1. Двоичная система счисления.

Количество цифр, используемых для изображения числа в любой позиционной системе счисления, равно основанию этой системы. В 2 c/c ( = 2 ) для этой цели применяются цифры 0 и 1.

Рассмотрим перевод 10  2. Такой перевод производится отдельно для целой и дробной частей числа.

Пример 1. 43,37 = 101011,01 1₂

43  2

42 21  2

1 20 10  2

1 10 5  2

0 4 2  2

1 2 1  2

0 0 0

1

1.1 Перевод целой части десятичного числа в двоичную систему счисления осуществляется последовательным делением сначала числа, а затем частного на основание системы счисления 2. Деление выполняется до тех пор, пока не будет получено частное, равное 0. После этого цифры остатков записываются в обратном порядке. В данном случае получим 101011.

1.2 Для перевода дробной части будем последовательно умножать на 2 исходное число и дробные части получаемых в процессе преобразования чисел до тех пор, пока дробная часть очередного числа не станет равной нулю. Результат читается сверху вниз

0, 375  2

0, 75  2

1, 5  2

1, 0

Дробная часть 0,375 ₁₀ = 0,011 ₂ .

1.3 Проверка результата перевода:

43,375 ₁₀ = 101011,011₂ =

1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-2 + 1*2^-3

Ответ 43,37 = 101011,011 ₂

Конечная десятичная дробь не всегда преобразует конечную двоичную дробь. Например, для числа 0,4 имеем:

0,  4  2

0,  8  2

1,  6  2

1,  2  2

0,  4  2

0,  8  2

1,  6  2

...............

0, = 0,011001100110 = 0, (0110 .

При невозможности получения конечной двоичной дроби полученное двоичное число округляют. Сделать это можно одним из двух способов:

- задать количество двоичных разрядов после запятой; ИЛИ

- задать погрешность преобразования десятичной дроби.

ЕСЛИ ЗАДАНА ТОЧНОСТЬ ПЕРЕВОДА НУЖНО ОПРЕДЕЛИТЬ КОЛИЧЕСТВО ЦИФР В ДРОБНОЙ ЧАСТИ РЕЗУЛЬТАТА. Для этого воспользуемся неравенством:

qⁿ ≥ 1 / t,

где q – основание системы счисления,

n – количество разрядов в дробной части числа,

t – заданная точность перевода.

Пример 2. Перевести число 0,4 ₁₀ в 2 с/с с точностью t=0,01.

1. Переводим число в 2 с/с

0,4 ₁₀ = 0,01100110011 ₂

2. Если представлять число в двоичной системе счисления с такой же погрешностью, то имеем

2ⁿ ≥ 1 / 0,01, или

2ⁿ ≥ 100.

3. Определяется n = 7, так как 2⁷ =128 – ближайшее число, при котором выполняется неравенство:

128 ≥ 100.

Таким же образом определяется количество разрядов в дробной части для любой системы счисления.

4. Ответ

0,4 ₁₀ = 0,0110011 ₂ с точностью t=0,01