2.5 Метод Квайна-Мак-Класкі.
Недоліком методу Квайна є те, що необхідно попарно зрівнювати на етапі знаходження простих імплікант всі мінітерми, які задають початкову ФАЛ. Із збільшенням числа мінітермів, відповідно збільшується число порівнянь.
Ідея Мак-Класкі полягає в тому, що всі мінітерми записуються в двійковій системі обчислення. Потім всі номера наборів записуються по групах в залежності від кількості одиниць в номері набору. Таким чином розбиваються номери на не пересічні між собою групи, і зрівнюються тільки сусідні групи, тому що вони відрізняються зміною в однім розряді. При створенні мінітермів на місце виключеної змінної ставиться тире. Інші етапи мінімізації залишаються незмінними.
Приклад. Функція задана мінітермами з номерами 0, 1, 4, 5, 6, 9, 11, 15.
1. Запишемо мінітерми в двійковому коді і розіб’ємо на групи по кількості одиниць в групах:
|
нульова група перша група друга група третя група четверта група |
- 0000* - 0001*; 0100* - 0101*; 1001*; 0110* - 1011* - 1111* |
Зрівнюючи сусідні групи, одержимо мінітерми третього рангу і помітимо ті, для яких відбулося склеювання
|
нульова група перша група друга група третя група |
- 000-*;0-00* - 0-01*; 010-*; -001*; 01-0* - 10-1* - 1-11* |
знаходимо мінітерми другого рангу.
нульова група - 0-0-; 0-0-.
Подальше склеювання неможливе і всі невідмічені імпліканти називаються первинними або простими.
Розстановка позначок
Складаємо таблицю, кількість рядків в якій дорівнює числу одержаних простих імплікант, а кількість стовпців співпадає з числом мінітермів в ДДНФ. Якщо проста імпліканта входить в початковий мінітерм, то на перетині відповідного стовпця і рядка ставиться позначка
|
|
0000 |
0001 |
0100 |
0101 |
0110 |
1001 |
1011 |
1111 |
|
0-0- |
Х |
х |
х |
х |
|
|
|
|
|
-001 |
|
х |
|
|
|
х |
|
|
|
01-0 |
|
|
х |
|
х |
|
|
|
|
10-1 |
|
|
|
|
|
х |
х |
|
|
1-11 |
|
|
|
|
|
|
х |
х |
Знаходження суттєвих імплікант
При аналізі таблиці, знаходять стовпці, в яких є тільки одна позначка. Імпліканта, яка відповідає цьому рядкові, називається суттєвою, і не може бути виключена із покриття Т1. Із таблиці виключаються рядки, які відповідають цим імплікантам, і стовпці, в яких є позначка на перетині з цими рядками.
Для
нашої таблиці знаходимо суттєві
імпліканти:
х1х3;
х1х2х3;
х1х2х4.
Вони покривають мінітерми: х1х2х3;
х1х2х3х4;
х1х2х3х4;
х1х2х3х4;
х1х2х3х4;
х1х2х3х4
При переході до наступного етапу ці
мінітерми викреслюються.
Викреслювання зайвих стовпців.
Досліджується одержана таблиця після третього етапу. Якщо в ній є два стовпці, в яких є помітки в однакових рядках, то один із них викреслюється.
В одержаній таблиці таких стовпців немає.
Викреслювання лишніх первинних імплікант
Якщо після четвертого етапу в таблиці з’явилися рядки, в яких немає жодної позначки, то первинні імпліканти, яким відповідають ці рядки, виключаються з подальшого розгляду, як такі, що не покривають мінітерми, які залишилися в таблиці.
Вибір мінімального покриття максимальними інтервалами.
Досліджується одержана таблиця. Вибирається така сукупність первинних імплікант, які виключають всі помітки в стовпцях і мають мінімальну кількість букв.
|
|
1001 |
Для прикладу можна вибрати любу |
|
-001 |
х |
первинну імпліканту. Тоді ДНФ для |
|
10-1 |
х |
нашої функції буде |
f(x1, x2, x3, x4)=x1x3 v x1x2x4 v x1x2x4 v x1x3x4
Контрольні питання
Які методи мінімізації ФАЛ ви знаєте?
Що значить максимальний інтервал?
Як одержати МДНФ при геометричному методі мінімізації?
Що відображають карти Карно-Вейча?
Який недолік має метод Квайна?
Що таке ДНФ?
Що значить ранг мінітерма і макситерма?
Яку кількість мінітермів можна об’єднати при груповому склеюванні?
