Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Конспект лекций по физике.Часть 2

.pdf
Скачиваний:
90
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.43 Mб
Скачать

Колебания

Если при анализе физических процессов той или иной природы, сделанных на основе законов и приближений, возникает уравнение подобного вида, то это означает, что рассмотренная система может совершать гармонические колебания. Частота колебаний будет определяться свойствами самой системы.

§3 Примеры систем, совершающих гармонические колебания

3.1 Пружинный маятник

Пружинный маятник – тело массой m, колеблющееся на пружине жесткостью k (рис. 3.1). Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние, равное х, то возникшая сила упругости ( F упр kx ) стремится вернуть ша-

рик в положение равновесия. Применив второй закон Ньютона, можно получить следующее уравнение

x x

Fупр x

Рисунок 3.1

 

 

 

 

 

d

2 x

 

k

x 0 .

(3.1)

 

 

 

 

 

dt2

m

 

 

 

 

 

 

 

 

где

a

d 2 x

 

ускорение,

полученное

dt

2

 

 

шариком.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем обозначение:

 

 

 

 

 

 

k

 

02 .

 

(3.2)

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ω0 – это физический параметр, характеризующий колебательные свойства системы и называемый собственной частотой колебаний.

Тогда с учетом (3.2) уравнение (3.1) можно переписать в виде:

 

2

(3.3)

x

0 x 0 ,

Уравнение (3.3) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид:

x t Acos 0t 0 .

(3.4)

Период колебаний пружинного маятника:

T

2

2

m .

(3.5)

 

 

0

k

 

В рассмотренном примере сила по своей природе упругая. Сила иного происхождения может обнаруживать такую же закономерность, то есть оказываться равной kx, где k – постоянная положительная величина. Силы такого вида, независимо от их природы, называются квазиупругими.

3.2 Физический маятник

Физический маятник – твердое тело, способное совершать колебания относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.

11

Колебания

Отклоним маятник на угол от положения равновесия (рис. 3.2). При этом возникает вращающий момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:

M mgl sin ,

m – масса маятника, l – расстояние между точкой подвеса О и центром масс С. Знак “ ” означает, что момент силы тяжести стремится уменьшить угол отклонения маятника.

 

 

 

Будем считать,

что

угол отклонения

мал (до

O

 

 

3 5 ), при этом sin ( должен быть выражен в

 

 

l

радианах). Применив основной закон динамики враща-

 

 

 

 

тельного движения, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

d

2

mgl

0.

(3.6)

 

 

d

 

 

dt 2

J

 

 

 

 

 

где J момент инерции маятника относительно оси

 

 

 

 

 

 

колебаний.

 

 

 

 

 

 

mg

 

d 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

dt2 угловое ускорение маятника,

 

 

 

 

 

Рисунок 3.2

Введем обозначение:

 

 

 

 

02 mgl .

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.7)

 

 

 

J

 

 

 

 

 

Тогда дифференциальное уравнение гармонических колебаний запишется в виде:

 

2

(3.8)

0 0

Решение уравнений (3.6) и (3.8) имеет вид:

 

t max cos 0t 0 ,

(3.9)

где A max – амплитуда колебаний, то есть наибольший угол, на который

отклоняется маятник.

Следовательно, малые колебания физического маятника являются гармоническими.

Период гармонических колебаний физического маятника

T

2

2

J

.

(3.10)

 

 

 

0

mgl

 

3.3 Математический маятник

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой шарик массой m, подвешенный на длинной нити длиной l (рис. 3.3). Мате-

12

Колебания

матический маятник можно рассматривать как предельный случай физического маятника, масса которого сосредоточена в одной точке.

Движение физического маятника описывается уравнением (3.6).

d 2 2 mgl 0. dt J

Если нить длинная, то шарик можно считать материальной точкой. Момент инерции J шарика относительно оси колебаний в этом случае равен:

J ml2 .

Период колебаний математического маятника

T 2

ml2

2

l

.

mql

g

 

 

 

l

mg

Рисунок 3.3

(3.17)

Из сопоставления формул (3.16) и (3.17) получается, что математический маятник с длиной

lпр

J

(3.18)

ml

 

 

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (3.18) называют приведенной длиной физического маятника.

Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4 Колебательный контур

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Колебательный контур – цепь, содержащая катушку индуктивностью L

и конденсатор емкостью С (рис. 3.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Колебания в контуре можно вызвать, сообщив об-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кладкам конденсатора некоторый начальный заряд. За-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

мкнем ключ К в положение 1

(рис. 3.5). На обкладках

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

возникнут два разноименных заряда +q и q. Между ними

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

возникнет электрическое поле, энергия которого

 

 

 

 

Рисунок 3.4

 

 

W

 

q2

.

(3.19)

 

 

 

 

 

2C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

эл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 K 2

 

 

Если затем отключить источник напряжения и за-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мкнуть конденсатор на индуктивность (ключ К – в поло-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

L

жении 2), то конденсатор начнет разряжаться, в контуре

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

потечет ток. В результате этого энергия электрического

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поля будет уменьшаться, зато возникнет магнитное поле с

 

 

Рисунок 3.5

 

 

энергией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

Колебания

W

LI

2

,

(3.20)

 

 

м

2

 

 

 

 

 

 

 

которая возрастает. Активное сопротивление R=0, поэтому полная энергия не расходуется на нагревание проводов и остается величиной постоянной

Wэл Wм const

или

 

 

 

 

 

q2

 

LI

2

 

 

 

 

 

const .

(3.21)

 

2C

2

 

 

 

 

Продифференцируем функцию (3.21) по времени, произведем сокращения и, разделив каждый член уравнения на L, получим:

 

 

 

I dI

 

 

 

1

 

q dq

0 .

 

 

 

 

LC

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

dt

 

Так как по определению

dq

I , то

dI

 

d 2q

.

 

dt

dt

dt 2

 

 

 

 

 

 

 

 

На основании этого можно записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2q

 

 

1

 

q 0 .

Введем обозначение

 

 

dt 2

 

LC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.22)

(3.24)

(3.25)

и приведем уравнение (3.24) к виду:

 

2

(3.26)

q

0q 0 .

Решением этого уравнения является функция

 

q qmax cos 0t 0 ,

(3.27)

где qmax максимальное (амплитудное) значение заряда.

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гар-

моническому закону. Период колебаний колебательного контура определяется по формуле, которая называется формулой Томсона:

 

 

T

2

2 LC .

(3.28)

 

 

 

Напряжение на конденсаторе:

0

 

 

 

 

U

q

qmax cos 0t 0 Umax cos 0t 0 ,

(3.29)

C

 

C

 

 

 

где Umax=qmax/C – амплитудное значение напряжения.

14

Колебания

Продифференцировав функцию (3.27) по времени, получим выражение для силы тока:

I 0qmax sin 0t 0

 

0t 0

 

 

,

(3.30)

Imax cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

где Imax0qmax – амплитудное значение силы тока.

Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2.

§4 Энергия колебаний

Колебания пружинного маятника совершаются под действием упругой силы. Потенциальная энергия гармонического колебания

W kx2

k A2 cos2

t

0

.

п

2

2

0

 

 

 

 

 

 

 

Кинетическая энергия гармонического колебания

Wк m2v2 m2 A2 02 sin2 0t 0 .

Полная механическая энергия гармонического колебания:

W Wк Wп,

(4.1)

(4.2)

W mA2 02 sin2

0t 0

kA2 cos2 0t 0

 

 

2

 

 

2

 

,

(4.3)

 

kA2

sin2

0t 0 cos2 0t 0

kA2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

так как согласно (3.5) k m 02 (см. §3, п.3.1).

 

 

полная

 

 

 

 

 

Таким

образом,

x

 

 

энергия гармонического колеба-

 

 

 

 

 

ния остается величиной по-

 

 

 

 

t

стоянной.

 

2

 

 

 

 

 

 

W kA

(4.4)

 

 

 

 

 

 

.

Wn,Wk

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Графики зависимости кинетической и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wn

потенциальной

энергии от

времени

 

 

 

 

Wk

представлены на рис. 4.1. Частота из-

 

 

 

 

менения энергии в 2 раза превышает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

частоту колебаний. В моменты

Рисунок 4.1

 

 

наибольшего смещения х потенци-

 

 

 

 

 

альная энергия

Wп достигает макси-

мума. При прохождении системой положении равновесия (х=0) потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна. Наибольшие значения кинетической и потенциальной энергии равны между собой.

