Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
том 2.pdf
Скачиваний:
39
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
4.78 Mб
Скачать

34

Продовження таблиці 7.1 Зіставлення рівнянь, що описують механічні і електромагнітні коливання

Система

Фізична

 

модель

Замкнена Пружинный дисипативна маятник

Замкнена Коливальний дисипативна контур

 

R

C

L

Тип коливань

Умови

 

Диференціальне

 

 

Характеристики

а) за природою

необхідні

 

рівняння і його

 

 

коливань

б) за характером

для здійснення

 

розв’язання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коливань

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) механічні

1. Наявність

&&+

β&

+ ω

2

=

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

x

2 x

 

0 x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) затухаючі

пружної або

x(t) = A e−βt

 

 

 

 

T = ω

 

 

 

квазіпружної сили

cos(ωt + ϕ

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fпр= kx

 

 

 

 

 

 

ω = ω02 −β2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β =

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Наявність сили

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

опору (тертя)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fоп= rv.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)електромагнітні

1. Наявність

&&+

β &

+ ω

2

=

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

q

2 q

 

0 q

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) затухаючі

зарядженого

 

 

 

e−βt

 

 

 

 

T = ω

 

 

q(t) = q

 

cos ωt + ϕ

 

 

 

 

 

конденсатора

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω =

 

ω2

−β2

 

ємністю С і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

котушки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β =

R

 

 

 

 

 

 

індуктивністю L.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Активний опір

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

контура R0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коливання

35

Продовження таблиці 7.1 Зіставлення рівнянь, що описують механічні і електромагнітні коливання

Система

Фізична

 

Тип

Умови

 

Диференціальне

 

Характеристики коливань

 

модель

 

коливань

необхідні

 

рівняння і його

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для здійснення

 

розв’язання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коливань

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не замкнена

Пружинний

 

а) механічні

1. Наявність пружної

&&+ β&

2

=

 

 

Ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисипативна

маятник

 

б) вимушені

або квазіпружної

x

2 x

0 x

 

f0 cos t

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m (ω02 + Ω2 )2 + 4β2Ω2

 

x(t)

A cos(

t

)

 

 

 

 

 

 

 

 

сили Fпр= kx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Наявність сили

 

 

 

 

 

 

 

 

tgϕ = −

 

 

2βΩ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

опору (тертя)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2 − Ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fоп= rv.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Наличие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вынуждающей силы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(t) = F0cos Ωt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не замкнена

Коливальний

а) електро

1. Наявність

&&

&

2

 

ε0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисипативна

контур

 

магнітні

зарядженого

q +

2βq + ω0 q =

L

cosΩ t

q0

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

L

 

 

(ω02

+ Ω2 )2

+ 4β2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ω2

 

 

 

б) вимушені

конденсатора

q(t) = q0 cos(Ωt + ϕ)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ємністю С і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

котушки

 

 

 

 

 

 

 

 

Ω R

2 +

 

ΩL

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

індуктивністю L.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΩC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

L

 

2. Активний опір

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2βΩ

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

контуру R 0.

 

 

 

 

 

 

 

tgϕ = −

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Наявність змінної

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

− Ω

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ерс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω0

 

 

 

 

ΩL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΩC

 

 

 

 

ε(t)=ε0cos Ωt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коливання

Хвилі

Розділ 2. Пружні хвилі

§8 Загальні відомості про хвилі

Хвиля – це процес розповсюдження збурень в просторі, якій супроводжується перенесенням енергії.

Збурення (ξ) – це відхилення якої-небудь фізичної величини, що характеризує стан системи, від значення, яке вона мала при знаходженні системи в стані рівноваги.

Ми розглядатимемо збурення, які носять коливальний характер, тому можна дати більш вузьке визначення хвилі.

Хвиля – це процес розповсюдження коливань в просторі.

8.1 Класифікація хвиль

Залежно від фізичної природи джерела коливань хвилі поділяють на:

механічні (звукові, ударні, сейсмічні і так далі);

хвилі на поверхні рідини;

електромагнітні (шкала електромагнітних хвиль в інтервалі від радіохвиль до гамма-випромінювання).

Механічними хвилями називаються механічні збурення, що виникають в

пружному середовищі, тому механічні хвилі мають другу назву – пружні хвилі. Поверхневі хвилі розповсюджуються уздовж вільної поверхні рідини або уздовж поверхні двох рідин, що не змочуються. В утворенні цих хвиль визначальну роль грають сили поверхневого натягу і сили тяжіння. У поверхневих хвилях частинки рідини одночасно здійснюють поперечні і поздовжні коливан-

ня, описуючи еліптичні або складніші траєкторії.

Залежно від взаємної орієнтації напряму коливань і напряму розповсюдження хвиль розрізняють:

поперечні хвилі;

поздовжні хвилі.

Хвиля називається поперечною, якщо напрям коливань частинок середо-

вища перпендикулярний напряму розповсюдження хвилі (рис. 8.1 а).

 

ξ

 

Хвиля називається поздовжньою,

якщо

 

напрям коливань частинок середовища співпа-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

а)

дає з напрямом розповсюдження

хвилі

 

 

 

 

 

(рис. 8.1 б).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пружні поперечні хвилі можуть виник-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нути лише в середовищі, що має опір зсуву,

 

 

 

ξ

 

тому у рідкому і газоподібному середовищах

 

 

 

б)

можливе виникнення тільки поздовжніх хвиль.

 

 

 

 

 

v

У твердому середовищі можливе виникнення

 

 

 

 

 

Рисунок 8.1

як поздовжніх, так і поперечних хвиль.

