Лабораторна робота № 3 дослідження температурної залежності провідників і напівпровідників

І. МЕТА РОБОТИ: вивчити класичну та основи квантової теорії електропровідності твердих тіл; експериментально дослідити температурну залежність опору провідників і напівпровідників та визначити ширину забороненої зони досліджуваного напівпровідника.

ІІ. ДЛЯ РОБОТИ ПОТРІБНІ: місток постійного струму, термошафа, термометр, досліджувані провідники та напівпровідники.

Ііі.Теоретичні питання програми, знання яких необхідне для виконання роботи

1. Опір провідників. Питомий опір. Залежність опору провідників від температури.

2. Явище надпровідності.

3. Основи теорії електропровідності твердих тіл: класичної та квантової.

4. Енергетичні зони в твердих (кристалічних) тілах. Класифікація твердих тіл за їх електропровідністю.

5. Функція Фермі. Рівень Фермі. Ширина забороненої зони напівпровідників.

6. Власна та домішкова провідність напівпровідників.

7. Температурна залежність опору напівпровідників та її пояснення.

IV. Теоретичні відомості та опис установки

1. Електричний опір визначає силу струму, що протікає в електричному колі при даній температурі.

Під опором R розуміють відношення напруги U на кінцях провідника до сили струму I в провідникові. Одиниця опору в СІ

Ом – електричний опір ділянки провідника, в якій при напрузі 1В протікає струм 1А.

2. Суть опору зводиться до витрат енергії джерел струму на роботу проти сил взаємодії рухомих заряджених частинок з навколишнього середовища, зокрема в твердих тілах – проти сил взаємодії рухомих електронів з іонами кристалічної решітки, у рідинах і газах – проти сил внутрішнього тертя.

За величиною опору тіла поділяються на три класи: провідники, непровідники (ізолятори) та напівпровідники. Цей поділ умовний, бо в природі не існує абсолютних провідників чи абсолютних ізоляторів. Далі під провідником розумітимемо металеве тіло.

Опір провідника залежить від таких факторів: роду матеріалу, розмірів, домішок, деформацій, температури.

При заданій температурі опір однорідного провідника з незмінним перерізом А дорівнює

, (3.1)

де l – довжина, - питомий опір провідника;

при l=1 і А=1 питомий опір провідника чисельно рівний опорові одиниці

довжини (1м) такого провідника, що має переріз А=1.

Вираз читається так: „одиниця вимірювання опору рівна Ом.”

З (3.1) одержимо:

У техніці найчастіше використовують .

Найменший питомий опір мають (при ):

• срібло - ,

• мідь - ,

• алюміній – .

3. Досліди показують, що в межах температур від до опір провідника лінійно залежить від температури

(3.2)

де - опір провідника при , ; t – температура у шкалі Цельсія; - температурний коефіцієнт опору. Для хімічно чистих металів , тобто близький до

Формулу (3.2) можна переписати так:

(3.2)

Якщо в піч помістити металеву спіраль з відомим і виміряти , то за (3.2) можна визначити температуру печі. Це покладено в основу будови й принципу дії електричного термометра.

4. Із зниженням температури опір провідників зменшується.

У деяких металів і сплавів спостерігається так зване явище надпровідності, відкрите Каммерлінг-Онессом у 1911 році. Воно полягає в тому, що при температурі, близькій до абсолютного нуля, електричний опір різко спадає – практично зменшується до нуля.

Квантово-механічну теорію надпровідності розробили в 1967 р. американські вчені Дж.Бардін, Л.Купер, Дж.Шріфер і незалежно від них М.М.Боголюбов. За цією теорією у надпровідному стані електрони провідності утворюють так звані пари Купера; завдяки такому групуванню рух колективу електронів у цілому стає стійким і не зазнає обмінів енергією з кристалічною решіткою.

5. Дослідження носіїв струму проводили Е.Рікке (1901 р.), А.І.Мандельштам і М.Д.Папалексі (1913 р.), Г.Стюарт і Р.Толмен (1916 р.).

Класичну теорію електропровідності металів створив П.Друде (1900 р.), розвинув її Г.Лоренц (1904 р.).