15

Колебания

§5 Сложение гармонических колебаний

Любая колебательная система в общем случае может совершать одновременно несколько колебаний. Сложение нескольких колебаний значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости.

5.1 Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма

Из произвольной точки 0, взятой на оси х, отложим вектор длиной А, образующий с осью 0x угол φ0, равный начальной фазе (рис. 5.1).

Если привести этот вектор во вращение с постоянной угловой скоростью ω0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от А до +А. С течением времени угол будет изменяться по закону

0t 0 ,

Соответственно, проекция вектора A на ось х изменяется по закону

 

A

 

 

 

 

0

 

x Acos 0t 0 ,

 

 

 

 

 

 

то есть совершает гармонические колебания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из сказанного следует, что гармониче-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ское колебание может быть задано с по-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

мощью вектора, длина которого равна ам-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плитуде колебания, а направление вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

образует с осью х угол, равный фазе колеба-

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x

x0

 

Рисунок 5.1

 

 

 

 

ния. Полученная схема называется векторной

 

 

 

 

 

диаграммой.

5.2 Сложение одинаково направленных гармонических колебаний

а). Сложение колебаний одинаковой частоты: 1 2 0 . Смещение

х колеблющейся точки будет равно сумме смещений х1 и х2, которые описываются уравнениями:

x1 A1 cos 0t 01

 

x

2

A

cos

t

02

.

(5.1)

 

2

0

 

 

 

Оба колебания представим в виде векторовA1 и A2

и сложим их по пра-

вилу параллелограмма (рис. 5.2). Проекция вектора A на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

х=х1+х2.

16

Колебания

Следовательно, вектор A представляет собой результирующее колебание.

Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ω0, как и векторы A1 и A2 , так что результирующее движение будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

гармоническим колебанием с той же ча-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стотой ω0, амплитудой А и начальной фа-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

02

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

зой φ0:

x Acos 0t 0 .

 

 

 

(5.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Амплитуда и начальная фаза результиру-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

ющего

колебания

определяются

соотно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

x

шениями;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x1

 

 

 

x2

 

 

 

A

A2

A2 2A A cos

02

 

01

.(5.4)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 0

 

A1 sin 01

A2 sin 02

.

 

(5.5)

 

Рисунок 5.2

 

 

 

 

A1 cos 01

A2 cos 02

 

 

 

 

 

 

 

 

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз. Если:

1)02 01 2 m , где m=0, 1, 2, …, то A A1 A2 .

2)02 01 (2m 1)m , где m=0, 1, 2, …, то A A1 A2 .

б). Сложение колебаний одного направления с различными, но близкими частотами. В результате получаются негармонические колебания называемые

биениями.

Частота одного колебания ω, частота второго – (ω+Δω). По условию Δω<<ω. Будем считать, что амплитуды обоих колебаний одинаковы и равны А. Начальные фазы обоих колебаний равны нулю Складываемые уравнения будут иметь вид:

 

 

 

 

x1 Acos t ,

 

 

 

 

 

 

 

(5.6)

 

 

 

 

x2 Acos t .

 

 

 

 

 

 

 

(5.7)

Результирующее колебание опишется уравнением

 

x x

x

2

A cos t cos t 2Acos

t

cos t

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(во

втором сомножителе

 

 

 

 

пренебрегаем

слагаемым

 

 

 

 

Δω/2 по сравнению с ω).

 

 

 

 

 

Уравнение,

описыва-

 

 

 

 

ющее биения, имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2Acos

t

cos t . (5.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Рисунок 5.3

 

График функции (5.8)

 

дан

на рис. 5.3.

Амплитуда

 

 

 

 

17

Колебания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

биений A(t) 2Acos

t . Циклическая частота Δω называется циклической

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частотой биений. Период биений T

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

биен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

 

а). Сложение колебаний одинаковой частоты. Начало отсчета выберем так,

чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения

колебаний запишутся следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x A1 cos t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y A

 

cos t ,

 

 

 

(5.10)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

где

02 01 – разность фаз складываемых колебаний. Эти два уравнения

составляют систему, которая задает траекторию движения в параметрической

форме. Чтобы получить уравнение траектории в обычной форме, надо исклю-

чить из (5.10) параметр t. В результате получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

 

2xy cos sin2 .