Чому дорівнює ранг мінітерма при груповому склеюванні одиниць?
Які змінні зберігаються в мінітермах при їх груповому склеюванні?
Домашнє завдання №2
Мінімізувати ФАЛ, задану номерами визначених наборів в табл. 2.1-2.2 У варіантах, позначених *, ФАЛ записати у вигляді сукупності макситермів, непозначених - мінітермів. Коди методів мінімізації, котрі використовуються у варіанті для мінімізації ФАЛ, наступні:
1 - геометричний.
карти Вейча.
карти Карно.
Квайна .
Квайна-Мак-Класкі.
Мінімізувати недовизначену ФАЛ. Заборонені набори початкової ФАЛ по п.1. приведені в стовпці 4 таблиць домашнього завдання.
Список рекомендованої літератури.
Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - Киев: Техника, 1975. - 766с.
Поспелов А.Д. Логические методы анализа и синтеза схем.- М.: Энергия, 1974. - 358с.
Основы кибернетики. Математические основы кибернетики / Под ред. Проф. К.А. Пупкова.- М.: Высш.шк., 1974.-400с.
Таблиця 2.1.
|
Номер варіанту |
Набори завдання визначеної ФАЛ |
Метод мінімізації |
Заборонені комбінації |
|
1. |
1,2,3.4,5,6.7,8.9,11,13,16,17,19,21,23,25,27,30,31 |
1;4 |
5,9,17,25 |
|
2.* |
2,4,6,7,9,10,11,12,14,15,18,20,22,24,25.26,28,29,30 |
1;2 |
4,10,16,29 |
|
3.* |
3,5,6,7,9,10,12,13,16,17,19,21,23,25,26,27,30 |
3;4 |
7,12,13,16,26 |
|
4. |
1,3,5,6,9,11,13,15,17,18,19,20,21,22,24,25,26,27,29 |
2;5 |
3,5,18,21 |
|
5. |
1,2,3,4,6,7,9,10,13,16,17,19,20,22,23,.24,25,26,27,29 |
1;3 |
2,10,22,23 |
|
6.* |
3,4,5,6,7,9,11,12,13,14,16,18,19,20,21,24,28,30,31 |
1;4 |
6,9,14,20,21 |
|
7. |
2,4,6,7,9,10,12,14,16,17,18,19,20,21,.22,23,24,25,26,27 |
2;5 |
6,7,9,21,22 |
|
8.* |
1,3,4,5,7,8,9,10,12,13,14,16,17,18,19,20,22,23,26,30,31 |
1;4 |
1,3,12,23,30 |
|
9. |
4,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,16,19,20,21,23,24,26,28,30 |
3;1 |
5,10,11,13,16,23,28 |
|
10. |
7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,29,30,31 |
1;2 |
8,11,16 |
|
11.* |
5,6,7,9,11,13,15,16,.17,18,19,20,22,24,26,28,30,31 |
2;4 |
5,16,20,26 |
|
12. |
6,7,9,10,11,13,14,15,17,18,19,20,22,23,24,26,28,30 |
3;5 |
6,7,22,24,30 |
|
13. |
8,9,11,12,13,14,15,16,18,20,21,22,23,24,26,28,29,30,32 |
1;4 |
8,20,24,30 |
|
14.* |
1,3,5,7,9,10,13,15,16,18,20,22,24,26,28,31 |
2;5 |
1,7,13,24,28 |
|
15. |
2,4,6,8,9,10,11,12,13,15,16,19,21,22,23,24,25,26,29,31 |
3;1 |
2,6,12,15,21,26 |
|
16.* |
4,6,7,9,11,12,13,14,15,16,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28 |
1;2 |
9,11,15,21,26 |
|
17. |
5,7,8,10,11,13,15,18,19,20,21,23,26,27,29 |
3;4 |
7,10,11,13,15,29 |
|
18. |
3,4,6,7,9,10,12,14,16,18,20,21,23,24,26,27,29,30 |
2;1 |
4,6,7,12,24,30 |
|
19.* |
2,4,6,7,9,10,12,14,16,18,20,21,23,24,25,26,27,29 |
2,4 |
2,5,18,25 |
|
20. |
4,5,6,7,9,11,12,13,15,16,19,21,22,23,25,26,28,30,31 |
1;5 |
4,13,22,30 |
|
21* |
7,9,11,12,13,14,16,18,21,22,23,24,26,27,28,31 |
1;2 |
7,21,24,28 |
|
22 |
1,3,5,7,8,10,12,13,15,16,17,19,21,23,25,26,27,29 |
2;5 |
1,7,13,21,26 |
|
23* |
6,7,9,11,12,13,5,18,19,20,21,24, 25,26,27,29,31 |
1;4 |
4,7,11,21,24, 29 |
|
24 |
3,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,21,13,25,26,31 |
3;1 |
5,7,13,23,27, |
|
25 |
5,7,9,10,11,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24,25,26,27 |
1;2 |
7,16,17,23,27 |
|
26 |
1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,16,19,20, 21,22,23,24,27,30,31 |
2;1 |
3,16,20,21,30 |
Таблиця 2.2.