В основу електронної теорії Друде-Лоренца покладено кінетичну теорію газів. Автори вважали, що електронний газ у металах поводить себе як одноатомний ідеальний газ, який підпорядковується законам статистики Максвелла-Больцмана, і, що висновки кінетичної теорії ідеального газу можна застосувати до електронного газу. Користуючись класичною електронною теорією, вдалося теоретично вивести основні закони електричного струму – закони Ома і Джоуля-Ленца.

Так, застосувавши до електронного газу формулу про середню квадратичну швидкість молекул одноатомного ідеального газу, Друде і Лоренц встановили порядок величини швидкості хаотичного руху електронів - ~. Але хаотичний рух електронів не зумовлює виникнення струму.

Другим основним вихідним положенням було визнання, що на електрони в провідниках з боку електричного поля діє сила .

Під дією цієї сили електрони набувають прискорень

Максимальна швидкість напрямленого руху електрона в кінці вільного пробігу буде

де - час вільного пробігу (або прискореного руху) і <v> > > <u>.

Звідки середня швидкість напрямленого руху електрона

Підставивши цю швидкість у рівняння густини струму

(3.3)

одержимо

(3.4)

де (3.5)- питома провідність, - концентрація електронів.

Вираз (3.4) називають законом Ома у диференціальній формі:

густина струму в провідникові пропорційна напруженості електричного поля.

Вважаючи, що електрони, стикаючись з кристалічною решіткою, віддають їй деяку кінетичну енергію, можна знайти вираз для середньої питомої енергії, яка виділяється в одиниці об’єму протягом 1 секунди:

. (3.6)

Формула (3.6) виражає закон Джоуля-Ленца:

питома потужність енергії, що виділяється в одиниці об’єму провідника, пропорційна квадратові напруженості електричного поля.

6. Спектр дозволених значень енергії вільних атомів складається із дискретних, розташованих для даного атома способом, рівнів.

У твердих тілах – кристалах – атоми розташовані один від одного на таких незначних відстанях, при яких їх не можна вже вважати вільними: між ними проявляються відповідні взаємодії. Взаємодія атомів при утворенні кристалічної решітки приводить до важливого наслідку – розширення енергетичних рівнів атомів і перетворення їх у кристалі в енергетичні зони. Таке розширення енергетичних рівнів є результатом прояву хвильових властивостей електронів.

Для того, щоб описати властивості кристалу, необхідно знати характер взаємодії всіх частинок – атомних ядер і електронів, що його утворюють. Точне описання такої взаємодії – задача надзвичайно складна. Справді, кожна така частинка кристалу об’ємом 1 взаємодіє з іншими частинками; всі вони знаходяться у неперервному і дуже складному русі.

Квантова механіка здатна описати взаємодію всіх частинок кристалу у вигляді рівняння Шредінгера. Проте, таке рівняння для цього випадку розв’язати неможливо через його складність.

Для встановлення ряду властивостей кристалів /електричних, магнітних, оптичних/ передусім необхідно знати стан валентних електронів. Це спрощує задачу, однак все ще не дає можливості розв’язати її точно.

В основу зонної теорії покладено зведення багато електронної задачі до задачі одноелектронної: це перша її риса. Другою характерною рисою зонної теорії є певне припущення про характер силового поля, в якому рухається кожний окремий електрон; це поле періодичне в просторі і його періоди збігаються з періодами решітки. Періодичне поле в кристалі являє собою послідовне чергування потенціальних бар’єрів і ям.

Коротко зупинимося на якісному поясненні виникнення енергетичних зон, їх розташуванні, заповненні і поділі – на цій основі – твердих тіл на провідники, ізолятори і напівпровідники.

Розглянемо процес об’єднання атомів у кристалі. Нехай початково маємо N ізольованих атомів якої-небудь речовини. Всі ці атоми характеризуються цілком ідентичним набором енергетичних рівнів. Заповнення цих рівнів електронами у кожному з атомів проходить незалежно від заповнення відповідних рівнів у сусідніх атомах.

Інша картина має місце у кристалі. В міру зближення атомів, між ними виникає все сильніша взаємодія, яка приводить до зміни положення рівнів. Замість одного – однакового для всіх N атомів – рівня виникає N дуже тісно розташованих рівнів. Таким чином, кожний рівень ізольованого атома розщеплюється у кристалі на N густо розташованих рівнів, які утворюють смугу або зону (рис. 3.1).

