Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Детерм. мод. - лаб. работы / Лаб. раб. 4 / Задания к Лаб. раб

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В РЯДЕ ЗАДАЧ ХИМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ

ЗАДАНИЕ № 1 ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

I. Дана функция f (x), которая при заданных значениях числовых параметров

интегрируема в квадратурах. При помощи компьютерной системы Mathematica выполните следующие пункты:

1.найдите неопределенный интеграл от функции f (x), если считать, что число-

вые параметры заданы в общем виде;

2.проинтегрируйте функцию f (x) в квадратурах при заданных значениях числовых параметров;

3.найдите определенный интеграл от функции f (x) при заданных значениях

числовых параметров, принимая нижний и верхний пределы интегрирования соответственно равными a и b (используйте встроенную функцию Integrate компьютерной системы Mathematica);

4.сравните приближенное числовое значение полученного в пункте 3 результата с результатом, который получается в результате численного интегрирования

функции f (x) на заданном промежутке (используйте при этом встроенные

функции N (если в применении этой функции есть необходимость) и NIntegrate компьютерной системы Mathematica).

аb

II. Дана функция f (x), которая не интегрируема в квадратурах. При помощи

компьютерной системы Mathematica выполните следующие пункты:

1.найдите выражение неопределенного интеграла от функции f (x) через специальные функции;

2.найдите определенный интеграл от функции f (x), принимая нижний и верх-

ний пределы интегрирования соответственно равными a и b (используйте встроенную функцию Integrate компьютерной системы Mathematica);

3.сравните приближенное числовое значение полученного в пункте 2 результата с результатом, который получается в результате численного интегрирования

функции f (x) на заданном промежутке (используйте при этом встроенные

функции N (если в применении этой функции есть необходимость) и NIntegrate компьютерной системы Mathematica).

1.выясните, является ли несобственный интеграл сходящимся на промежутке интегрирования (а; b) при каждом из указанных значений числового параметра k (используйте встроенную функцию Integrate компьютерной системы

Mathematica);

2.если несобственный интеграл сходится, найдите его приближенное числовое значение и сравните это значение с результатом, который получается в результате численного интегрирования функции f (x) на заданном промежутке

(используйте при этом встроенные функции N (если в применении этой функции есть необходимость) и NIntegrate компьютерной системы Mathematica).

ЗАДАНИЕ № 2 АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

В ЗАДАЧАХ ХИМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ

Вариант 1.

Рассмотрите прямую кинетическую задачу для случая протекания простой реакции в закрытой изотермической системе (объем и температура постоянны) в предположении, что имеет место соответствие кинетического и стехиометрического уравнений. Схема простой реакции с тремя реагентами, идущая в одну стадию, такова:

A B C k Продукты.

Предполагается, что CA0 CB0 CC0 0 – это начальные концентрации реагентов A,

B и C соответственно. Получите аналитическое решение прямой кинетической задачи, т. е. уравнения кинетических кривых. Представьте полученное решение графически, приняв

точки зрения. Для указанной реакции найдите, во сколько раз медленнее достигается глубина превращения на 99% по сравнению со временем полупревращения.

Вариант 2.

В результате реакции омыления уксусноэтилового эфира гидроксидом натрия получаются ацетат натрия и этиловый спирт:

CH3COOC2H5 NaOH k CH3COONa C2H5OH.

Реакция протекает в закрытой изотермической системе (объем и температура постоянны), причем, имеет место соответствие кинетического и стехиометрического уравнений. Начальные концентрации уксусноэтилового эфира и гидроксида натрия соответственно равны a и b (M), где b a 0. Получите аналитическое решение прямой кинетической задачи, т. е. уравнения кинетических кривых для исходных реагентов.

Пусть a 0,01M; b 0,02 M. Известно, что через 23 мин после начала реакции начальная концентрация уксусноэтилового эфира уменьшилась на 10%. Через какое время t (мин) после начала реакции она уменьшится на 15%? Через какое время t (мин) после начала реакции она уменьшится на p% (0 p 100)? Дайте ответ на последний вопрос в виде аналитической зависимости между величинами t и p. Представьте полученную

аналитическую зависимость графически. Проанализируйте полученные результаты с химической точки зрения.

Вариант 3.

а) Рассмотрите прямую кинетическую задачу для случая протекания реакции нулевого порядка в закрытой изотермической системе (объем и температура постоянны). Получите аналитическое решение прямой кинетической задачи, т. е. уравнение кинетической кривой. Схема реакции с единственным реагентом, идущая в одну стадию, такова:

A k Продукты.

Предполагается, что CA0 0 – это начальная концентрация реагента A. Найдите период полупревращения исходного реагента. Представьте полученное решение графически,

(объем и температура постоянны). Получите аналитическое решение прямой кинетической задачи, т. е. уравнение кинетической кривой. Предполагается, что начальная концентрация исходного реагента A не равна нулю. Получите соотношения для периода полупревращения и для времени продолжительности реакции. Представьте полученное решение графически при k 0,004моль2/ л2 с ; CA0 1моль/л. Проанализируйте

результаты с химической точки зрения.

