Сетевой подход к оценке трудоемкости алгоритмов

Сетевой подход удобен для анализа вручную и позволяет вычислять среднюю, минимальную и максимальную трудоемкость алгоритма на графах, не содержащих циклы. Для примера рассмотрим граф алгоритма, изображенный на рис.4. Воспользовавшись формулой (4) для рис.4 можем записать:

n₀ = 1 ;

n₁ = 1 * n₀ = 1 ;

n₂ = 0.5 * n₁ = 0.5 ;

n_4’ = 0.5 * n₁ = 0.5 ;

n_5’ = n_4’ + 0.6n₂ = 0.5 + 0.6 * 0.2 = 0.8 ;

n_3’ = 0.4n₂ + 0.25n_5’ = 0.4 * 0.5 + 0.25 * 0.8 =0.4 ;

n₆ = n_3’ + 0.75n_5’ = 0.4 + 0.75 * 0.8 = 1 ;

n_7’ = 1 * n₆ =1 .

За счет отсутствия циклов система оказывается легко разрешимой. Затраты времени на анализ могут быть снижены дополнительно, если ввести эффективную нумерацию состояний графа алгоритма. Последняя заключается в том, что номер вершины должен быть таким, чтобы входящие в эту вершину дуги начинались в вершинах с меньшими номерами. Если после такой нумерации уравнения записывать в порядке возрастания их номеров, то они будут сразу решаться, так как неизвестные с меньшими номерами будут уже вычислены. В приведенном примере нумерация вершин не соответствует указанному требованию, но уравнения записывались в порядке их решения.

При наличии в графе алгоритма циклов последние следует заменить операторами с эквивалентной трудоемкостью. Если в графе алгоритма имеются циклы в цикле, то, очевидно, первоначально следует заменить эквивалентными операторами внутренние циклы, а затем переходить к замене внешних циклов. Расчет трудоемкости алгоритма выполняется по вышеприведенной методике.

Обозначим через p_c вероятность замыкания цикла, т. е. вероятность перехода по дуге из конца цикла в его начало. Тогда в соответствии с выражением (4) можно записать :

n_c = 1 + p_cn_c , (6)

где n_c - среднее число повторений цикла.

Из выражения (6) имеем:

(7)

Тогда среднее число процессорных операций цикла будет равно :

k_c = n_ck_тс ,

где k_тс - средняя трудоемкость тела цикла;

k_с - средняя трудоемкость цикла.

Среднее число обращений к файлам и среднее количество информации, передаваемое при обращении в цикле к файлам, определяется аналогично.

Рассмотрим пример.

В алгоритме на рис.3 имеется два цикла. Первый содержит операторы V₃,V₄,V₅, а второй состоит только из оператора V₇. Первый цикл усложнен входами внутрь цикла из операторов V₁ и V₂ . Для избавления от входов в цикл не через начало цикла V₃ произведем элементарные преобразования графа алгоритма. Эквивалентный граф после очевидных преобразований изображен на рис.5. Из рис.5 следует, что операторы V₄ и V₅ , которые использовались для входа в тело цикла не через его начало, вынесены отдельно под номерами 4’ и 5’.

Количество повторений циклов из выражения (7) равно :

где n_c1, n_c2 - число повторений первого и второго циклов.

Граф алгоритма без циклов приведен на рис.4.

Вышеприведенный подход позволяет вычислить среднюю трудоемкость алгоритма. Для оценки максимальной и минимальной трудоемкости алгоритма необходимо перебрать все возможные пути, ведущие из начальной вершины графа алгоритма в конечную, и выбрать из них пути, дающие максимальную и минимальную трудоемкость. Следует учесть, что, например, путь с минимальным количеством процессорных операций может иметь не минимально возможное число обращений к файлам. При наличии циклов в графе алгоритма для тела цикла определяется минимальная и максимальная трудоемкость. Находится минимальное и максимальное число повторений цикла и формируются соответствующие эквивалентные по трудоемкости операторы.

В качестве примера оценим минимальное и максимальное число процессорных операций для графа алгоритма, изображенного на рис.4. Для упрощения примем, что все операторы имеют трудоемкость, равную 1000 процессорных операций. Через A_i и B_i будем обозначать соответственно минимальное и максимальное число процессорных операций, которое будет иметь место в момент выхода процесса из i-й вершины графа.

A₀ = 0; B₀ = 0;

A₁ = min(A₀) + 1000 = 1000; B₁ = max(B₀) + 1000 = 1000;

A₂ = min(A₁) + 1000 = 2000; B₂ = max(B₁) + 1000 = 2000;

A_4’ = min(A₁) + 1000 = 2000; B_4’ = max(B₁) + 1000 = 2000;

A_5’ = min(A₂,A_4’) + 1000 = 3000; B_5’ = max(B₂,B_4’) + 1000 = 3000;

A_3’ = min(A₂,A_5’) + 1000 = 3000; B_3’ = max(B₂,B_5’) + 1000 = 4000;

A₆ = min(A_3’,A_5’) + 1000 = 4000; B₆ = max(B_3’,B_5’) + 1000 = 5000;

A₇ = min(A₆) + 1000 = 5000; B₇ = max(B₆) + 1000 = 6000.