Величина розщеплення для різних рівнів не однакова: сильніше збурюються рівні, заповнені зовнішніми валентними електронами. Рівні, заповнені внутрішніми електронами, збурюються дуже мало. На рис. 3.2 зображено розщеплення рівнів, як функція відстані r між атомами. Видно, що розщеплення рівнів, заповнених внутрішніми електронами, мале. Помітно розщеплюються тільки рівні, зайняті валентними електронами. Такого ж розщеплення зазнають і більш високі рівні, не зайняті електронами в основному стані атома /збуджені рівні/.

В залежності від конкретних властивостей атомів рівноважна відстань між сусідніми атомами в кристалі може бути або типу , або типу /рис. 3.2/. При відстані типу між дозволеними зонами, що виникли з сусідніх рівнів атома, спостерігається заборонена зона. При відстані типу відбувається перекривання сусідніх дозволених зон.

Таким чином, спектр можливих значень енергії валентних електронів у кристалі переростає в ряд дозволених і заборонених зон /рис. 3.1/. Ширина зон не залежить від розмірів кристалу. Через те, чим більше атомів містить кристал, тим тісніше розташовані рівні у зоні. Ширина дозволених зон становить кілька електронвольт. Отже, якщо кристал містить атомів, відстань між сусідніми рівнями в зоні буде ~ еВ.

Існування енергетичних зон дозволяє пояснити з єдиної точки зору поділ речовин на провідники, напівпровідники та ізолятори.

Дозволену зону, що виникла з основного рівня валентних електронів, називають валентною зоною. При абсолютному нулі валентні електрони заповнюють попарно нижні рівні валентної зони. Більш високі дозволені зони будуть вільні від електронів. В залежності від ступеня заповнення валентної зони можливі три випадки, зображені на рис. 3.3. У випадку а) у валентній зоні ж незайняті електронами рівні. Тому електронам, що знаходяться на верхніх рівнях, досить надати зовсім невелику енергію / еВ/ для того, щоб перевести їх на вільні рівні. Енергія теплового руху /кТ/ при температурі 1К становить величину порядку еВ. Отже, при температурах, відмінних від абсолютного нуля, частина електронів уже знаходиться на більш високих рівнях. Зовнішнє електричне поле також спричинює переведення електронів на більш високі енергетичні рівні. Тому електрони можуть прискорюватися електричним полем і набувати додаткову швидкість у напрямку, протилежному полю. Таким чином, кристал з подібною схемою енергетичних рівнів буде металом.

Часткове заповнення валентної зони /у випадку металу її також називають зоною провідності/ спостерігається в тих випадках, коли на останньому зайнятому рівні атома знаходиться тільки один електрон або коли має місце перекривання зон /рис. 3.2 відстань /. У першому випадку N електронів провідності заповнюють попарно тільки половину валентної зони. У другому випадку число рівнів у зоні провідності буде більше N, так що навіть, коли кількість електронів провідності рівна 2N, вони не зможуть зайняти всіх

рівнів зони.

У випадках б) і в) /рис. 3.3/ рівні валентної зони повністю зайняті електронами – зона заповнена. Для того, щоб збільшити енергію електрона, необхідно йому надати енергію, не меншу, ніж ширина забороненої зони . Електричне поле такої енергії надати електронові не може /виключається випадок пробою/. При цих умовах

Згідно з принципом Паулі.

електричні властивості кристалу визначаються шириною забороненої зони . Якщо ця ширина невелика – порядку декількох десятих електронвольта, - то енергія теплового руху достатня для переведення частини електронів у верхню вільну зону. Ці електрони будуть знаходитися в умовах, що аналогічні тим, в яких знаходяться валентні електрони в металі. Для них вільна зона виявиться зоною провідності. Крім того одночасно стає можливим перехід електронів валентної зони на її ж звільнені верхні рівні. Таку речовину називають електронним напівпровідником.

Якщо ширина забороненої зони велика – порядку кількох електронвольт, - то тепловий рух не закинути у вільну зону помітне число електронів. У цьому випадку кристал буде діелектриком.