Вариант 4.

Решите задачу о концентрации раствора (см. Лабораторную работу № 4, Задание № 2) при условии, что

а) b c; б) b c.

Оформите решение аналогично решенной в лабораторной работе № 4 задаче (случай

b c).

Вариант 5.

Рассмотрите прямую кинетическую задачу для случая протекания реакции в закрытой изотермической системе (объем и температура постоянны) в предположении, что реакция имеет первый порядок по каждому реагенту. Схема реакции такова:

2A B k Продукты.

Предполагается, что CA0 0;CB0 0 – это начальные концентрации реагентов A и B

соответственно, причем они различны между собой. Получите аналитическое решение прямой кинетической задачи, т. е. уравнения кинетических кривых. Представьте

k 0,005л2/ моль2 с ; CA0 1моль/л; CB0 2моль/л. Проанализируйте резуль-

таты с химической точки зрения.

Вариант 10.

Вливание глюкозы в кровеносную систему человека является важной лечебной процедурой. Считайте, что глюкоза вводится в кровь с постоянной скоростью c(г/мин) и,

разлагаясь, удаляется из кровеносной системы со скоростью, прямо пропорциональной имеющемуся в текущий момент времени количеству глюкозы в крови пациента (коэффициент пропорциональности обозначим через k ). Примите количество глюкозы в крови пациента в начальный момент времени t 0 равным a (г). Известно, что k c/a.

Опишите аналитически текущее количество глюкозы в крови пациента. Найдите равновесное количество глюкозы в крови. Представьте полученную аналитическую зависимость графически при c 0,4г/мин;a 2,52г;k 0,08мин 1. Проана-

лизируйте полученные результаты.

Вариант 11.

Рассмотрите прямую кинетическую задачу для случая протекания реакции в закрытой изотермической системе (объем и температура постоянны) в предположении, что реакция имеет первый порядок по каждому реагенту. Схема реакции такова:

A B 2C k Продукты.

Предполагается, что CA0 0;CB0 CA0;CC0 2CB0 – это начальные концентрации

реагентов A, B и C соответственно. Получите аналитическое решение прямой кинетической задачи, т. е. уравнения кинетических кривых. Найдите период полупревращения для реагентов этой реакции. Представьте полученное аналитическое

Вариант 12.

В исследованном образце горной породы содержалось 100 мг урана и 14 мг свинца. Из-

вестно, что период полураспада урана составляет 4,5 109 лет. Определите примерно возраст породы и начальное содержание в ней урана. Считайте, что в момент образования горная порода не содержала свинца и что можно пренебречь наличием промежуточных продуктов разложения, учитывая, что они разлагаются намного быстрее, чем уран. Считайте также, что радиоактивный распад урана происходит в соответствии с закономерностями реакции первого порядка в закрытой системе. Представьте примерный график, изображающий зависимость между текущим количеством (мг) свинца, содержащемся в исследованном образце породы, и соответствующим возрастом данного образца. Через сколько лет количество свинца в исследованном образце превысило бы 100 мг?

Вариант 13.

Рассмотрите прямую кинетическую задачу для случая протекания реакции в закрытой изотермической системе (объем и температура постоянны) в предположении, что реакция имеет первый порядок по каждому реагенту. Схема реакции такова:

2A 3B k Продукты.

Предполагается, что CA0 0;CB0 0 – это начальные концентрации реагентов A и B

соответственно, причем они различны между собой. Получите аналитическое решение прямой кинетической задачи, т. е. уравнения кинетических кривых. Представьте

Вариант 14.

Рассмотрите процесс перехода вещества в раствор. Известно, что при фиксированной температуре количество этого вещества, содержащееся в данном объеме растворителя, не может превзойти некоторого определенного числа p, соответствующего насыщенному раствору. Известно также, что чем больше вещества перешло в раствор, тем меньше скорость перехода. Эксперименты показывают, что для многих веществ скорость перехода вещества в раствор в текущий момент времени t прямо пропорциональна разности числа p и количества вещества, перешедшего в раствор к этому моменту времени (коэффици-

ент пропорциональности обозначим через k ). При указанных условиях опишите как функцию от времени количество вещества, перешедшее в раствор. Считайте, что t0 – это момент времени, с которого начался процесс перехода вещества в раствор. Представьте

имеет место соответствие кинетического и стехиометрического уравнений. Реакция протекает в закрытой изотермической системе (объем и температура постоянны).

а) Известно, что спустя 1 ч после начала реакции осталось 44,8 г вещества A, а после 3 ч – 11,2 г. Определите первоначальное количество вещества A и период полураспада этого вещества.

б) Известно, что вещество A – это RaB, вещество B – это RaC, период полураспада элемента RaB равен 26,7 мин. Найдите время распада одной пятой части первоначального количества элемента RaB. Изобразите графически аналитическую зависимость между величинами t и p, где t – это время распада p процентов

RaB. Проанализируйте полу-