Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9. Аналитическая геометрия

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

281.75 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

На http://technofile.ru – чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции.

Материалы студентам технических вузов!

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1.Векторы. Линейные, операции над векторами.

2.Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами.

3.Определители, их свойства.

4.Векторное произведение. Свойства. Геометрический смысл.

5.Смешанное произведение, его свойства. Геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

6.Плоскость: Уравнение плоскости.

7.Расстояние от точки до плоскости.

8.Уравнения прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

§9.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть векторы a и b не коллинеарны и AB a2, BC 4 a b , CD 4 b,

DA a b. Найти и и доказать коллинеарность векторов BC и DA.

2. Разложить вектор s a b c по трем некомпланарным векторам m a b 2c, n a b,

p 2b 3c.

3. Найти угол между единичными векторами e1 и e2 , если известно, что векторы a e1 2e2 и

b5e1 4e2 взаимно перпендикулярны.

4.Доказать компланарность векторов a, b и c зная, что

ab bc ca 0.

5. Доказать, что уравнение плоскости;	проходящей через точки x1, y1,		z1	и x2 ,	y2 , z2
перпендикулярно плоскости Ax By Cz D 0, можно записать в виде
x x1	y y1	z z1
x2 x1	y2 y1	z2 z1 0.

A B C

6. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые

x x1 y y1 z z1 и x x2 y y2 z z2

можно записать в виде

x x1

y y1

z z1

7. Доказать, что уравнения прямой, проходящей через точку

x1, y1,

z1 параллельно плоскостям

A1x B1 y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2

0 можно записать в виде

x x1

y y1

z z1

8. Доказать, что необходимым и достаточным условием принадлежности двух прямых

x x1

y y1

z z1

x x2

y y2

z z2

одной плоскости является выполнение равенства

x x1

y y1

z z1

9. Доказать, что расстояние от точки

A до прямой, проходящей через точку B и имеющей направляющий

вектор S, определяется формулой d

10. Даны две скрещивающиеся прямые,

проходящие соответственно через точки A x1,

y1, z1 и

B x2,

y2 , z2 . Их направляющие векторы

известны.

Доказать, что расстояние между ними

S1S2

определяется формулой d

S1S2 AB

				§ 9.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
	Задача 1. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r.
1.1.	x 2,	4,	7 ,	p 0,	1,	2 ,	q 1,	0,	1 ,		r 1,	2,	4 .
1.2.	x 6,	12,	1 ,	p 1,	3,	0 ,	q 2,	1,		1	, r 0,	1,	2 .
1.3.	x 1,	4,	4 ,	p 2,	1,	1 ,	q 0,	3,		2 ,	r 1,	1,	1 .
1.4.	x 9,	5,	5 ,	p 4,	1,	1 ,	q 2,	0,	3 ,		r 1,	2,	1 .


