Отыскание точки пересечения прямой линии с прямой пирамидой и с прямым круговым конусом с помощью средств AutoCad
Цель: найти точку пересечения прямой линии с пирамидой с помощью проецирующей вспомогательной плоскости.
Контрольные вопросы:
1. Какой должна быть вспомогательная секущая плоскость, используемая при решении поставленной задачи, что бы облегчить решение задачи?
2. Сформулируйте общий принцип решения задачи пересечения поверхностей с прямой линией.
Задание 1: найти точки пересечения прямой а с прямой семигранной пирамидой; объекты заданы проекциями на горизонтальную и фронтальную плоскость (варианты заданий приведены в приложении Д).
Решим задачу с помощью вспомогательной секущей плоскости Ф, которую проведем через прямую а. Решение задачи упрощается, если плоскость будет проецирующей. Применим фронтально-проецирующую плоскость, совместим ее фронтальный след с фронтальной проекцией прямой a (рис. 8.1). Найдем горизонтальную проекцию сечения пирамиды этой плоскостью, сделаем это так же, как в лабораторной работе № 5 (рис. 8.2).
|
|
|
|
Рисунок 8.1 – Проекции пирамиды и прямой общего положения |
Рисунок 8.2 – Горизонтальная проекция сечения |
Найдем горизонтальные, а затем, по соответствию, фронтальные проекции точек пересечения прямой с сечением, это и будут точки пересечения прямой и пирамиды (рис. 8.3). Трехмерная модель отыскания точек пересечения приведена на рисунке 8.4.
Рисунок 8.3 – Проекции точек пересечения прямой и пирамиды
Рисунок 8.4 – Трехмерная модель отыскания точек пересечения
Задание 2: найти точки пересечения прямой линии с прямым круговым конусом; объекты заданы проекциями на горизонтальную и фронтальную плоскость (варианты заданий приведены в приложении Д).
Исходные данные приведены на рисунке 8.5. Для решения задачи применим вспомогательную секущую плоскость, которую проведем через вершину конуса и две точки на прямой. Такая плоскость пересекает конус по образующим, заданная прямая лежит в плоскости. Зададим две точки на прямой a (рис. 8.6).
|
|
|
|
Рисунок 8.5 – Проекции конуса и прямая a |
Рисунок 8.6 – Задание точек на прямой |
Построим секущую плоскость:
при помощи команды LINE, проведем две прямые через вершину конуса и точки 12 и 22; эти две прямые определяют фронтальную проекцию секущей плоскости, таким же образом построим горизонтальные проекции этих прямых (рис. 8.7);
с помощью команды EXTEND найдем фронтальные проекции точек пересечения прямых S1 и S2 с плоскостью основания конуса – М2 и N2 (рис. 8.8);
найдем горизонтальные проекции этих точек, это удобно с помощью команды FILLET, которая может быть применена для продления отрезков до точки пересечения (рис. 8.9).
Прямая M1N1 – след секущей плоскости на плоскости основания конуса, построив ее можно найти точки пересечения следа плоскости с основанием конуса – А1 и В1 (рис. 8.10).
|
|
|
|
Рисунок 8.7 – Построение прямых S1 и S2 |
Рисунок 8.8 – Отыскание точек М2 и N2 |
|
|
|
|
Рисунок 8.9 – Отыскание точек М1 и N1 |
Рисунок 8.10 – Построение отрезка M1N1 |
Теперь можно построить горизонтальные проекции образующих, являющихся сечением конуса плоскостью 1S2 – A1S1 и B1S1 (рис 8.11).
Эти образующие и исходная прямая лежат в секущей плоскости, поэтому, точки их пересечения (если они существуют) являются точками пересечения прямой и конуса. Найдем горизонтальные проекции этих точек - М2 и N2 , и, по соответствию их фронтальные проекции - М2 и N2 (рис. 8.12).
Трехмерная модель отыскания точек пересечения приведена на рисунке 8.13.