 

 

 

(5.15)

 

 

A2

A2

 

A1 A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (5.15) представляет собой уравнение эллипса, оси которого

ориентированы относительно координатных осей x и y произвольно. Ориента-

ция осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний

 

y

 

и разности фаз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частные случаи.

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Разность фаз складываемых колебаний

 

 

 

 

 

A 2

0. В этом случае уравнение (5.15)

 

A 1

x

примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y A2 x .

 

 

 

 

 

 

 

(5.16)

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это уравнение прямой, проходящей через

 

Рисунок 5.4

 

начало координат и лежащей в I и III четвертях

 

 

 

(рис. 5.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

2.

Разность

 

фаз

складываемых

колебаний

 

A1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

Уравнение (5.15) примет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y A2 x .

 

 

 

 

A1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.17)

 

 

A 2

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

Это уравнение прямой, проходящей начало ко-

 

 

 

 

 

 

ординат

и

лежащей

в

II

и

IV

четвертях

 

Рисунок 5.5

 

(рис. 5.5):

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Колебания

3. Разность фаз складываемых колебаний 2 . Уравнение (5.15) переходит в каноническое уравнение эллипса:

x2

 

y2

1,

(5.18)

A2

A2

 

 

 

1

 

2

 

 

Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам. Если эллипс вырождается в окружность

 

x2 y2 R2 .

(5.19)

y

 

 

 

A

Случаи =π/2

и =Δφ π/2

отличаются

2

 

направлением движения по эллипсу или окружности (рис. 5.6).

A1 A2 R , то

2

б). Сложение взаимно-перпендикулярных A1 колебаний с кратными частотами (часто-

ты относятся как целые числа). Точка в результате будет двигаться вдоль замкнутой кривой, форма которой зависит от отношения амплитуд A2 A1 , кратности частот 2 1 и

разности начальных фаз .

A2

Рисунок 5.6

A1 x

2

Замкнутые траектории точки, одновременно совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат 0x и 0y и равны соответственно 2А1 и

2А2. Отношение частот y

x

равно отношению числа касаний фигуры Лис-

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

сажу с горизонтальными

и вертикальными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сторонами прямоугольника, в который она

 

 

 

 

 

A 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вписана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

n

x

.

(5.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

*

A1

x

 

x

 

ny

 

 

 

 

 

 

 

A 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

1 2

2

Рисунок 5.7

Пример: Число касаний фигуры с горизонтальными сторонами: nx=4, число касаний с вертикальными сторонами: ny=2 (рис. 5.7). Отношение частот

y 4 2

x 2

19

Колебания

§6 Затухающие колебания

6.1Затухающие колебания пружинного маятника

Вреальных условиях на шарик массы m, совершающий колебания вдоль оси 0x под действием силы упругости F упр kx , действует также сила сопро-

тивления (вязкого трения). При малых скоростях она пропорциональна скорости

F r v r dx ,

(6.1)

c

dt

 

где r – коэффициент сопротивления. Знак “ “ обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления. В этом случае второй закон Ньютона запишется в виде

kx r

dx

m

d 2 x

.

(6.2)

dt

dt 2

 

 

 

 

Разделив обе части полученного уравнения на m, перепишем его следующим образом:

 

d 2 x

 

r dx

 

k

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2

 

m dt

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2 x 0 x 0 ,

 

 

 

где обозначено:

 

 

r

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

,

 

 

 

02

 

.

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

(6.2а)

(6.3)

Величину β называют коэффициентом затухания. ω0 – собственная частота колебаний, то есть частота, с которой совершались бы свободные колебания при отсутствии трения.

Уравнение (6.3) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний. Если затухание невелико (β<ω0), то решение имеет вид:

x t A e t cos t

0

,

(6.4)

 

0

 

 

где

02 2 ,

 

 

(6.5)

– частота затухающих колебаний.

 

Согласно (6.4) движение маятника можно рассматривать как колебание с частотой ω и

 

амплитудой А, изменяющейся по закону

 

 

A A t A e t .

(6.6)

Рисунок 6.1

0

 

 

 

График функции x(t) дан на рисунке 6.1.

20