1.5.	x 5,		5,		5 ,		p 2,				0,		1 ,		q 1,			3,		1		,	r 0,			4,		1 .
1.6.	x 13,		2,	7 ,		p 5,			1,			0	,	q 2,			1,		3 ,			r 1,			0,		1 .
1.7.	x 19,		1,		7 ,		p 0,				1,		1	,	q 2,				0,	1 ,			r 3,			1,		0 .
1.8.	x 3,	3,		4 ,		p 1,			0,			2 ,		q 0,			1,		1 ,		r 2,				1,		4 .
1.9.	x 3,	3,		1 ,		p 3,			1,			0 ,		q 1,			2,		1 ,			r 1,				0,	2 .
1.10.	x 1,		7,	4 ,			p 1,				2,		1 ,		q 2,			0,		3 ,		r 1,				1, 1 .
1.11.	x 6,	5,		14 ,			p 1,			1,		4 ,		q 0,			3,			2 ,		r 2,				1, 1 .
1.12.	x 6,	1,		7 ,		p 1,			2,			0 ,		q 1,				1,		3 ,		r 1,				0,	4 .
1.13.	x 5,	15,		0 ,		p 1,			0,			5 ,		q 1,			3,		2 ,			r 0,			1,		1 .
1.14.	x 2,	1,		11		,	p 1,		1,			0 ,		q 0,			1,		2 ,			r 1,			0,		3 .
1.15.	x 11,		5,	3		,	p 1,			0,		2 ,		q 1,				0,		1 ,		r 2,				5,	3 .
1.16.	x 8,	0,		5 ,		p 2,			0,		1 ,		q 1,			1,		0 ,		r 4,				1,		2 .
1.17.	x 3,	1,		8 ,		p 0,		1,		3 ,			q 1,			2,		1 ,			r 2,				0,	1 .
1.18.	x 8,	1,		12 ,		p 1,			2,		1 ,			q 3,			0,		2 ,		r 1,					1,	1 .
1.19.	x 9,		8,		3 ,		p 1,				4,		1 ,		q 3,				2,		0 ,		r 1,			1,		2 .
1.20.	x 5,		9,	13 ,			p 0,				1,		2 ,		q 3,				1,		1 ,		r 4,				1,	0 .
1.21.	x 15,		5,		6 ,		p 0,			5,		1 ,		q 3,			2,		1 ,			r 1,				1,		0 .
1.22.	x 8,	9,		4 ,		p 1,			0,	1 ,			q 0,			2,			1 ,		r 1,				3,	0 .
1.23.	x 23,		14,		30 , p					2,		1,		0 , q 1,					1,		0 ,		r 3,				2, 5 .
1.24.	x 3,	1,		3 ,		p 2,		1,		0 ,			q 1,			0,		1 ,		r 4,				2,		1 .
1.25.	x 1,		7,	0 ,		p 0,			3,			1	,	q 1,		1,			2 ,			r		2,	1,		0 .
1.26.	x 11,		1,		4	,	p 1,			1,			2	,	q 3,			2,		0 ,		r		1,		1,		1 .


1.27. x 13,		2,	18 ,		p 1,		1,		4 ,	q 3,			0,	2 ,		r 1,	2,	1 .
1.28. x 0,	8,		9 ,	p 0,		2,		1 ,		q 3,		1,	1 ,		r 4, 0,			1 .
1.29. x 8,	7,		13 ,		p 0,		1,		5 ,	q 3,		1,		2 ,		r 1,		0,	1 .
1.30. x 2,	7,	5 ,		p 1,		0,	1 ,		q 1,		2,		0 ,	r 0, 3,			1 .
1.31. x 15,	20,		1 ,		p 0,		2,		1 ,	q 0,			1,	1 ,		r 5,	3,		2 .

Задача 2. Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , построенные по векторам a и b?


2.1. a	1,		2,					,		b					3,				0,								1	2a 4b,						c			2			3b a.
						3															1 ,					c
2.2. a	1,		0,						b				2,						3,						1		a 2b,			c		2		3a b.
					1 ,																5	,		c
2.3. a	2,			4,							b				1,				2,					,			1	5a 3b,						c		2				2a b.
						1 ,																7				c
2.4. a	1,		2,					,			b					2,			1,									1									c		2			8a b.
					3																	1 ,					c		4a 3b,
2.5. a 3,			5,			4 ,			b 5,									9,		7 ,				c1			2a b,			c2					3a 2b.
2.6. a	1,		4,					,			b				1,				1,								1	a b,		c	2		4a 2b.
					2																1 ,				c
2.7. a	1,		2,					,		b					3,				1,					,			1	4a 2b,						c			2			b 2a.
						5																0				c
2.8. a	3,		4,								b					2,			1,								1	6a 3b,					c			2			b 2a.
						1 ,																1 ,				c
2.9. a	2,			3,							,		b						1,	0,					,			1									c			2		a 3b.
							2																5				c		3a 9b,
2.10. a 1,				4,		2 ,					b 3,								2,				6 ,				c1 2a b,							c2						3b 6a.
2.11. a		5,		0,							b						7,		2,					,			1	2a b,				c		2			3b 6a.
						1 ,																3				c
2.12. a		0,		3,					,		b						1,		2,								1		5a 2b,						c			2		3a 5b.
						2																1 ,					c
2.13. a		2,		7,						,		b						3,			5,					,			1											c		2	3a 2b.
							1																	2					c 2a 3b,
2.14. a		3,		7,				,		b				1,					3,					,			1	4a 2b,					c			2			b 2a.
						0																4				c
2.15. a		1,		2,						,		b						2,		7,						,			1										c		2		b 3a.
						1																		1				c 6a 2b,

