, наприклад, якщо вибрати другу та четверту імпліканту: x1x3x4 , x1x2x4 , то усі мінітерми будуть покриті.

Виконавши повний перебір усіх можливих варіантів, маємо впевнитись, що таке покриття єдине.

Задана ФАЛ має єдину МДНФ: f (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) x2x3 x1x3x4 x1x2x4 , із сумарним рангом R 8 .

4.11.4 Метод Мак-Класки мінімізації булевих функцій

Метод Мак-Класки є модифікацією першого етапу методу Квайна.

Крок 1. Всім мінітермам вхідної ФАЛ ставимо у відповідність їхній двійковий еквівалент.

Наприклад.

x1õ2õ3x4 0000 x1õ2õ3x4 0110 x1õ2õ3x4 1111

108

Крок 2. Всі номери-мінітерми розбиваємо на групи за числом одиниць у цих номерах.

Наприклад.

0 група: 0000

1 група: 0001, 0010, 0100, 1000

4 група: 1111

Крок 3. Всі мінітерми порівнюються між собою попарно на предмет склеювання. Попарне порівняння треба виповняти тільки між сусідніми групами, тому що тільки ці групи відрізняються для вхідних у них мінітермів в одному розряді.

Крок 4. Перетворення нових мінітермів Застосовуємо закон склеювання.

У розрядах, що відповідають виключеним змінним, ставимо риску. Така модифікація зручна ще й відсутністю громіздкого запису.

Наприклад.

Зауваження: подальше склеювання можливе тільки, якщо перетворені мінітерми мають риски на однакових місцях та відрізняються тільки одним розрядом.

Наприклад.

0 01 01 ,

1 01

01 1.11

Тоді, як мінітерми 0 01 та 00 1 , 1 01 та 10 1, 00 та 0 1 не можуть бути склеєними.

Крок 5. Будуємо таблицю й розставляємо мітки, аналогічно, як у методі Квайна (п. 2).

109

Крок 6. Далі мінімізація проводиться по таблиці, як у методі Квайна (п. 3-

6).

Наприклад.

Задано функцію f (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ), що дорівнює одиниці на наборах з номерами – T1 {0,1,2,3,4,6,7,8,9,11,15}.

Мінімізувати її методом Квайна-Мак-Класки.

Розв'язання.

1.Побудуємо двійкові набори, на яких задана функція.

2.Розіб'ємо мінітерми на групи по числу одиниць. 0000 – нульова група

0001, 0010, 0100, 1000 – перша група 0011, 0110, 1001 –друга група

0111, 1011 – третя група 1111 – четверта група

3.Порівняємо всі мінітерми попарно між собою на предмет склеювання, виконаємо перетворення.

110

0000* – нульова група

0001*, 0010*, 0100*, 1000* – перша група 0011*, 0110*, 1001* – друга група 0111*, 1011* – третя група

_111*, 1_11* –третя група

4. Продовжимо порівняння й перетворення мінітермів доти поки перетворення стане неможливим.

00_ _, _00_, 0_ _0 – нульова група

5.Побудуємо таблицю й розставимо мітки.

6. Проведемо перетворення таблиці (п. 3-6 методу Квайна). Викреслюємо стрічки, що відповідають істотним імплікантам (в таблиці їх

визначено червоним кольором) і відзначимо стовпці мінітермів, що покриваються ними (виділено жирним шрифтом).

7. Виберемо сукупність первинних імплікант, що включає мітки у всіх стовпцях (принаймні по 1 у кожному стовпці).

У результаті одержуємо МДНФ:

f(x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) x2x3 x1x4 x3x4 , R 6 .

4.11.5 Графічний метод мінімізації: карти Карно й діаграми Вейча

Карти Карно – графічний метод відображення булевих функцій, або графічний аналог таблиць істинності, що задають ФАЛ. Вони сформовані так, щоб полегшити процес склеювання. Карти Карно використовуються при n 2,6 , при n 6 вони практично непридатні. Діаграми Вейча принципово не відрізняються від карт Карно. Розходження складається лише в порядку проходження наборів значень і в позначеннях (Карно – {0,1}; Вейча –

{ x1 ,...,xn }).

Основні принципи побудови карт Карно

1) Карти Карно – це спеціальні таблиці завдання ФАЛ (плоске розгорнення n - вимірних кубів), що значення змінних розташовуються в заголовках рядків і стовпців карти.

112

2)Кожній конститєнті одиниці (або нуля) функції ставиться у відповідність одна клітинка таблиці.

3)Значення змінних розташовуються так, щоб сусідні (що мають спільний кордон) рядки та стовпці відрізнялися значенням однієї змінної (для склеювання).

4)Перший та останній рядки (стовпці) вважаються сусідніми.

Наприклад.

1)n 2

2)n 3

3)n 4