При розповсюдженні від джерела коли-

 

вань хвильовий процес охоплює все нові області простору.

36

Хвилі

Область простору, в якій існує хвильовий процес (збурення), називається хвильовим полем. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання до моменту часу t, називається фронтом хвилі. Фронт хвилі є тією поверхнею, що відокремлює частину простору, яка вже залучена до хвильового процесу, від області, в якій коливання ще не виникли. Залежно від геометрії фронту хвилі поділяють на:

плоскі (рис 8.2 а);

сферичні (рис 8.2 б).

 

 

Стрілки на ри-

 

 

сунку

указують

на-

 

 

прям розповсюджен-

 

 

ня хвилі. Плоскі хви-

 

 

лі виникають

від

 

 

плоского або вида-

фронт хвилі

фронт хвилі

леного

джерела.

Їх

хвильовими фронта-

а)

б)

ми є площини. Сфе-

 

Рисунок 8.2

 

ричні

хвилі виника-

 

 

ють від точкового джерела в просторі. Їх хвильовими фронтами є сфери.

8.2 Характеристики хвиль

Особливе значення в теорії хвиль має уявлення про гармонічну хвилю, тобто нескінченну синусоїдальну хвилю, в якій всі зміни стану відбуваються за законом синуса або косинуса (рис. 8.3). Такі хвилі могли б розповсюджуватися в однорідному середовищі без спотворення форми.

Основними характеристиками хвилі є:

Довжина хвилі (λ) – відстань між найближчими точками, що коливаються в однаковій фазі (рис. 8.3).

Період коливань (T) – час, протягом якого здійснюється один повний цикл коливань.

Амплітуда (A) – максимальне відхилення фізич-

 

ної величини від положення рівноваги.

 

Рисунок 8.3

Довжина хвилі і період зв’язані співвідношенням:

 

 

 

 

λ = vT ,

(8.1)

де v – швидкість розповсюдження хвилі.

Ця формула справедлива для хвиль будь-якої природи. З використанням співвідношення (8.1) можна дати інше визначення довжини хвилі.

Довжина хвилі – це відстань, на яку розповсюджується фронт хвилі за час, що дорівнює періоду коливань.

Замість періоду Т часто користуються частотою ν, яка дорівнює числу коливань за одиницю часу ν = T1 . З (8.1) отримаємо:

37

Хвилі

λ = v .

(8.2)

ν

 

Нагадаємо, що період вимірюється в секундах, частота – в герцах.

§9 Плоска монохроматична хвиля

Гармонічна хвиля називається монохроматичною, якщо її частота ν і амплітуда А з часом не змінюються. Якщо фронтом хвилі є площина, то хвиля називається плоскою.

9.1 Рівняння плоскої монохроматичної хвилі

Рівнянням хвилі називається вираз, який визначає, як зсув ξ частинки, що коливається, залежить від координати x і часу t: ξ = ξ(x t,). Вісь 0x сумістимо з напрямом розповсюдження хвилі. Хвильові поверхні плоскої хвилі будуть перпендикулярні осі x (рис. 9.1).

Коливання точок, які лежать у площині x =0, тобто коливання джерела, мають вигляд:

ξ(0,t)= Acosωt .

Щоб пройти шлях від площини x=0 до площини з довільною координатою x, потрібний час

x=0

хвильовий

фронт

0

 

 

 

x

 

x= vτ

 

 

 

 

 

 

τ = vx ,

де v – швидкість переміщення фронту хвилі.

Це означає, що коливання частинок, які лежать у площині x, відставатимуть за часом на τ. Їх рівняння має вигляд:

Рисунок 9.1

 

x

 

ξ(x,t)= Acos ω t

 

.

(9.1)

 

 

 

v

 

Рівнянню (9.1) можна надати інший вигляд. Для цього введемо величину

k =

2π

,

(9.2)

λ

 

 

 

яка називається хвильовим числом. Хвильове число показує, скільки довжин хвиль укладається на відстані 6,28 м. З урахуванням (9.2), а також того, що

ω =

або

2π

T

, а λ = vT

отримаємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

2πt

 

2πx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ(x,t)= Acos

T

λ

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ(x,t)= Acos (ωt k x).

(9.3)

38

Хвилі

Рівняння (9.1), (9.3) називають рівняннями плоскої біжучої хвилі.

Фронтом хвилі є площина сталої фази. Зафіксуємо будь-яке значення фази в рівнянні (9.3), поклавши, що

(ωt k x)= const .

Продиференціюємо цей вираз за часом:

ω − k dxdt = 0 ,

або

dxdt = ωk .

Значення dxdt = v дає швидкість, з якою переміщується фазова площина.

Таким чином, швидкість розповсюдження гармонічної хвилі – це швидкість переміщення фазової площини, тому її називають фазовою швидкістю

( v = vфаз ).

v

=

ω .

(9.4)

фаз

 

k

 

Хвилі розповсюджуються з кінцевою швидкістю, залежною від природи хвилі і властивостей середовища.

а) У твердих тілах.

Швидкість розповсюдження поздовжньої хвилі:

v =

E

,

(9.5)

 

ρ

 

 

де E – модуль Юнга*, ρ – густина середовища. Швидкість розповсюдження поперечної хвилі:

v =

G

,

(9.6)

 

ρ

 

 

де G – модуль зсуву.

б) У газах.

Швидкість розповсюдження поздовжньої хвилі (звуку):

v =

γ RT

,

(9.7)

 

M

 

 

де γ – показник адіабати газу, M – молярна маса газу, R – молярна газова стала, T – термодинамічна температура.

________________________________________________________________________________

*Юнг Томас (1773–1829), англійський фізик.

39

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]