2.16. a	7,	9,		,	b				5,	4,				,					1	4a b,		c		2			4b a.
			2									3					c
2.17. a	5,	0,		,	b				6,	4,				,					1	5a 3b,			c			2		6b 10a.
			2									3					c
2.18. a	8,	3,			b			4,		1,			,				1		2a b,			c	2		2b 4a.
			1 ,									3				c
2.19. a	3,	1,		,	b			5,		7,					,				1		4a 2b,					c		2	b 2a.
			6									10						c
2.20. a	1,	2,		,	b			7,		3,				,			1						c		2			b 2a.
			4									5					c		6a 3b,
2.21. a	3,	7,			b		4,			6,									1	3a 2b,			c			2		5a 7b.
			0 ,								1 ,						c
2.22. a	2,	1,		,	b				3,	7,							,				1							c		2	3a 2b.
			4									6								c 2a 3b,
2.23. a 5,		1,	2		, b 6,						0,	7 ,							c1 3a 2b,							c2				4b 6a.
2.24. a	9,	5,		,	b			7,		1,					,				1		2a b,		c			2		3a 5b.
			3									2							c
2.25. a	4,	2,			b		0,			1,				,				1		4b 3a,			c			2		4a 3b.
			9 ,									3					c
2.26. a	2,	1,		,	b				1,		3,				,				1		5a 2b,					c		2	2a 5b.
			6									8							c
2.27. a	5,	0,			b	3,				1,			,				1						c		2			12b 9a.
			8 ,									7				c			3a 4b,
2.28. a 1,		3,	4 ,		b 2,					1,		0 ,							c1 6a 2b,							c2				b 3a.
2.29. a	4,	2,		,	b				5,	0,						,				1	a 3b,			c			2	6b 2a.
			7									3							c
2.30. a	2,	0,		,	b			1,		3,						,			1		2a 5b,					c		2	5a 2b.
			5									4							c
2.31. a	1,	2,		,	b			3,		7,									1		4a 3b,					c		2	9b 12a.
			8									1 ,							c

Задача 3. Найти косинус угла между векторами AB и AC.


3.1.	A 1,	2,	3 ,	B 0,	1,	2	,	C 3,		4,	5 .
3.2.	A 0,	3,	6 ,	B 12,		3,		3 ,	C 9,		3,	6 .
3.3.	A 3,	3,	1 ,	B 5,	5,	2	,	C 4,		1,	1 .

3.4. A 1, 2, 3 , B 3, 4, 6 , C 1, 1, 1 .

3.5.	A 4,	2,			0 ,		B 1,			2,		4 ,				C	3,		2,				1 .
3.6.	A 5,	3,	1 ,			B 5,		2,		0	,		C 6,				4,		1 .
3.7.	A 3,	7,			5 ,		B	0,		1,		2			,	C 2,			3,				0 .
3.8.	A 2,	4,		6 ,		B 0,			2,		4 ,				C 6,			8,			10		.
3.9.	A 0,	1,	2		,	B 3,		1,		2 ,		C		4,			1,	1 .
3.10.	A 3,	3,		1 ,		B 1,			5,	2		,		C 4,				1,	1 .
3.11.	A 2,	1,		1 ,		B 6,			1,		4		,		C 4,			2,			1 .
3.12.	A 1,	2,			1 ,		B 4,			2,			5 ,			C 8,				2,			2 .
3.13.	A 6,	2,		3 ,			B 6,		3,	2 ,					C 7,			3,		3 .
3.14.	A 0,	0,		4	,	B 3,			6,		1 ,				C 5,			10,					1 .
3.15.	A 2,	8,			1	,	B 4,		6,			0 ,			C 2,				5,				1 .
3.16.	A 3,	6,		9 ,			B 0,		3,		6 ,				C 9,			12,				15 .
3.17.	A 0,	2,		4 ,			B 8,		2,		2 ,		C 6,					2,	4		.
3.18.	A 3,	3,		1 ,		B 5,			1,	2		,		C 4,				1,	1 .
3.19.	A 4, 3,			0 ,			B 0,		1,	3		,	C 2,					4,		2		.
3.20.	A 1,	1,		0 ,		B 2,			1,			4	,		C 8,			1,			1 .
3.21.	A 7,	0,		2	,	B 7,		1,		3 ,		C		8,			1,		2	.
3.22.	A 2,	3,		2	,	B 1,			3,		1 ,				C 3,				7,				3 .
3.23.	A 2,	2,		7	,	B 0,		0,		6	,		C 2,					5,	7		.
3.24.	A 1,	2,		3 ,			B 0,		1,		2		,		C 3,				4,			5 .
3.25.	A 0,	3,		6 ,			B 9,		3,	6 ,			C 12,					3,		3 .
3.26.	A 3,	3,		1 ,		B 5,			1,	2		,		C 4,				1,	3 .


