- •О понятии множества
- •Операции над множествами, их приоритеты
- •Бесконечными множествами.
- •Счетные множества
- •Мощность континуума
- •Числовые множества
- •Аксиомы сложения
- •Аксиомы умножения
- •Аксиомы порядка
- •Аксиома полноты (непрерывности)
- •A c b.
- •Тождества алгебры множеств:
- •Замечание к тождествам 11:
- •Замечания ко всем тождествам с множествами, появляющимся при действиях с ними:
- •Отношения порядка
A c b.
Иррациональное число dрассмотрим в виде:
Эта бесконечная десятичная дробь будет непериодической, причем, так как
то a d. Кроме того,
поэтому d b.
Таким образом, искомое иррациональное число удовлетворяет неравенству
a d b.
Покажем теперь, что точная нижняя грань интервала (0; 1) равна 0:
.
Действительно, для всех справедливо
x 0,
следовательно, число 0является нижней границей. Если только взять любое число, то, согласно предыдущему примеру, найдется такое рациональное, что, то естьне может быть нижней границей. (Определение точной верхней (нижней) грани дано в разделечисловые множестванижеаксиомы полноты.) Следовательно,
В конце выпишем основные, часто применяемые, результаты теории множеств в виде краткой справки.
МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
Замечания:
Понятие множествасчитаютпервоначальнымине определяемым. Поднимпонимают любое собрание, объединение, определенных и отличных друг от друга объектов (нашей интуиции или интеллекта), мыслимое как единое целое.
Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) говорил так: “Множество есть многое, мыслимое нами как целое”.
С не достаточно четким понятием множестванужно обращаться осторожно. Рекомендуется рассматривать только такие множества, возможные элементы которых были бы достаточно четко очерченными и неизменными объектами. Например, вряд ли разумно рассматривать множество хороших идей, множество капель воды в стакане и так далее.
Принято считать, что пустое множество, Ø, введено в математике для удобства и единообразия языка и является подмножеством любого множества. Так, если при исследовании множества объектов, обладающих определенным свойством, выясняется, что такие объекты не существуют, то удобно сказать, что “исследуемое множество пусто”, а не объявлять его “несуществующим”.
Очень важны правила приоритета операций с множествами.
Ниже операции с множествами пронумерованы в порядке убывания приоритета, от максимального до наименьшего:
1) ; 2)3)4).
Всегда первой выполняется действие в скобках, а при их отсутствии в порядке приоритета, от максимального до наименьшего. Одинаковые операции выполняют последовательно – слева на право.
Замечание: Действия ис множествамиA и B независимые.
Определение: Множество AΔB=(A\B)(B\A) – симметрическая разность; она выражается через независимые операции, и.
Пересечение множеств:
, и их дополнения, или, также определяются через независимые действия (операции),и.
Универсальное множество U содержит все элементы решаемого типа задач.
Дополнение к универсальному множеству U всегда равно пустому множеству, .В множестве нет ни одного элемента.
Множество является подмножеством любого множества.
Тождества алгебры множеств:
1*. Законы идемпотентности:
1.1. 1.2.
2*. Коммутативные законы:
2.1. ; 2.2..
3*. Ассоциативные законы:
3.1. ;
3.2. .
4*. Дистрибутивные законы:
4.1. ;
4.2. ;
5*. Закон поглощения или восстановления:
5.1.
5.2. .
6*. Свойства пустого и универсального множеств:
6.1. 6.2.;
6.3. 6.4.
7*. Закон противоречия:
.
8*. закон исключения третьего или свойство дополнения:
.
9*. Закон инволютивности или закон “двойного отрицания”:
.
10*. Законы де Моргана:
10.1. 10.2..
11. Тождества с разностями:
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5. – симметрическая разность.
11.6. ;
11.7. ;
11.8. ;
11.9. ; здесь учтёно 11.8;
11.10 .
12. Примеры эквивалентности:
12.1.
12.2.