Силабус: Алгебра и Геометрия / Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)_Кузнецов Л.А_1983 PDF / 10. Линейная алгебра
.PDFНа http://technofile.ru – чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции.
Материалы студентам технических вузов!
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§10.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1.Линейное пространство. Базис. Координаты.
2.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
3.Линейный оператор. Матрица оператора.
4.Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.
5.Действия над линейными операторами.
6.Собственные векторы и собственные значения.
7.Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
8.Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.
9.Ортогональное преобразование; свойства; матрица.
10.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.
§10.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L пространства R3 , если L задано
уравнением x1 2x2 x3 0.
2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.
3. Найти |
координаты |
многочлена |
P3 x a0 a1x a2x2 a3x3 |
в |
базисе |
||||
1, x 1 , x 1 2 , x 1 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Линейный оператор A в базисе e1 |
, |
e2, |
|
e3 |
имеет матрицу |
|
|
||
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти матрицу этого же оператора в базисе e1 |
, |
e1 e2, |
e1 e2 e3 . |
|
|
5.Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.
6.Пусть x и y — собственные векторы оператора A, относящиеся к различным собственным
значениям. Доказать, что вектор z x y, 0, 0 не является собственным вектором
оператора A.
7. |
Пусть x x1, |
x2, x3 , |
Ax 1x1, |
2x2, |
3x3 . Будет ли оператор A |
самосопряженным? |
|
|
|
|
|
8. |
Доказать, что если матрица оператора A — симметрическая в некотором базисе, то она является |
||||
симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные). |
|
|
§ 10.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число ?
1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа;
сумма a b, произведение a.
1.2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;
сумма a b, произведение a.
1.3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей;
сумма a b, произведение a.
1.4. Множество всех векторов трехмерного пространства;
сумма a b, произведение a.
1.5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;
сумма a b, произведение a .
1.6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов x, y, z;
сумма a b, произведение a.
1.7. Множество всех функций a f t , b g t , принимающих положительные значения;
сумма |
f t g t , произведение f t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.8. Множество всех непрерывных функций a f |
|
|
t |
|
, b |
g |
|
t |
|
, заданных на |
|
0, |
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
сумма |
f t g t , произведение f t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.9. Множество всех четных функций a f |
|
t |
|
, |
|
b |
g |
|
t |
|
, заданных на |
|
1, |
|
|
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
сумма |
f t g t , произведение f t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.10. Множество всех нечетных функций a f |
|
t |
|
, b g |
|
t |
|
, заданных на |
|
1, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
; |
|||||||||||||||||||||||
сумма |
f t g t , произведение f t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.11. Множество всех линейных функций a f x1, x2 , b g x1, x2 ;
сумма f x1, x2 g x1, x2 , произведение f x1, x2 .
1.12. Множество всех многочленов третьей степени от переменной x;
сумма a b, произведение a.
1.13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от переменных x, y;
сумма a b, произведение a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.14. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a x1, |
x2, |
..., |
xn , |
b y1, |
y2, ..., |
yn ; |
|
||||||||||||||||
сумма x1 y1, |
x2 y2, |
..., |
xn yn , |
произведение x1, |
x2, ..., |
xn . |
||||||||||||||||||
1.15. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a x1, |
x2, |
..., |
xn , |
b y1, |
y2, ..., |
yn ; |
|
||||||||||||||||
сумма x1y1, |
x2 y2, ..., |
|
xn yn , |
произведение x1, |
x2, |
..., |
xn . |
|
||||||||||||||||
1.16. Множество всех сходящихся последовательностей a un , b n ; |
|
|||||||||||||||||||||||
сумма un n , произведение un . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1.17. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или равной n; |
|
|||||||||||||||||||||||
сумма a b, произведение a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.18. Множество всех многочленов от одной переменной степени n; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
сумма a b, произведение a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.19. Множество всех диагональных матриц |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
aik |
|
|
|
, |
b |
|
|
|
bik |
|
|
|
, |
i, k 1, |
2, ..., |
n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма aik bik , произведение aik .