3.27. A 2,	1,	1 ,	B 2,		3,		2 ,		C	0,	0,	3 .
3.28. A 1,	4,	1 ,		B 2,		4,		5 ,		C 8,	4,	0	.
3.29. A 0,	1,	0 ,	B 0,		2,		1 ,	C 1,		2,	0 .
3.30. A 4,	0,	4 ,		B 1,			6,	7 ,	C 1,		10,	9 .
3.31. A 2,	4,	6 ,		B 0,			2,	4	,	C 6,		8,	10 .

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

4.1. a p 2q,

b 3p q;

p q 6.

4.2. a 3p q,

b p 2q;

p q 4.

4.3. a p 3q,

b p 2q;

1 5,

p q 2.

4.4. a 3p 2q,

b p 5q;

2, p q 5 6.

4.5. a p 2q,

b 2p q;

p q 3 4.

4.6. a p 3q,

b p 2q;

p q 3.

4.7. a 2p q,

b p 3q;

p q 2.

4.8. a 4p q,

b p q;

p q 4.

4.9. a p 4q,

b 3p q;

p q 6.

4.10. a p 4q,

b 2p q;

p q 3.

4.11. a 3p 2q,

b p q;

10,

p q 2.

4.12. a 4p q,

b p 2q;

p q 4.

4.13. a 2p 3q,

b p 2q;

7, p q 3.

4.14. a 3p q,

b p 2q;

p q 3.

4.15. a 2p 3q,

b p 2q;

p q 4.

4.16. a 2p 3q,

b 3p q;

p q 6.

4.17. a 5p q,

b p 3q;

p q 3.

4.18. a 7p 2q,

b p 3q;

1 2,

2, p q 2.

4.19. a 6p q,

b p q;

p q 4.

4.20. a 10p q,

b 3p 2q;

p q 6.

4.21. a 6p q,

b p 2q;

1 2,

p q 3.

4.22. a 3p 4q,

b q p;

2,5,

p q 2.

4.23. a 7p q,

b p 3q;

p q 3 4.

4.24. a p 3q,

b 3p q;

p q 2 3.

4.25. a 3p q,

b p 3q;

p q 4.

4.26. a 5p q,

b p q;

p q 5 6.

4.27. a 3p 4q,

b p 3q;

p q 4.

4.28. a 6p q,

b 5q p;

1 2,

p q 5 6.

4.29. a 2p 3q,

b p 2q;

p q 3.

4.30. a 2p 3q,

b 5p q;

p q 2.

4.31. a 3p 2q,

b 2p q;

p q 3 4.

Задача 5. Компланарны ли векторы a, b и c?

5.1. a 2,

1 ,

b 1,

0, 1 ,

c 2,

2, 2 .

5.2. a 3,

1 ,

b 2,

3, 4 ,

c 3,

1 .


5.3. a 1,	5,		2 ,		b 1,				1,		1 ,		c 1,			1,			1 .
5.4. a 1,	1,		3 ,			b 3,			2,		1 ,		c 2,				3,		4 .
5.5. a 3,	3,		1 ,		b 1,			2,			1 ,	c 1,				1,	1 .
5.6. a 3,	1,		1 ,		b 2,				1,			0 ,		c 5,			2,			1 .
5.7. a 4,		3,	1 ,		b 1,			2,			1 ,	c 2,				2,			2 .
5.8. a 4,		3,	1 ,		b 6,			7,		4 ,		c 2,				0,		1 .
5.9. a 3,	2,		1 ,		b 1,			3,			7 ,		c 1,				2,		3 .
5.10. a 3,		7,	2 ,		b 2,				0,		1 ,			c		2,	2,			1 .
5.11. a 1,		2,		6	,	b 1,			0,		1 ,		c 2,			6,			17 .
5.12. a 6,		3,	4 ,		b 1,				2,			1 ,			c	2,			1,	2 .
5.13. a 7,		3,	4 ,		b 1,				2,			1 ,			c	4,			2,	4 .
5.14. a 2,		3,	2 ,		b 4,				7,		5 ,		c 2,			0,			1 .
5.15. a 5,		3,	4 ,		b 1,				0,		1 ,			c 4,			2,			4 .
5.16. a 3,		10,		5 ,		b 2,				2,		3		,	c 2,				4,		3 .
5.17. a 2,		4,		3 ,			b 4,				3,	1 ,			c 6,				7,	4 .
5.18. a 3,		1,	1 ,			b 1,			0,		1 ,		c 8,				3,		2 .
5.19. a 4,		2,	2 ,		b 3,				3,			3 ,			c 2,				1,	2 .
5.20. a 4,		1,	2 ,		b 9,				2,		5 ,		c 1,			1,		1 .
5.21. a 5,		3,	4 ,		b 4,				3,		3 ,		c 9,			5,			8 .
5.22. a 3,		4,	2 ,		b 1,				1,		0 ,	c 8,				11,			6 .
5.23. a 4,		1,		6 ,			b 1,			3,		7 ,			c 2,				1,		4 .
5.24. a 3,		1,	0 ,		b 5,				4,			5 ,			c 4,				2,	4 .

