- •Задачи и размышления о множествах
- •2. Среди всевозможных треугольников выделите три множества и треугольников, для которых были бы справедливы утверждения:
- •3. Дано множество
- •10. В условиях предыдущей задачи укажите, что представляет собой множество , и найдите число его членов.
- •15. Имеет ли диофантово уравнение
- •16. Отыскание какого-либо частного решения диофантова уравнения
- •17. Составьте какие-либо практические задачи, которые сводились бы к диофантову уравнению
Задачи и размышления о множествах
1. Студенческая группа сформирована из выпускников лицеев (множествоA), специализированных классов (множество B) и общеобразовательных школ (множество С). Что означают множества и ? Верно ли соотношение
=?
Ответ. Нет. Почему?
2. Среди всевозможных треугольников выделите три множества и треугольников, для которых были бы справедливы утверждения:
а)
б)
в)
г) ;
д)
Ответ. Из утверждений а) – д) → А = В = С = Например: А – множество треугольников с суммой улов больше 180о, В – треугольники, у которых одна сторона длиннее суммы двух других его сторон, С – треугольники, у которых длина одной стороны меньше, чем разность двух других его сторон. Таких треугольников не существует, и можно сказать, что такие множества пустые.
3. Дано множество
Какие множества можно образовать из его элементов?
Ответ: Множество положительных чисел , множество не положительных целых чисел , …
Сколько может быть подмножеств множества, содержащего n элементов?
Ответ: Их число равно . Почему? - это количество n разрядных двоичных чисел. Если i-ый элемент есть в подмножестве, то в i-ом разряде числа пишут 1, если i-ого элемента в нём нет, то – 0.
Даны множества (рис.7.10). Как будут выражаться через них одинаково заштрихованные множества?
Рис. 7.10 . Исходные
множества и связь между ними.
Решение. Пусть А - множество глубоководных впадин в Тихом и Индийском океанах, B - множество глубоководных впадин в Индийском и Атлантическом океанах. По условию число элементов в этих множествах . Известно также, что . Глубоководные впадины Индийского океана образуют множество . Для отыскания числа элементов этого множества используем формулу
согласно которой
Таким образом, в Индийском океане одна глубоководная впадина, а потому в Тихом океане их 15, а в Атлантическом - 3.
Отметим, что данную задачу можно было бы решить и традиционным алгебраическим методом. Если x, y и - число глубоководных впадин соответственно в Тихом, Индийском и Атлантическом океанах, то
Решая эту систему, получим , что и является ответом задачи.
7. Можно ли обобщить формулу для нахождения числа элементов пересекающихся множеств на случай, когда этих множеств 3, 4,..., n?
Ответ: Да, можно. Например, для трёх множеств и из
и формул задачи 6 для ,иимеем:
Используя для множеств , , D и эти равенства, получим:
Здесь прослеживается закономерность и обобщение этой последовательности тождеств на n множеств очевидно.
8. Среди восьмидесяти участников математической олимпиады 60 человек любят шахматы, 50 - шашки, а 40 человек любят обе игры. Сколько участников олимпиады равнодушны к этим играм?
Решение. Пусть А – множество участников олимпиады, любящих шахматы, B – множество участников олимпиады, любящих шашки и множество С – множество участников олимпиады, которые равнодушны к этим играм. По условию задачи = 60, = 50, обе игры любят = 40 олимпийцев, общее число участников математической олимпиады = 80, множестваине пересекаются, , и , где. Тогдаучастников равнодушны и к шахматам, и к шашкам.
9. В город Пермь прибыло 110 туристов. 80 из них решили посетить художественную галерею, 70 человек направились в Кунгурскую ледяную пещеру, 8 человек решили ограничиться только хождением по магазинам. Сколько человек посетили и художественную галерею, и Кунгурскую ледяную пещеру?
Решение. Пусть А – множество туристов, посетивших художественную галерею, , B – множество туристов, побывавших в Кунгурской ледяной пещере, ; множество E всех туристов считаем основным, универсальным, . Туристы, ходившие только по магазинам, образуют множество . Известно, что . По тождеству де Моргана
Тогда
Но
Применяя известную из задачи 6 формулу получим: