semestr_2_mat_logika_12-13_IVT / Банк задач Математическая логика ИВТ 12

Банк задач Математическая логика ИВТ 12-13 2 семестр

Модуль 1

Алгебра и исчисление высказываний

1.1 Требуется привести данные выражения к ДНФ, пользуясь правилами де Моргана. Если возможно, сократить ДНФ, используя свойство поглощения и правило Блейка.

.

1.2 В задаче а) написать по данной ДНФ полином Жегалкина,

затем от ДНФ перейти к КНФ,

а затем перейти к СКНФ;

в задаче б) перейти от данной КНФ к ДНФ,

а затем перейти к СДНФ.

а) , б)

1.3 С помощью карт Карно по данной таблице истинности для функции 4-х переменных найти её сокращённую ДНФ.

x3 , x4 x1 , x2	0 0	0 1	1 1	1 0
0 0	0	1	1	1
0 1	1	1	0	1
1 1	1	1	0	0
1 0	0	0	1	0

1.4 Сократить следующие ДНФ, используя свойство поглощения и правило Блейка, составить по сокращённой ДНФ эквивалентную РКС (П-схему).

.

1.5 В пунктах а) и б) методами теории ИВ доказать секвенции,

в пункте в) доказать равносильность формул или вывести секвенцию для равносильных формул.

а) АВ, В  А

б) (АВ)С  А(ВС).

в)  (АВ)   А   В.

Модуль 2

Логика и исчисление предикатов

2.1. Требуется ввести нужные предикаты и записать формулами в ИП данные математические утверждения.

Кроме того, в пункте б) требуется полученную формулу ИП привести к приведённой, нормальной форме.

Записать словесное выражение для обеих формул.

а) ; б). ;

2.2 Переименовать связанные переменные (если это необходимо), затем в полученной формуле указать свободные и связанные переменные , определить длину формулы, привести данную формулу (равносильным образом) к приведенной, нормальной форме, указать длину полученной формулы.,

в пункте в б) определить , выполнимы или нет эти формулы,

если считать что А(х, у) - предикат 2х = у,

а В(х) - предикат: х - чётное число ( причем оба предиката имеют интерпретацию всех целых неотрицательных чисел).

 ((х)А(х, у)(х)В(х)).

2.3 Требуется с помощью заданных предикатов (а именно: предикатов P(x,y,z) , который кратко описывается равенством xy = z и S(x,y,z): x+ y = z , причем интерпретация обоих предикатов - это целые неотрицательные числа), записать формулой из ИП данные предложения (т.е. написать формулу из ИП, которая принимает значение “1” , если предложение является верным и значение “0”, если оно неверно).

а) x > 6х ; б) х делится на 4; в) z = x + 1.

2.4 Подобрать элементарные предикаты и записать следующие высказывания:

1. Если произведение двух натуральных чисел делится на 18, то хотя бы один сомножитель делится на 6 или хотя бы один из сомножителей нечетный;

2. Через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.

Модуль 3.

Теория алгоритмов

3.1 Выяснить, применима ли машина Тьюринга T. задаваемая программой П к слову Р. Если применима, то найти результат применения машины Т к слову Р. Предполагается, что начальная и заключительные конфигурации имеют стандартную форму.

П:

3.2 Построить машину Тьюринга, которая вычисляет функцию 

 Применить машину к слову Р=1101, Р =11001 (двоичная система исчисления)

3.3 Применить операцию примитивной рекурсии к функциям

по переменным x₂ и x₃ . Функцию f(x₁,x₂) записать в «аналитической» форме.

g(x1)=x1, h(x1, x2, x3)= x1+ x3;