1.20. Множество всех невырожденных матриц
a |
|
aik |
|
, |
b |
|
bik |
|
, |
i, k 1, 2, ..., n; |
сумма aik bik , произведение aik .
1.21. Множество всех квадратных матриц
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
aik |
|
|
|
|
, |
b |
|
bik |
|
, |
|
|
i, k 1, |
2, |
..., |
n; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
сумма |
|
|
|
|
|
|
|
aik bik |
|
|
|
|
|
, произведение |
|
|
|
|
aik |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.22. Множество всех диагональных матриц a |
|
|
|
aik |
|
|
|
, |
b |
|
|
|
bik |
|
|
|
размера n n; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумма |
|
|
|
aik |
|
|
|
|
|
|
|
bik |
|
|
|
, произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
aik |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.23. Множество всех квадратных матриц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
aik |
|
|
|
, |
b |
|
|
|
bik |
|
|
|
, i 1, 2, |
..., m; |
k 1, |
2, ..., n; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма aik bik , произведение aik .
1.24. Множество всех симметричных матриц
a |
|
aik |
|
aik |
aki , |
b |
|
bik |
|
bik |
bki , |
i, k 1, 2, ..., n; |
сумма aik bik , произведение aik .
1.25. Множество всех целых чисел;
сумма a b, произведение a . 1.26. Множество всех действительных чисел;
сумма a b, произведение a.
1.27. Множество всех положительных чисел;
сумма a b, произведение a .
1.28. Множество всех отрицательных чисел;
сумма a b , произведение a . 1.29. Множество всех действительных чисел;
сумма a b, произведение
1.30. Множество всех дифференцируемых функций a f t , b g t ;
сумма f t g t , произведение f t .
1.31. Множество всех дифференцируемых функций a f t , b g t ;
сумма f t g t , произведение |
f t . |
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов. |
|
|||||||||||||||
2.1. a 1, |
|
4, |
6 , |
b 1, |
1, |
1 , |
c 1, |
1, |
|
3 . |
|
|||||
2.2. sinx, |
cosx, |
tgx на |
2, |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
2.3. a 2, |
|
3, |
1 , |
|
b 3, |
1, |
5 , |
c 1, |
4, |
3 . |
||||||
2.4. 2, sinx, sin2 x, |
cos2 x на , + . |
|
|
|
|
|||||||||||
2.5. a 5, |
|
4, |
3 , |
b 3, |
3, |
|
2 , |
c 8, |
1, |
|
3 . |
|
||||
2.6. 1, x, sinx на , + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.7. a 1, |
1, |
1 , |
b 0, 1, |
1 , |
c 0, |
0, |
1 . |
|
||||||||
2.8. ex, e2x, |
e3x |
на , + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.9. a 1, |
|
1, |
|
2 , |
b 1, |
1, |
1 , |
c 2, |
|
1, |
1 . |
|||||
2.10. x, x2, |
1 x 2 |
на , + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.11. a 1, |
|
2, |
|
3 , |
b 4, |
5, |
6 , |
c 7, 8, |
9 . |
|||||||
2.12. 1, x, |
x2, |
1 x 2 |
на , + . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.13. a 1, |
|
1, |
1 , |
b 1, |
2, |
3 , |
|
c 1, |
3, |
|
6 . |
|
||||
2.14. cosx, |
sinx, |
sin2x на |
2, |
2 . |
|
|
|
|
|
2.15. a 3, |
4, |
5 , |
|
b 8, |
7, |
2 , |
|
c 2, |
|
1, |
|
8 . |
|||||
2.16. ex, e x, |
e2x на , + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.17. a 3, |
2, 4 , |
b 4, |
1, |
2 , |
|
c 5, |
2, |
3 . |
|||||||||
2.18. 1 x x2, 1+2x x2, 1+3x x2 |
на , + . |
|
|
|
|
||||||||||||
2.19. a 0, |
1, |
1 , |
b 1, |
0, |
1 , |
c 1, 1, |
|
0 . |
|
|
|||||||
2.20. 1, ex, shx на , + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.21. a 5, |
6, |
1 , |
|
b 3, |
5, |
|
2 , |
c 2, |
|
1, |
3 . |
||||||
2.22. 1 x, x, |
1 на 0, 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.23. a 7, |
1, 3 , |
|
b 2, |
2, |
4 , |
|
c 3, |
3, |
|
5 . |
|||||||
2.24. 1, tgx, |
ctgx на 0, 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.25. a 1, |
2, |
3 , |
|
b 6, |
5, |
9 , |
c 7, |
8, |
|
9 . |
|
||||||
2.26. x, 1+x, |
1 x 2 |
|
на , + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.27. a 2, |
1, |
0 , |
|
b 5, |
0, |
3 , |
|
c 3, |
4, |
3 . |
|||||||
2.28. ex, xex, x2 ex на |
|
, + |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.29. a 2, |
0, |
2 , |
|
b 1, |
|
1, |
0 , |
|
c 0, |
1, |
2 . |
||||||
2.30. ex, shx, chx на , + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.31. a 2, |
1, |
5 , |
|
b 4, |
3, |
|
0 , |
|
c 0, |
1, |
|
10 . |
Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.