|
|
|
|
Рисунок 8.11 – Построение отрезков A1S1 и B1S1 |
Рисунок 8.12 – Отыскание точек пересечения прямой и конуса |
Рисунок 8.13 – Трехмерная модель отыскания точек пересечения
Приложение А
Варианты заданий к лабораторной работе № 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Варианты заданий к лабораторным работам № 2-4
|
№ |
А |
В |
С |
Д |
|
1 |
40,5,55 |
0,50,10 |
65,20,0 |
70,65,60 |
|
2 |
20,10,20 |
75,20,50 |
90,85,0 |
30,50,45 |
|
3 |
85,20,80 |
25,40,20 |
90,90,30 |
70,10,10 |
|
4 |
85,42,0 |
25,62,20 |
0,10,40 |
35,35,58 |
|
5 |
10,20,25 |
55,50,10 |
80,0,65 |
40,50,45 |
|
6 |
65,25,70 |
0,40,40 |
90,90,15 |
15,70,100 |
|
7 |
40,70,5 |
0,30,30 |
65,25,65 |
20,80,65 |
|
8 |
42,72,0 |
0,32,33 |
75,40,55 |
15,65,60 |
|
9 |
55,0,30 |
0,10,60 |
5,55,15 |
35,35,50 |
|
10 |
45,55,10 |
0,25,35 |
60,10,60 |
80,30,35 |
|
11 |
45,0,60 |
80,45,15 |
15,10,10 |
10,60,55 |
|
12 |
0,65,0 |
15,20,50 |
70,10,20 |
60,50,45 |
|
13 |
25,30,50 |
65,50,10 |
10,60,40 |
0,30,15 |
|
14 |
88,50,10 |
62,0,60 |
20,0,30 |
28,34,50 |
|
15 |
0,50,10 |
25,0,60 |
70,5,30 |
60,35,70 |
|
16 |
105,0,95 |
80,75,30 |
0,30,15 |
15,70,100 |
|
17 |
40,65,20 |
0,10,60 |
55,20,40 |
65,15,30 |
|
18 |
70,20,10 |
25,50,30 |
0,10,50 |
60,40,45 |
|
19 |
0,15,40 |
60,60,75 |
85,45,10 |
50,5,45 |
|
20 |
35,70,0 |
60,40,20 |
20,25,45 |
70,85,50 |
|
21 |
25,5,70 |
65,30,30 |
0,45,25 |
45,65,80 |
|
22 |
25,15,60 |
65,50,15 |
0,80,10 |
50,75,50 |
|
23 |
70,25,5 |
15,55,35 |
20,5,50 |
50,75,40 |
|
24 |
15,70,0 |
60,40,20 |
0,25,45 |
0,45,10 |
|
25 |
30,55,5 |
75,10,50 |
5,0,20 |
0,35,65 |
|
26 |
0,10,55 |
15,60,10 |
70,30,15 |
60,55,40 |
|
27 |
25,30,30 |
65,10,50 |
10,20,90 |
0,55,45 |
|
28 |
85,0,65 |
60,65,10 |
0,30,20 |
50,35,10 |
|
29 |
70,5,65 |
10,20,30 |
50,50,20 |
20,65,10 |
|
30 |
50,5,70 |
10,30,30 |
75,40,20 |
20,65,75 |
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Варианты заданий к лабораторным работам № 5-7
|
№ |
Призма и пирамида |
Конус и цилиндр |
Центр основания |
Высота |
Плоскость сечения | ||
|
Основание (фигура) |
Длина сторон(ы) |
Радиус основания |
Угол наклона плоскости к оси х,° |
Координата пересечения плоскости с осью х | |||
|
1 |
Правильный шестиугольник |
10 |
25 |
(0,45,10) |
85 |
40 |
50 |
|
2 |
ромб |
25 |
15 |
(20,50,10) |
75 |
50 |
65 |
|
3 |
Равносторонний треугольник |
30 |
40 |
(15,40,20) |
54 |
35 |
75 |
|
4 |
Правильный пятиугольник |
15 |
20 |
(10,45,20) |
65 |
40 |
40 |
|
5 |
Прямоугольник |
40,15 |
15 |
(0,40,25) |
68 |
25 |
45 |
|
6 |
Параллелограмм |
20,30, угол=40° |
26 |
(0,55,20) |
60 |
45 |
50 |
|
7 |
Равносторонний треугольник |
20 |
29 |
(15,30,30) |
65 |
40 |
65 |
|
8 |
Квадрат |
34 |
30 |
(15,30,15) |
70 |
30 |
75 |
|
9 |
Правильный пятиугольник |
28 |
24 |
(15,80,30) |
65 |
55 |
60 |
|
10 |
Прямоугольник |
24,25 |
15 |
(5,50,40) |
46 |
45 |
45 |
|
11 |
Ромб |
25 |
18 |
(10,45,10) |
40 |
50 |
55 |
|
12 |
Равносторонний треугольник |
30 |
20 |
(15,50,10) |
45 |
40 |
40 |
|
13 |
Правильный пятиугольник |
20 |
15 |
(45,70,30) |
55 |
60 |
50 |
|
14 |
Прямоугольник |
25,35 |
25 |
(10,30,10) |
50 |
35 |
25 |
|
15 |
Параллелограмм |
20,45, угол=35° |
19 |
(15,60,30) |
55 |
54 |
20 |
|
16 |
Прямоугольный треугольник |
катеты=25,18 |
34 |
(35,30,10) |
55 |
50 |
40 |
|
17 |
Квадрат |
26 |
37 |
(25,20,20) |
65 |
36 |
45 |
|
18 |
Ромб |
32 |
29 |
(30,30,30) |
75 |
68 |
25 |
|
19 |
Правильный шестиугольник |
