2. Диференційне рівняння теплопровідності

Для визначення швидкості переносу тепла за законом Фур’є необхідно знати градієнт температур в даній точці або розподіл температур в системі. Останній описується основним рівнянням переносу:

Потенціал переносу тепла:  = c_pt.

Щільність молекулярного потоку тепла:

Якщо  = 0, то

Якщо  = const і С_р = const, то диференційне рівняння теплопровідності приймає вигляд:

де а – коефіцієнт температуропровідності, фізичний сенс і розмірність якого виникають із градієнтного закону:

Якщо = 1 Дж/м⁴, то , тобто коефіцієнт температуропровідності дорівнює щільності потоку тепла при значенні .

Якщо  = const і С_р = const, то градієнтний закон приймає форму закону Фур’є:

звідки видно що .

3. Теплопровідність плоскої стінки

Розглянемо перенос тепла через плоску стінку товщиною  необмежених розмірів вздовж координат y і z.

Хай t_ст1 и t_ст2 – температура на поверхні стінки з гарячої і холодної сторін, град;

 - коефіцієнт теплопровідності стінки, Вт/мград.

Необхідно визначити щільність потоку тепла в стінці q_Т.

По закону Фур’є .

Визначимо розподіл температур в стінці t = f (x, y, z) шляхом інтегрування диференційного рівняння теплопровідності .

Якщо процес переносу тепла сталий і є одномірним , то диференційне рівняння приймає вигляд: Після його інтегрування маємо t = С₁х + С₂.

Значення постійних С₁ і С₂ знайдемо із межових умов:

при х = 0 t = t_ст1, тобто t_ст1 = С₁0 + С₂, звідки С₂ = t_ст1

при х =  t = t_ст2, тобто t_ст2 = С₁ + С₂, звідки С₁ =

Тоді температура в будь-якій точці стінки визначається рівнянням:

а градієнт температур:.

Згідно закону Фур’є щільність потоку тепла в стінці:

Потік тепла через стінку площею F становить:

– рівняння теплопровідності плоскої стінки.

Рівняння теплопровідності вигідно представляти в іншій формі:

де / - термічний опір стінки.

Якщо стінка складається з декількох шарів, що мають різні коефіцієнти теплопровідності, то рівняння теплопровідності мають вигляд:

де t₁ і t₂ – температура багатошарової стінки з гарячої і холодної сторін.

4. Теплопровідність циліндричної стінки

Хай r₁ і r₂ – радіуси внутрішньої і зовнішньої поверхні труби;

L – довжина труби;

t_ст1, t_ст2 – температура внутрішньої і зовнішньої поверхні труби;

 - коефіцієнт теплопровідності стінки.

Необхідно визначити потік тепла Q через стінку труби.

Виділимо в стінці труби циліндричну поверхню радіусом r. Хай градієнт температур на цій поверхні становить dt/dr. Тоді потік тепла через цю поверхню:

Розподіливши перемінні величини і про інтегрувавши рівняння, одержимо:

Звідки

Якщо .

По аналогії потік тепла через багатошарову стінку:

де t₁ і t₂ – температура внутрішньої і зовнішньої поверхні багатошарової стінки.

2. Конвективний перенос тепла

Конвекція відіграє важливу роль в процесах нагрівання (охолодження) рідин і газів в теплообмінних апаратах.

В найбільш розповсюджених поверхневих теплообмінниках перенос тепла відбувається через стінку, що розділяє гарячу і холодну рідини.

Розглянемо механізм переносу тепла на межі тверда стінка – рідина.

Хай t_ст - температура поверхні стінки;

t_рід – температура рідини в ядрі потоку;

 - товщина межового ламінарного шару.

Якщо t_ст  t_рід, то тепло буде переноситись від стінки в ядро потоку і далі виноситись потоком рідини із апарата. Через межовий ламінарний шар рідини тепло рідини переноситься тільки молекулярним механізмом (теплопровідність шару рідини).

Щільність молекулярного потоку

де  = f(природа рідини) = const.

В турбулентному ядрі перенос тепла здійснюється турбулентними вихорами (макрочастинками рідини).

Щільність потоку тепла в турбулентному ядрі:

де  = f(Re) – коефіцієнт турбулентної теплопровідності.

Оскільки _турб  , то при усталеному режимі тепло переносу () градієнт температур в межовому ламінарному шарі значно більший, ніж в ядрі потоку:

Тепло, що передається від стінки в ядро потоку рідини, виноситься рідиною із апарата (конвективний перенос).

Оскільки градієнти температур в межовому шарі і в турбулентному ядрі невідомі, то швидкість переносу тепла від стінки до рідини не може бути визначена за законом Фур’є. Тому Ньютоном було запропоноване рівняння тепловіддачі від стінки до рідини, засноване на досвіді.