3x x 8x 2x x 0, |
7x 2x x 2x 2x 0, |
||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
3.1. 2x1 2x2 |
3x3 |
7x4 |
2x5 0, |
3.2. x1 |
3x2 |
x3 |
x4 x5 |
0, |
|||||
x 11x 12x 34x 5x 0. |
2x 5x 2x x x 0. |
||||||||||||
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
x x 10x x x 0, |
6x 9x 21x 3x 12x 0, |
||||||||||||
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
0, |
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
3.3. 5x1 x2 8x3 2x4 2x5 |
3.4. 4x1 6x2 14x3 |
2x4 8x5 0, |
|||||||||||
3x 3x 12x 4x 4x 0. |
2x 3x 7x x 4x 0. |
||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
2x x 2x x x 0, |
5x 2x 3x 4x x 0, |
||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0, |
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
3.5. x1 |
10x2 |
3x3 |
2x4 |
x5 |
3.6. x1 |
4x2 |
3x3 |
2x4 5x5 0, |
|||||
4x 19x 4x 5x x 0. |
6x 2x |
|
2x 6x 0. |
||||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
|
|
4 |
5 |
12x x 7x 11x x 0, |
x 2x x 4x x 0, |
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3.7. 24x1 2x2 14x3 |
22x4 |
2x5 0, |
3.8. 2x1 x2 |
3x3 |
x4 |
5x5 0, |
|||||
x x x x x 0. |
|
x 3x x 6x x 0. |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 4 |
5 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
5 |
x |
5 |
x x 0, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2x1 x2 3x3 x4 x5 0, |
|
|
|
2 |
|
1 |
4 |
2 |
7 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x1 |
1 |
|
|
x2 |
2 |
x3 |
x4 |
|
||||||||||||
3.9. x1 |
5x2 x3 |
x4 2x5 0, |
|
|
3.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x 16x 6x 4x 7x 0. |
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
1 |
x |
1 |
x |
|
|
|
2 |
x |
|
2 |
x 0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
6 |
|
|
2 |
21 |
3 |
|
15 |
|
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8x x x x 2x 0, |
|
|
x 3x x 12x |
|
x 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|||||
3.11. 3x1 |
3x2 |
2x3 |
x4 3x5 0, |
|
3.12. 2x1 2x2 x3 10x4 |
x5 0, |
||||||||||||||||||||||||||||
5x 4x 3x 2x 5x 0. |
|
3x x |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
0. |
||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
7x 14x 3x x x 0, |
x 2x 3x x x 0, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
0, |
|
|||||||
3.13. x1 2x2 x3 3x4 |
7x5 0, |
3.14. |
2x1 2x2 5x3 3x4 x5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5x 10x x 5x 13x 0. |
3x 2x 3x 2x x 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
x x x x x 0, |
|
|
2x x 3x x x 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
0, |
|||||
3.15. 2x1 x2 2x3 x4 |
2x5 0, |
|
|
3.16. 3x1 x2 |
2x3 x4 2x5 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x 2x 5x 2x x 0. |
|
|
x 2x 5x 2x 3x 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|||||||
x 2x 3x 10x x 0, |
|
2x x x 7x 5x 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|||
3.17. x1 2x2 3x3 10x4 |
x5 0, |
|
3.18. x1 |
2x2 |
3x3 |
5x4 |
7x5 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
x 6x 9x 30x 3x 0. |
|
3x x 2x 2x 2x 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|||||
2x 2x 3x 7x 2x 0, |
|
3x x 8x 2x x 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
0, |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
||||||
3.19. x1 11x2 12x3 34x4 5x5 |
|
3.20. x1 |
11x2 12x3 |
34x4 5x5 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||
x 5x 2x 16x 3x 0. |
|
x 5x 2x 16x 3x 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|||||||
x 3x 5x 9x x 0, |
|
5x 2x x 3x 4x 0, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
0, |
|
||||||||
3.21. 2x1 2x2 3x3 |
7x4 |
2x5 0, 3.22. |
3x1 x2 2x3 |
3x4 |
5x5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
x 5x 2x 16x 3x 0. |
6x 3x 2x 4x 7x 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
||
3x 2x 2x x 4x 0, |
|
6x 3x 2x 4x 7x 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
||
3.23. 7x1 |
5x2 |
3x3 |
2x4 |
x5 0, |
|
3.24. 7x1 4x2 3x3 2x4 |
4x5 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
x x x |
|
|
7x 0. |
|
x x x 2x 3x 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
3x 5x 2x 4x 0, |
x x 3x 2x 3x 0, |
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
0, |
|
3.25. 7x1 4x2 x3 3x4 |
0, |
3.26. 2x1 2x2 4x3 x4 |
3x5 |
|
||||||||||||
5x 7x 4x 6x 0. |
x x 5x 5x 6x 0. |
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
x 2x 3x 2x x 0, |
|
|
6x 3x 2x 3x 4x 0, |
|||||||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
3.27. x1 |
2x2 7x3 4x4 |
x5 0, |
|
3.28. 4x1 2x2 x3 |
2x4 |
3x5 |
0, |
|||||||||
x 2x 11x 6x x 0. |
|
|
2x x x x x 0. |
|||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3x 2x 4x x 2x 0, |
|
|
x x x 2x x 0, |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 4 |
|
5 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3.29. 3x1 2x2 2x3 x4 |
|
0, |
|
3.30. x1 2x2 |
3x3 |
x4 x5 0, |
||||||||||
3x 2x 16x x 6x 0. |
|
|
2x x 2x 3x |
0. |
||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
x x x 2x x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.31. x1 |
x2 2x3 x4 2x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 3x 4x 3x |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Найти координаты вектора
e1, e2, |
e3 . |
e1 e1 e2 2e3,
e2 2e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 6, |
1, |
3 . |
e1 e1 e2 4e3,
e2 4 3 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 1, 3, |
6 . |
e1 e1 e2 43 e3,
e2 4e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x6, 3, 1 .
x |
|
, |
|
, |
|
, если он задан в базисе |
в базисе e1 |
e2 |
e3 |
e1 e1 e2 3e3,
e2 3 2 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 1, |
2, 4 . |
e1 e1 e2 32 e3,
e2 3e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 2, |
4, 1 . |
e1 e1 e2 5e3,
e2 5 4 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x1, 4, 8 .
e1 e1 e2 54 e3,
e2 5e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 8, |
4, 1 . |
e1 e1 e2 65 e3,
e2 6e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 10, |
5, 1 . |
e1 e1 e2 76 e3,
e2 7e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 12, |
6, 1 . |
e1 e1 e2 e3,
e2 1 2 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 3, |
2, 4 . |
e1 e1 e2 2e3,
e2 2 3 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 2, |
6, 3 . |
e1 e1 e2 3e3,
e2 3 4 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 1, |
4, |
8 . |
e1 e1 e2 4e3,
e2 4 5 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x7, 5, 10 .
