Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Курс лекций исправленный.DOC
Скачиваний:
51
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
980.99 Кб
Скачать

4. Учение о кристаллографических символах

4.1. Закон рациональности двойных отношений (закон Аюи)

Закон рациональности двойных отношений является важнейшим законом кристаллографии, из которого вытекает всё учение о кристаллографических символах, применяемых для определения относительного расположения граней и рёбер кристаллов. Закон этот был впервые сформулирован французским кристаллографом Аюи (1723-1826) и поэтому его часто называют “законом Аюи”. Сущность закона Аюи состоит в следующем.

Выберем в кристалле три непараллельных ребра, пересекающихся в одной точке (рис. 4.1). Пусть две непараллельные грани пересекают все три ребра первая грань в точках А111, а вторая в точках А222.

Таким образом грань А1В1С1 отсекает на ребрах О123 отрезки ОА1, ОВ1 и ОС1, а грань А2В2С2 - отрезки ОА2, ОВ2 и ОС2.

Разделим отрезки отсекаемые на рёбрах одной гранью, на соответственные отрезки другой грани, а затем возьмём отношение трёх полученных дробей. В результате получим двойные отношения отрезков, которые можно заменить отношениями:

ОА2/ ОА1: ОB2/ ОB1: ОC2/ ОC1=m:n:p

где m,n,p- целые взаимно простые числа.

Это математическое выражение закона рациональности: “Двойные отношения отрезков, отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трёх пересекающихся рёбрах его, равны отношениям целых и сравнительно небольших взаимно простых чисел”.

Закон Аюи объясняется решётчатым строением кристаллов. Грани на рис. 4.1 соответствуют плоским сеткам, а рёбра рядам решётки.

Если а0 – промежуток ряда О1, b0-промежуток ряда О2, с0-промежуток ряда О3 (рис. 4.2), то отрезки сетки A1B1C1 равны:

ОА1=rа0, ОB1=sb0, ОC1=t c0,

где r,s,t- целые числа.

Отрезки сетки A2B2C2 равны:

ОА2=uа0, ОB2=vb0, ОC2=wc0,

где u,v,w- целые числа.

Если плоские сетки проходят через узлы, которые располагаются вне рядов, то в этом случае отрезки, отсекаемые плоскими сетками, состоят из дробного, но обязательно рационального числа промежутков.

Рис. 4.1. Грани А1В1С1 и А2В2С2 отсекают на ребрах О1, О2, О3 отрезки, отношения которых равны отношениям простых чисел

Рис. 4.2. Ребра О1, О2, О3 - ряды решетки. Грани А1В1С1 и А2В2С2 - плоские сетки.

Рис. 4.3. Для действительных граней кристалла двойные отношения отрезков равны отношениям небольших целых чисел

В

формулировке закона Аюи указывается, что двойные отношения отрезков равны отношениям сравнительно небольших целых чисел. Этот момент объясняется законом Бравэ.

Предположим, что два непараллельных ребра пересекаются различными гранями. Пусть все они отсекают на ребре отрезок, равный одному промежутку ряда. Прямые А1В1, А1В2 и т. д. отвечают следам всех этих граней на плоскости (рис. 4.3).

Пользуясь законом Аюи, можно теоретически вывести все возможные грани кристалла.

4.2. Символы граней

Положение граней кристаллов определяется относительно некоторой системы координат, выбираемой так, чтобы координатные оси были параллельны рядам пространственной решётки.

Направления в кристалле, параллельные рядам его пространственной решётки принятые за оси координат, называют кристаллографическими осями.

Отрезки, отсекаемые гранью кристалла на кристаллографических осях, называют параметрами этой грани.

Грань, линейные размеры которой по всем кристаллографическим осям приняты за единицы измерения параметров остальных граней кристаллов, называется единичной гранью.

В общем случае каждая грань имеет свой масштаб.

На рис. 4.4 грань А0В0С0 принята в качестве единичной грани. Найдём число единичных отрезков

ОАx/ ОА0=р; ОBx/ ОB0=q; ОCx/ ОC0=r, где

числа p,q,r – числовые параметры грани.

Если взять обратное отношение имеем:

Рис.4.4. Символ грани АхВхСх определяется из двойных отношений

ОА0/ ОАx : ОB0/ ОBx : C0/ОCx= = h:k:l

где h,k,l-целые взаимно простые числа.

Эти числа называются индексами грани и служат характеристикой её положения в кристаллографической системе координат.

Индексами грани кристалла называются целые взаимно простые числа, обратно пропорциональные числовым параметрам этой грани.

Совокупность индексов данной грани, взятых в круглые скобки образует символ грани.

Как всякие координатные оси кристаллографические оси имеют положительные и отрицательные концы. В общем случае положительный конец направляется в сторону наблюдателя, вторая ось располагается горизонтально и её положительный конец направляют слева направо, а третью ось ориентируют вертикально вверх.

Частные случаи символов граней (рис. 4.4):

1. Символ (111) всегда отвечает единичной грани.

Рис. 4.4. Частные случаи символов граней

Символ единичной грани - (111) ,хотя, как уже указывалось выше, единичные отрезки на кристаллографических осях могут быть не равны друг другу.

2. В символе грани, параллельной какой-либо кристаллографической оси, индекс, соответствующий этой оси равен нулю.

3. Грань, пересекающая одну кристаллографическую ось и параллельная двум другим, имеет символ, один индекс которого равен единице, а два других - нулю.