|
Номер варіанту |
Набори завдання визначеної ФАЛ |
Метод мінімізації |
Заборонені комбінації |
|
1* |
1,3,5,6,9,11,13,15,17,18,19,20,21,22,24,25,26,27,29 |
2;3 |
3,5,18,21 |
|
2 |
3,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,21,13,25,26,31 |
1;5 |
5,7,13,23,27, |
|
3 |
5,7,9,10,11,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24,25,26,27 |
2;4 |
7,16,17,23,27 |
|
4 |
1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,16,19,20, 21,22,23,24,27,30,31 |
1;4 |
3,16,20,21,30 |
|
5* |
1,2,3,4,6,7,9,10,13,16,17,19,20,22,23,.24,25,26,27,29 |
2;3 |
2,10,22,23 |
|
6 |
1,2,3.4,5,6.7,8.9,11,13,16,17,19,21,23,25,27,30,31 |
1;4 |
5,9,17,25 |
|
7 |
2,4,6,7,9,10,11,12,14,15,18,20,22,24,25.26,28,29,30 |
3;4 |
4,10,16,29 |
|
8 |
3,5,6,7,9,10,12,13,16,17,19,21,23,25,26,27,30 |
4;3 |
7,12,13,16,26 |
|
9* |
1,3,4,5,7,8,9,10,12,13,14,16,17,18,19,20,22,23,26,30,31 |
2;1 |
1,3,12,23,30 |
|
10* |
4,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,16,19,20,21,23,24,26,28,30 |
5;2 |
5,10,11,13,16,23,28 |
|
11* |
7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,29,30,31 |
1;4 |
8,11,16 |
|
12* |
5,6,7,9,11,13,15,16,.17,18,19,20,22,24,26,28,30,31 |
3;2 |
5,16,20,26 |
|
13 |
6,7,9,10,11,13,14,15,17,18,19,20,22,23,24,26,28,30 |
1;2 |
6,7,22,24,30 |
|
14 |
3,4,5,6,7,9,11,12,13,14,16,18,19,20,21,24,28,30,31 |
1;5 |
6,9,14,20,21 |
|
15 |
2,4,6,7,9,10,12,14,16,17,18,19,20,21,.22,23,24,25,26,27 |
1;2 |
6,7,9,21,22 |
|
16 |
5,7,8,10,11,13,15,18,19,20,21,23,26,27,29 |
1;3 |
7,10,11,13,15,29 |
|
17* |
3,4,6,7,9,10,12,14,16,18,20,21,23,24,26,27,29,30 |
4;1 |
4,6,7,12,24,30 |
|
18* |
2,4,6,7,9,10,12,14,16,18,20,21,23,24,25,26,27,29 |
5;2 |
2,5,18,25 |
|
19* |
4,5,6,7,9,11,12,13,15,16,19,21,22,23,25,26,28,30,31 |
3;4 |
4,13,22,30 |
|
20 |
7,9,11,12,13,14,16,18,21,22,23,24,26,27,28,31 |
1;3 |
7,21,24,28 |
|
21 |
1,3,5,7,8,10,12,13,15,16,17,19,21,23,25,26,27,29 |
2;4 |
1,7,13,21,26 |
|
22 |
6,7,9,11,12,13,5,18,19,20,21,24, 25,26,27,29,31 |
1;3 |
4,7,11,21,24, 29 |
|
23* |
8,9,11,12,13,14,15,16,18,20,21,22,23,24,26,28,29,30,32 |
2;1 |
8,20,24,30 |
|
24 |
1,3,5,7,9,10,13,15,16,18,20,22,24,26,28,31 |
5;1 |
1,7,13,24,28 |
|
25* |
2,4,6,8,9,10,11,12,13,15,16,19,21,22,23,24,25,26,29,31 |
3;1 |
2,6,12,15,21,26 |
|
26* |
4,6,7,9,11,12,13,14,15,16,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28 |
2;4 |
9,11,15,21,26 |