5.25. a 3,			0,		3 ,		b 8, 1,					6 ,		c 1,			1,		1 .
5.26. a 1,		1,			4 ,			b 1,			0,	3 ,			c 1,			3,		8 .
5.27. a 6,			3,		4 ,		b 1,				2,		1 ,			c 2,				1,	2 .
5.28. a 4,			1,		1 ,		b 9,				4,		9 ,			c 6,				2,	6 .
5.29. a 3,			3,		3 ,			b 4,				7,	6 ,			c 3,			0,		1 .
5.30. a 7,			10,			5 ,			b 0,			2,			1 ,		c 2,				4, 1 .
5.31. a 7,			4,		6 ,			b 2,			1,	1 ,		c 19,				11,		17 .
Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках																		A1,		A2 , A3,			A4	и его высоту,					опущенную
из вершины A4	на грань A1A2 A3 .
6.1. A1 1,	3,		6 ,			A2 2,			2,		1 ,		A3 1,			0,		1 ,		A4 4,			6,	3 .
6.2. A1 4,		2,			6 ,		A2 2,			3,		0	,	A3 10,					5,	8 , A4			5,		2,		4		.
6.3. A1 7,		2,		4 , A2				7,		1,	2		,	A3 3,			3,		1 ,		A4 4,			2,	1 .
6.4. A1 2,	1,		4 ,			A2		1,		5,	2 ,			A3 7,			3,			2	,	A4	6,		3,		6 .
6.5. A1 1,		5,			2 ,			A2 6,			0, 3 ,				A3 3,				6,	3 ,		A4 10,				6,		7 .
6.6. A1 0,		1,		1 ,				A2 2,			3,	5 ,			A3 1,		5,			9 ,		A4 1,			6,			3 .
6.7. A1 5,		2,		0	,	A2 2,				5,	0 ,		A3 1,			2,	4		,	A4 1,			1,	1 .
6.8. A1 2,		1,		2		,		A2 1,		2,		1 ,		A3 5,			0,		6 ,		A4 10,				9,	7		.
6.9. A1 2,		0,			4	,		A2 1,			7,	1 ,			A3 4,		8,			4 ,		A4 1,			4,		6 .
6.10. A1 14,			4,		5	,	A2 5,				3,		2	,	A3 2,				6,		3 , A4			2,			2,		1 .
6.11. A1 1,		2,		0 ,		A2 3,				0,	3 ,			A3 5,			2,		6 ,		A4 8,		4,		9	.
6.12. A1 2,		1,			2 ,			A2 1,		2,		1 ,		A3 3,			2,		1 ,		A4 4,			2,	5 .
6.13. A1 1,		1,		2	,	A2		1,		1,	3 ,		A3 2,			2,			4 ,		A4 1,			0,	2		.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)_Кузнецов Л.А_1983 PDF

#
01.03.2016395.12 Кб144. Интегралы.PDF
#
01.03.2016276.58 Кб245. Дифференциальные уравнения.PDF
#
01.03.2016336.05 Кб136. Ряды.PDF
#
01.03.2016346.96 Кб137. Кратные интегралы.PDF
#
01.03.2016340.55 Кб168. Векторный анализ.PDF
#
01.03.2016281.75 Кб129. Аналитическая геометрия.PDF