e1 e1 e2 6e3,
e2 6 5 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 2, |
5, 10 . |
e1 e1 e2 7e3,
e2 7 6 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 1, |
6, 12 . |
e1 e1 e2 8e3,
e2 8 7 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 1, |
7, 14 . |
e1 e1 e2 12 e3,
e2 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 2, |
4, 3 . |
e1 e1 e2 23 e3,
e2 2e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 12, 3, |
1 . |
e1 e1 e2 3e3,
e2 3 4 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 1, |
4, 8 . |
e1 e1 e2 45 e3,
e2 4e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x5, 5, 4 .
e1 e1 e2 5e3,
e2 5 6 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 1, |
6, |
6 . |
e1 e1 e2 6e3,
e2 6 7 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 1, 7, |
7 . |
e1 e1 e2 7e3,
e2 7 8 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 3, |
8, |
8 . |
e1 e1 e2 89 e3,
e2 8e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 9, 9, |
2 . |
e1 e1 e2 910 e3,
e2 9e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 10, 10, |
7 . |
e1 e1 e2 11e3,
e2 1110 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x1, 10, 10 .
e1 e1 e2 56 e3,
e2 5e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 6, 6, |
2 . |
e1 e1 e2 67 e3,
e2 6e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 7, 7, |
2 . |
e1 e1 e2 8e3,
e2 8 9 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 1, |
9, |
9 . |
e1 e1 e2 9e3,
e2 9 10 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x 3, |
10, |
10 . |
e1 e1 e2 10e3,
e2 10 9 e1 e2,
e3 e1 e2 e3,
x1, 9, 18 .
Задача 5. Пусть x x1, |
x2, x3 . Являются ли линейными следующие преобразования: |
Ax 6x1 5x2 4x3, |
|
3x1 2x2 x3, |
x2 2x3 , |
||||||
5.1. Bx 6 5x2 4x3, |
3x1 |
2x2 x3, |
x2 2 , |
||||||
Cx x34, |
3x1 2x2 x3, |
x2 2x3 . |
|
||||||
Ax 5x1 4x2 3x3, |
|
2x1 x2, |
x2 2 , |
||||||
5.2. Bx 5x1 |
4x2 |
3x3, |
|
0, |
x24 2x3 , |
|
|||
Cx 5x1 4x2 3x3, |
|
2x1 x2, |
x2 2x3 . |
||||||
Ax 4x1 3x2 2x3, x1, |
x1 2x24 3x3 , |
||||||||
5.3. Bx 4x1 |
3x2 |
2x3, |
|
x1, |
x1 2x2 |
3x3 , |
|||
Cx 4x1 3x2 2x3, x1, |
x1 2x2 3 . |
|
|||||||
Ax 3x1 2x2 x3, x3, |
2x1 3x2 4x3 , |
||||||||
5.4. Bx 3x1 |
2x2 |
x3, |
1, |
2x1 3x2 4 , |
|
||||
Cx 3x1 2x2 x3, x3, |
2x14 3x2 4x3 . |
||||||||
Ax x1, |
x1 2x2 3, |
|
4x1 5x2 6 , |
|
|||||
5.5. Bx x1, |
x1 2x2 3x3, |
|
4x14 5x2 |
6x3 , |
|||||
Cx x1, |
x1 2x2 3x3, |
|
4x1 5x2 6x3 . |
||||||
Ax 2x1 x2, |
x2 2x3, |
3x1 4x22 5x3 , |
|||||||
5.6. Bx 2x1 |
x2, |
x2 2x3, |
3x1 4x2 |
5x3 , |
|||||
Cx 2x1 x2, |
x2 2, |
|
3x1 4x2 5 . |
|
|||||
Ax x1, |
x1 2x2 3x3, |
|
4x1 5x2 6x3 , |
||||||
5.7. Bx x1, |
x1 2x2 3, |
|
4x1 5x2 |
6 , |
|
||||
Cx x1, |
x1 2x2 3x3, |
|
4x14 5x2 6x3 . |
||||||
Ax 3x1 2x2 x3, 1, |
|
x1 2x2 3 , |
|
||||||
5.8. Bx 3x1 |
2x2 |
x3, |
0, |
|
x13 2x2 |
3x3 , |
|||
Cx 3x1 2x2 x3, x3, |
|
x1 2x2 3x3 . |