Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Детерм. мод. - лаб. работы / Лаб. раб. 3 / Решенная лекционная задача

2 Лаб. работа3.1.nb

In[6]:= y . x 10^ 14

175000000089998249999999

Out[6]=

1000000000000000000000000000000000000000000

In[7]:= N

Out[7]= 1.75 10 19

In[8]:= y . x 0.2

Out[8]= 0.0120007

Функция y x3 k c x2 wx kw непрерывна на промежутке

10 14;1 .Согласно тому, что на концах рассматриваемого отрезка функция принимает значения, разные по знаку, можно заключить,

что на промежутке 10 14;1 уравнение x3 k c x2 wx kw 0

имеет хотя бы один вещественный корень. По виду изображенного графика мы можем лишь сказать,что все вещественные корни уравнения

2.3.6 , принадлежащие отрезку 10 14;1 , принадлежат отрезку

10 14;0.2 . Проведем исследование функции y x3 k c x2 wx kw,

целью которого является отделение корней уравнения

2.3.6 , т. е. построение таких отрезков которые включает в себя отрезок 10 14;1 , на каждом из которых находится только один вещественный корень уравнения 2.3.6 . Исследуем функцию y

x3 k c x2 wx kw при помощи ее первой производной.

Исследование функции при помощи первой производной

In[9]:= d1 D y, x FullSimplify

Лаб. работа3.1.nb 3

In[13]:= Reduce d1 0, x 10^ 14 , x 1 , x, Reals FullSimplify

1000175 2 250087507657

Out[13]= x 1 30000000

In[14]:= N

Out[14]= 4.99926 10 14 x 1.

Получен промежуток возрастания функции с учетом того, что x 10 14;1

In[15]:= Reduce d1 0, x 10^ 14 , x 1 , x, Reals FullSimplify

Out[15]= x

100000000000000 30000000

In[16]:= N

Out[16]= 1. 10 14 x 4.99926 10 14

Получен промежуток убывания функции с учетом того, что x 10 14;1

In[17]:= y . x st

Out[17]=

40000000000000000000 3000000000000000000000

360000000000000000000 27000000000000000000000

In[18]:= N

Out[18]= 1.75 10 19

Функция на отрезке 10 14;1 имеет единственную точку локального экстремума а именно,

минимума . Причем, значение функции в ней отрицательное.

Рассмотрим значение функции в точке x 10 7. Этому значению аргумента соответствует ситуация, когда гидролиз отсутствует

In[19]:= y . x 10^ 7

1

Out[19]=

1000000000000000

Получили положительное значение. Принимая во внимание исследование функции при помощи ее первой производной,

можно сделать вывод, что на промежутке 10 14;1 функция имеет единственный вещественный корень, который принадлежит промежутку

st;10 7 . Процедура отделения интересующего нас корня уравнения 2.3.6 завершена.

4 Лаб. работа3.1.nb

In[20]:= Plot y, x, st, 10^ 7 , PlotLabel "График функции y x3 k c x2 wx kw

на промежутке 4.99127 10^ 13 ;10 7 ", AxesLabel "x", "y" ,

PlotStyle RGBColor 1, 0, 0 , Thickness 0.006 , GridLines Automatic

9826651

Out[21]=

1000000000000000000000000

Из последнего графика ясно, что интересующий нас корень уравнения 2.3.6

находится на промежутке st;10 8 . Найдем его приближенное

значение с недостатком и с избытком, так чтобы по модулю разность этих значений была меньше 2 10 9. Применим такие методы приближенного решения конечных уравнений, как метод хорд и метод касательных

метод Ньютона . В компьютерной системе Mathematica эти методы реализуются посредством встроенной функции FindRoot. Чтобы задать аргументы этой встроенной функции,

необходимо провести исследование функции y x3 k c x2 wx kw при помощи ее второй производной.

Исследование функции при помощи второй производной

In[22]:= d2 D d1, x

40007

Out[22]= 6 x 200000

In[23]:= Reduce d2 0, x st, x 10^ 8 , x, Reals FullSimplify

Out[23]= x

30000000 100000000

График функции вогнутый на промежутке st;10 8 . Согласно исследованию функции при помощии ее первой и второй производных,

можно заключить, что на отрезке st;10 8 метод хорд будет давать приближенное значение корня с недостатком, а метод касательных с избытком.

Лаб. работа3.1.nb 5

In[24]:= FindRoot y 0, x, st, 10^ 8

Out[24]= x 4.99926 10 14

In[25]:= v1 4.999261970321337`*^-14

Out[25]= 4.99926 10 14

С использованием метода хорд получено приближенное значение корня с недостатком

In[26]:= FindRoot y 0, x, 10^ 8

Out[26]= x 5.08751 10 9

In[27]:= v2 5.087510360112227`*^-9

Out[27]= 5.08751 10 9

С использованием метода касательных получено приближенное значение корня с избытком

In[28]:= If v2 v1 2 10^ 9 , t, f

Out[28]= f

Требуемая в задаче точность вычислений не достигнута. Повторим вычисления,

рассматривая в качестве отрезка, на котором находится искомый корень уравнения 2.3.6 ,отрезок v1;v2

In[29]:= FindRoot y 0, x, v1, v2

Out[29]= x 4.99926 10 14

In[30]:= v1 4.999261970321337`*^-14

Out[30]= 4.99926 10 14

С использованием метода хорд получено приближенное значение корня с недостатком

In[31]:= FindRoot y 0, x, v2

Out[31]= x 2.71574 10 9

In[32]:= v2 2.7157416460405214`*^-9

Out[32]= 2.71574 10 9

С использованием метода касательных получено приближенное значение корня с избытком

In[33]:= If v2 v1 2 10^ 9 , t, f

Out[33]= f

Требуемая в задаче точность вычислений не достигнута. Повторим вычисления,

рассматривая в качестве отрезка, на котором находится корень уравнения 2.3.6 ,отрезок

v1;v2

Получим теперь численное решение уравнения

2.3.6 при помощи встроенной функции NSolve

Лаб. работа3.1.nb 7

In[42]:= NSolve y 0, x

Out[42]= x 0.100018 , x 1.32271 10 9 , x 1.32281 10 9

Все полученные результаты согласуются между собой. Итак, x 1.32 10 9.

In[43]:= x 1.32 10^ 9

Out[43]= 1.32 10 9

In[44]:= pH Log 10, x

Out[44]= 8.87943