Напівпровідники своєю назвою зобов’язані тому факту, що за величиною електропровідності вони займають проміжне положення між металами і діелектриками. Однак характерною для них є не величина провідності, а те, що їх провідність зростає з підвищенням температури /нагадаємо, що у металів вона зменшується/.

Розрізняють власні та домішкові напівпровідники. До числа власних відносяться хімічно чисті напівпровідники: B, C, Si, P, S, Ge, As, Se, Sn, Sb,Te, I. Електричні властивості домішкових напівпровідників визначаються наявними в них домішками.

Власна провідність виникає в результаті переходу електронів з верхніх рівнів валентної зони в зону провідності. При цьому в зоні провідності проявляється деяке число носіїв струму – електронів, які займають рівні поблизу дна зони; одночасно у валентній зоні проявляється таке ж число електронних вакансій, які прийнято називати „дірками”. За своїми електричними властивостями валентна зона з невеликою кількістю вакансій еквівалентна порожній зоні, яка містить невелике число позитивно заряджених квазічастинок – дірок. Уява про дірки відображає характер руху всієї багато електронної системи в напівпровіднику, тому рух дірки не є переміщенням якоїсь реальної позитивно зарядженої частинки.

Розподіл електронів по рівнях валентної зони і зони провідності описується функцією Фермі-Дірака

, (3.7)

де - енергія Фермі або рівень Фермі;

k – стала Больцмана.

Цей розподіл стає наглядним при його зіставленні зі схемою енергетичних зон. Графік показаний на рис. 3.4, відповідає розподілові при температурах, відмінних від абсолютного нуля.

В області „хвоста” кривої, тобто при , одиницею в знаменнику можна знехтувати. Тоді

(3.8)

тобто, переходить у функцію розподілу Больцмана.

Відповідний розрахунок показує, що у власних напівпровідниках рівень Фермі лежить посередині забороненої зони:

/ - ширина забороненої зони/. Значить, для електронів, що перейшли в зону провідності, величина мало відрізняється від половини ширини забороненої зони. Рівні зони провідності лежать на хвості кривої розподілу. Тому ймовірність їх заповнення електронами можна знаходити за формулою (3.8). Враховуючи, що , одержимо

. (3.9)

Кількість електронів, що перейшли в зону провідності, а, значить, і кількість утворених дірок буде пропорційною яка виражена формулою (3.9). Ці електрони і дірки є носіями струму. Оскільки провідність пропорційна числові носіїв, то вона також повинна бути пропорційною виразові (3.9). Таким чином, електропровідність власних напівпровідників швидко зростає з температурою, змінюючись за експоненціальним законом

, (3.10)

де - деяка стала.

Сумарна провідність напівпровідника визначається як величинами концентрацій електронів n і дірок p, так і їх рухливостями і :

(3.11)

У напівпровідниках з власною провідністю n=p, тому

(3.12)

Практично зручніше користуватися не провідністю, а питомим опором Із (3.10) маємо

(3.13)

або

. (3.14)

Типовими напівпровідниками є елементи IV групи періодичної системи елементів Менделєєва – германій і кремній.

Відзначимо, що при достатньо високій температурі власна провідність спостерігається у всіх без винятку напівпровідниках. Однак у тих напівпровідниках, які містять домішки, електропровідність складається з власної та домішкової.

Домішкова провідність виникає при заміні у вузлах решітки деяких атомів даного напівпровідника атомами, валентність яких відрізняється на одиницю від валентності основних атомів. На рис. 3.5 умовно зображена решітка германію з домішкою п’ятивалентних атомів фосфора. .Для утворення ковалентних зв’язків з атомами фосфору достатньо чотирьох електронів. Отже, п’ятий валентний електрон виявляється ніби зайвим і легко відривається від атома за рахунок енергії теплового руху; так утворюється блукаючий вільний електрон. На відміну від власних напівпровідників, тут утворення вільного електрона не супроводжується порушенням ковалентних зв’язків, тобто утворенням дірки. Не дивлячись на те, що в оточенні атома домішки виникає надлишковий додатний заряд, він зв’язаний з цим атомом і переміщуватися по решітці не може. Отже, у напівпровідниках з домішкою атомів, валентність котрих на одиницю більша від валентності основних атомів, є тільки один вид носіїв струму – електрони. Відповідно кажуть, що такий напівпровідник має електронну провідність або належить до напівпровідників n-типу /від слова negativ – від’ємний/. Атоми домішки, що постачають електрони провідності, називають донорами.

