Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Lektsia_2_Mnozhestva / __Множества.doc
Скачиваний:
66
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.35 Mб
Скачать

Множества*1

Элементы теории множеств

О понятии множества

Сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника – теории множеств.

Н. Бурбаки

Множество – есть многое, мыслимое нами как единое.

Г. Кантор

Теория множествоснова построения математики. Путь к понятию “множество” проходил через развитие представлений о числе, более глубокое понимание понятия бесконечности. Создатели теории множествчешский математик С.Больцано и немецкий ученый Г.Кантор не только разработали новую теорию, но и определили ее место как основополагающей в системе математических знаний.

Множество понятие неопределяемое, оно не может быть введено через другие понятия.

Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, объединенных общим признаком (свойством) и рассматриваемых как одно целое. Этот общий признак называется характеристическим.

Теорию множеств Канторасчитают“наивной”,потомучто ееисходныеположенияосновываются не на строгих определениях и аксиомах, а лишь на пояснениях. Вместе с тем, на практике она используется активно.

Элементы множества (обязательно различимые) могут иметь произвольную природу, не обязательно числовую. Например:

– множество людей, гуляющих в парке;

– множество капель дождя;

– множество массивов, используемых в программе для ЭВМ;

– множество натуральных чисел на отрезке [-1;4].

Множества обозначаются обычно заглавными латинскими буквами: A, B, Cи так далее, а их элементыстрочными:a, b, c, ... .

Множество может быть задано тремя основными способами.Во-первых, через перечисление его элементов. Например, запись

означает, что множество Асостоит из элементов.

Во-вторых, во многих задачах выделяют некоторое свойство FэлементовxмножестваX, которым каждый элемент этого множества либо обладает, либо нет. Приняты обозначения:

или,

где F(x) – «характеристический предикат». Он задаёт свойство элементов формулами или описанием «элементами языка», вертикальную черту в скобках читают «такие …,что…»,-«принадлежит».

Например, запись: определяет множество «такихзначенийx,что». Эту запись также озвучивают: «Для элементовxмножества верно».

Третий способ задания множества связан с определением для него порождающей процедуры (рекурсии):

.

Рекурсия указывает, как последовательно порождаются элементы множестваХ. Например, множествозадано рекурсией:, а каждый следующий элемент определяется тремя предыдущими вычислением по формуле:

Тогда

и т. д. Последовательно, можно определить любой элемент множестваХ,.

Мы уже знаем, что принадлежность элемента а множеству А задается обозначением

.

Отрицание этого факта обозначают следующим образом:

или .

Множество задано корректно, если для любого элемента можно однозначно установить его принадлежность или не принадлежность этому множеству. Но такое можно сделать не всегда. При задании множества предикатом могут возникнуть противоречия, ошибки или парадоксы. Рассмотрим известный парадокс «брадобрея».

В нём принадлежность элементов (граждан города) множеству К задаётся предикатом, сформулированным единственным в городе брадобреем. «Множество К – это множество жителей города, которые не бреются сами и которых он должен брить». Тогда вопрос о принадлежности самого брадобрея множествуКсталкивается с противоречием. При отнесении его к множеству жителей города, которые бреются сами, он не принадлежит множествуК. Но при отнесении его к жителям, которых бреет единственный в городе брадобрей, он принадлежит множествуК. Получаем «парадокс»..

Способы избежать такие «парадоксы» легли в основу так называемого «конструктивизма». В рамках этого направления в математике рассматриваются только такие объекты (элементы множеств), для которых известны процедуры, конкретные алгоритмы, для их порождения. В конструктивной теории множеств, как и при применении рекурсии, исключаются любые логические парадоксы.

В теории множеств вводится в рассмотрение, так называемое, ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО. Оно,по определению, не содержит элементов и обозначается символом .

Принято считать, что пустое множество, , введено в математике для удобства и единообразия языка, и оно является подмножеством любого множества. Так, если при исследовании множества объектов, обладающих определенным свойством, выясняется, что такие объекты не существуют, то удобно сказать, что “исследуемое множество пустое”, множество , а не объявлять его “несуществующим”.

Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества B и, обратно, каждый элемент множества В является элементом множества А. Принято обозначение:

А=В.

Множество Аназываетсяподмножествоммножества В, если каждый элемент множестваАявляется элементом множестваВ. В таком случае записывают:

АВ.

Если АВ, ноАВиА, тоАназываютсобственным подмножествоммножестваВи обозначают

АВ.

Пусть множества заданы перечислением всех их элементов: ;и. Из их сравнения видно, чтоАВи АC, то естьА– собственное подмножество дляВиС. ОднакоВне принадлежитС. Это записывается в виде:

.

Очевидно, что, если АВ иBA, тоA=B.

Для любого непустого множества Авсегда существует, по крайней мере, два подмножества и . Их называют несобственными подмножетвами. (Если , то они совпадают.)

Множества делятся на КОНЕЧНЫЕ и БЕСКОНЕЧНЫЕ в зависимости от того, является ли число элементов, входящих в их состав, конечным или же бесконечным. Например, множество участников соревнования конечно, а множество точек, лежащих в круге, бесконечно.

Во многих математических науках чаще всего изучаются ЧИСЛОВЫЕмножества, элементы которыхчисла, они бесконечны.

Задача на сравнение бесконечных множеств, заданных условием, предикатом, решена в дополнении.

Соседние файлы в папке Lektsia_2_Mnozhestva