Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Lektsia_2_Mnozhestva / __Множества.doc
Скачиваний:
58
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.35 Mб
Скачать

A  c  b.

Иррациональное число dрассмотрим в виде:

Эта бесконечная десятичная дробь будет непериодической, причем, так как

то a d. Кроме того,

поэтому d b.

Таким образом, искомое иррациональное число удовлетворяет неравенству

a d b.

Покажем теперь, что точная нижняя грань интервала (0; 1) равна 0:

.

Действительно, для всех справедливо

x 0,

следовательно, число 0является нижней границей. Если только взять любое число, то, согласно предыдущему примеру, найдется такое рациональное, что, то естьне может быть нижней границей. (Определение точной верхней (нижней) грани дано в разделечисловые множестванижеаксиомы полноты.) Следовательно,

В конце выпишем основные, часто применяемые, результаты теории множеств в виде краткой справки.

МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ

Замечания:

Понятие множествасчитаютпервоначальнымине определяемым. Поднимпонимают любое собрание, объединение, определенных и отличных друг от друга объектов (нашей интуиции или интеллекта), мыслимое как единое целое.

Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) говорил так: “Множество есть многое, мыслимое нами как целое”.

С не достаточно четким понятием множестванужно обращаться осторожно. Рекомендуется рассматривать только такие множества, возможные элементы которых были бы достаточно четко очерченными и неизменными объектами. Например, вряд ли разумно рассматривать множество хороших идей, множество капель воды в стакане и так далее.

Принято считать, что пустое множество, Ø, введено в математике для удобства и единообразия языка и является подмножеством любого множества. Так, если при исследовании множества объектов, обладающих определенным свойством, выясняется, что такие объекты не существуют, то удобно сказать, что “исследуемое множество пусто”, а не объявлять его “несуществующим”.

Очень важны правила приоритета операций с множествами.

Ниже операции с множествами пронумерованы в порядке убывания приоритета, от максимального до наименьшего:

1) ; 2)3)4).

Всегда первой выполняется действие в скобках, а при их отсутствии в порядке приоритета, от максимального до наименьшего. Одинаковые операции выполняют последовательно – слева на право.

Замечание: Действия ис множествамиA и B независимые.

Определение: Множество AΔB=(A\B)(B\A) – симметрическая разность; она выражается через независимые операции, и.

Пересечение множеств:

, и их дополнения, или, также определяются через независимые действия (операции),и.

Универсальное множество U содержит все элементы решаемого типа задач.

Дополнение к универсальному множеству U всегда равно пустому множеству, .В множестве нет ни одного элемента.

Множество является подмножеством любого множества.

Тождества алгебры множеств:

1*. Законы идемпотентности:

1.1. 1.2.

2*. Коммутативные законы:

2.1. ; 2.2..

3*. Ассоциативные законы:

3.1. ;

3.2. .

4*. Дистрибутивные законы:

4.1. ;

4.2. ;

5*. Закон поглощения или восстановления:

5.1.

5.2. .

6*. Свойства пустого и универсального множеств:

6.1. 6.2.;

6.3. 6.4.

7*. Закон противоречия:

.

8*. закон исключения третьего или свойство дополнения:

.

9*. Закон инволютивности или закон “двойного отрицания”:

.

10*. Законы де Моргана:

10.1. 10.2..

11. Тождества с разностями:

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5. – симметрическая разность.

11.6. ;

11.7. ;

11.8. ;

11.9. ; здесь учтёно 11.8;

11.10 .

12. Примеры эквивалентности:

12.1.

12.2.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Lektsia_2_Mnozhestva