Розглянемо випадок, коли валентність атомів домішки на одиницю менша від валентності основних атомів. На рис. 3.6 умовно зображена решітка кремнію з домішкою тривалентних атомів бору. Трьох валентних електронів атома бору не вистачає для утворення зв’язків з усіма чотирма сусідами. Тому один із зв’язків виявиться не укомплектованим і буде являти собою місце, здатне захопити один електрон. При переході на місце електрона однієї із сусідніх пар виникне дірка, яка буде кочувати по кристалу. Поблизу атома домішки виникне надлишковий від’ємний заряд, але він буде зв’язаний із даним атомом і не зможе стати носієм струму. Отже, у напівпровідниках з домішкою атомів, валентність котрих на одиницю менша від валентності основних атомів, виникають носії струму тільки одного виду – дірки. Провідність у цьому випадку називається дірковою, а про напівпровідник кажуть, що він належить до p-типу /від слова positiv – додатний/. Атоми домішки, що зумовлюють виникнення дірок, називають акцепторними.

Електронний характер провідності напівпровідників n-типу, так само як і дірковий характер провідності напівпровідників p-типу, підтверджується експериментально при дослідженні ефекту Холла. Знак сталої Холла , одержаний з дослідів, відповідає у напівпровідниках n-типу від’ємним носіям струму, а в напівпровідниках p-типу – додатно зарядженим носіям.

Атоми домішок спотворюють поле решітки, що приводить до виникнення домішкових рівнів, розташованих у забороненій зоні кристалу. У випадку напівпровідників n-типу домішкові рівні називають донорними /ДР, рис. 3.7 а)/, а у випадку напівпровідників p-типу – акцепторними /АР, рис. 3.7 б)/.

Рівень Фермі у напівпровідниках n-типу розташований у верхній половині забороненої зони /ЗЗ/, а у напівпровідниках p-типу – у нижній половині забороненої зони. З підвищенням температури він, як в перших, так і в других, зміщується до середини забороненої зони.

Якщо відстань донорних рівнів від дна зони провідності /ЗП/ значно менша, ніж ширина забороненої зони, то енергії теплового руху навіть при кімнатних температурах достатньо для того, щоб перевести електрон з донорного рівня в зону провідності /рис. 3.7 а)/. Цьому процесові відповідає відрив п’ятого валентного електрона від домішкового атома. Захопленню вільного електрона домішковим атомом відповідає рис. 3.7 а) – перехід електрона із зони провідності на один з донорних рівнів.

Акцепторні рівні суттєво впливають на електричні властивості кристалів у тому випадку, коли вони розташовані недалеко від верхньої межі валентної зони /рис. 3.7 б)/. Утворенню дірки відповідає перехід електрона з валентної зони на акцепторний рівень. Зворотній перехід відповідає розриву одного з чотирьох ковалентних зв’язків домішкового атома з його сусідами та рекомбінації утвореного при цьому електрона і дірки.

З підвищенням температури концентрація домішкових носіїв струму швидко досягає насичення. А це значить, що практично звільняються всі донорні або заповнюються електронами всі акцепторні рівні. Разом з тим із зростанням температури все більше проявляється вплив власної провідності напівпровідника, яка зумовлена переходом електронів безпосередньо із валентної зони в зону провідності. Таким чином, при високих температурах провідність напівпровідників складається із домішкової та власної провідностей. При низьких температурах переважає домішкова, а при високих – власна провідність.

Як підсумок слід сказати, що зонна теорія дає змогу назвати провідниками речовини, для яких ширина забороненої зони менша 0,2 еВ (), ізоляторами – для яких ; всі інші речовини, для яких , є напівпровідниками.

Для вимірювання опорів провідників та напівпровідників у даній роботі використовується місток постійного струму МО-62. Блок-схема установки показана на рис. 3.8.