21 |
35 |
(10,25,40) |
65 |
80 |
5 |
|
20 |
Равносторонний треугольник |
17 |
30 |
(5,40,10) |
80 |
70 |
10 |
|
21 |
Правильный пятиугольник |
18 |
40 |
(20,50,20) |
75 |
50 |
30 |
|
22 |
Прямоугольник |
24,15 |
15 |
(15,10,20) |
40 |
30 |
20 |
|
23 |
Параллелограмм |
23,34, угол=20° |
12 |
(10,15,30) |
35 |
60 |
10 |
|
24 |
Прямоугольный треугольник |
катеты=20,30 |
20 |
(30,30,10) |
65 |
40 |
65 |
|
25 |
Квадрат |
23 |
17 |
(30,35,10) |
45 |
35 |
70 |
|
26 |
Прямоугольник |
21,26 |
28 |
(5,40,20) |
75 |
50 |
40 |
|
27 |
Ромб |
23 |
13 |
(35,30,20) |
86 |
30 |
55 |
|
28 |
Равносторонний треугольник |
22 |
15 |
(5,30,25) |
76 |
50 |
25 |
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
Варианты заданий к лабораторной работе № 8
|
№ |
Пирамида |
Конус |
Центр основания |
Высота |
Пересекащая прямая | ||
|
Основание (Фигура) |
Длина сторон(ы) |
Радиус основания |
Начальная коорд. |
Конечная коорд. | |||
|
1 |
Правильный шестиугольник |
10 |
25 |
(0,45,10) |
85 |
(30,30,18) |
(-40,60,60) |
|
2 |
Ромб |
25 |
15 |
(20,50,10) |
75 |
(40,5,5) |
(0,65,55) |
|
3 |
Равносторонний треугольник |
30 |
18 |
(25,40,20) |
54 |
(50,45,15) |
(0,20,60) |
|
4 |
Правильный пятиугольник |
15 |
20 |
(30,45,20) |
65 |
(40,10,15) |
(10,50,60) |
|
5 |
Прямоугольник |
40,15 |
15 |
(0,40,25) |
68 |
(20,10,15) |
(0,50,60) |
|
6 |
Параллелограмм |
20,30, угол=40° |
26 |
(0,55,20) |
60 |
(10,20,50) |
(-10,60,20) |
|
7 |
Равносторонний треугольник |
20 |
29 |
(15,30,30) |
65 |
(30,35,25) |
(10,5,60) |
|
8 |
Квадрат |
34 |
30 |
(15,30,15) |
70 |
(30,20,18) |
(-40,50,60) |
|
9 |
Правильный пятиугольник |
28 |
24 |
(15,80,30) |
65 |
(40,85,5) |
(0,5,55) |
|
10 |
Прямоугольник |
24,25 |
15 |
(5,50,40) |
46 |
(50,45,15) |
(0,20,60) |
|
11 |
Ромб |
25 |
18 |
(10,45,10) |
40 |
(40,10,15) |
(10,50,60) |
|
12 |
Равносторонний треугольник |
30 |
20 |
(15,50,10) |
45 |
(20,10,15) |
(0,50,60) |
|
13 |
Правильный пятиугольник |
20 |
15 |
(45,70,30) |
55 |
(10,20,50) |
(-10,60,20) |
|
14 |
Прямоугольник |
25,35 |
25 |
(10,30,10) |
50 |
(30,35,25) |
(10,5,50) |
|
15 |
Параллелограмм |
20,45, угол=35° |
19 |
(15,60,30) |
55 |
(30,30,18) |
(-40,60,60) |
|
16 |
Прямоугольный треугольник |
катеты=25,18 |
19 |
(25,30,80) |
55 |
(40,5,5) |
(0,65,55) |
|
17 |
Квадрат |
26 |
17 |
(25,20,20) |
65 |
(50,45,15) |
(0,10,45) |
|
18 |
Ромб |
32 |
29 |
(30,30,30) |
75 |
(40,10,15) |
(10,50,60) |
|
19 |
Правильный шестиугольник |
21 |
35 |
(10,15,40) |
65 |
(20,10,15) |
(0,50,60) |
|
20 |
Равносторонний треугольник |
17 |
30 |
(5,40,10) |
80 |
(10,20,50) |
(-10,60,20) |
|
21 |
Правильный пятиугольник |
18 |
40 |
(20,50,20) |
75 |
(30,35,25) |
(10,5,60) |
|
22 |
Прямоугольник |
24,15 |
15 |
(15,10,20) |
40 |
(40,10,15) |
(0,50,65) |
|
23 |
Параллелограмм |
23,34, угол=20° |
12 |
(10,15,30) |
35 |
(30,30,18) |
(-40,60,60) |
|
24 |
Прямоугольный треугольник |
катеты=20,30 |
20 |
(30,30,10) |
65 |
(40,5,5) |
(0,65,55) |
|
25 |
Квадрат |
23 |
17 |
(30,35,10) |
45 |
(50,45,15) |
(0,20,60) |
|
26 |
Прямоугольник |
21,26 |
28 |
(5,40,20) |
75 |
(40,10,15) |
(10,50,60) |
|
27 |
Ромб |
23 |
13 |
(35,30,20) |
86 |
(20,10,15) |
(0,50,60) |
|
28 |
Равносторонний треугольник |
22 |
15 |
(5,30,25) |
76 |
(10,20,50) |
(-10,60,20) |
|
29 |
Квадрат |
15 |
26 |
(0,40,30) |
70 |
(30,35,25) |
(10,5,60) |
|
30 |
Правильный пятиугольник |
17 |
38 |
(35,50,10) |
80 |
(45,20,5) |
(10,70,70) |