Литература / Дополнительная литература / 25_В.В.Аниськов, И.В.Близнец - Дискретная математика. Практиченское пособие
.pdf
x1 |
x2 |
x3 |
f |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим СДНФ для этой1 ункции:1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
заменимx¯1çx¯2àêx¯3 x¯1x¯2x3 x1x2x¯3 x1x2x3. |
|
|
|
|
|
|||||
перьТ |
операции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
операциизнакна |
и выражение |
|||||||
x¯ çàìåним на выражеíèå x 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
((x1 1)(x2 |
1)(x3 1))â ((x1 1)(x2 |
1)x3) (x1x2(x3 |
1)) (x1x2x3). |
||||||||
отдельности:послагаемомкаждомскобкиаскроем |
|
|
|
||||||||
|
3.3 |
|
|
|
|
|
|
|
3.3, 5.3 |
||
(x1 1)(x2 1)(x3 1) = (x1(x2 )(x3 1)) (1 · (x2 1)(x3 1)) |
= |
|
|||||||||
((x1x2(x3 1)) (x1 · 1 · (x3 1))) ((x2(x3 1)) (1 · (x3 1))) |
3.3, 5.3 |
||||||||||
= |
1.3, 5.3 |
||||||||||
(((x1x2x3) (x1x2·1)) ((x1x3) (x1·1))) (((x2x3) (x2·1)) ((1·x3) (1·))) |
|||||||||||
= |
|||||||||||
|
x1x2x3 x1x2 x1x3 x1 x2x3 x2 x3 1; |
|
|
|
|||||||
|
3.3 |
|
|
|
|
|
|
3.3, 5.3 |
|
|
|
(x1 1)(x2 1)x3 = (x1(x2 1)x3) (1 · (x2 1)x3) |
= |
|
|
||||||||
|
((x1x2x3) (x1 · 1 · x3)) ((x2x3) (1 · x3)) |
1.3, 5.3 |
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
||||||
|
x1x2x3 x1x3 x2x3 x3; |
|
|
|
|
|
|||||
|
3.3 |
|
|
5.3 |
x1x2. |
|
|
||||
Теперьx1x2(x3 1) = (x1x2x3) (x1x2 |
· 1) = x1x2x3 |
|
|
||||||||
|
части:полученныевместесложим |
|
|
|
|
|
|||||
x1x2x3 x1x2 x1x3 x1 x2x3 x2 x3 1
2.3
x1x2 x1x3 x2x3 x3 x1x2x3 x1x2 x1x2x3 = x1x2x3 x1x2x3 58x1x2x3 x1x2x3
2) |
A = x1 x2; |
|
|
|
|
|||||
B3) |
= (x¯1 x3 (x2x4))(x¯1 x¯3 x2 |
|
) ( |
|
); |
|
|
|||
x4 |
x2 x4 |
|
|
|||||||
|
A = (x1 x2) x1; |
|
|
|||||||
таблицы1)BÇàäà= ( |
x¯2 x4 |
) (x¯3 x1) (¯x2 x¯4 |
)((x3 x1) (¯x2 |
x¯4 |
). |
|||||
|
|
63.истинностича |
используяормул,изпеременныеиктивныеУдалить. |
|||||||
2 |
((x1 x2) (x2x3x4 x2x3x¯4)) x1 x3); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
(x1 x3) ((x1 x¯2) x¯1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ешение: |
|
|
|
|
|
|
x1x3)); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
((x¯2 |
x1)x3) (x4(x2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
( |
|
|
||||||||||||||
|
((x¯2 x1) x3) (x4 |
( |
x2 x3) |
x1 x3)) |
|
||||||||||||||
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
||
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
||
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
||
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
||
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
||
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
||
ïðличествоивоосмотретьНеобхдитединицкдимыйнаблювсеили0 1 1 0строкидениюпизнакнулейотаблицытом,наличия1 1 1выпочтоистинностилняетс1 иктивнойя.Т.еперьАнализпеременнойнужноданнойвнимательно0 1 1 1 1 1 четноеаблицык1 1 - |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (0, 0, 0, 0) = f (0, 0, 0, 1); |
|
|
|||||
|
f (0, 0, 1, 0) = f (0, 0, 1, 1); |
|
|
|||||
|
f (0, 1, 0, 0) = f (0, 1, 0, 1); |
|
|
|||||
|
|
|
определению, |
1); |
|
x4 |
|
-óäà |
|
f (0 1, 1, 0) = f (0, 1, 1, |
|
|
|
|
|||
|
f (1, 0, 0, 0) = f (1, 0, 0, 1); |
|
|
|||||
|
f (1, 0, 1, 0) = f (1, 0, 1, 1); |
|
|
|||||
|
f (1, 1, 0, 0) = f (1, 1, 0, 1); |
|
|
|||||
|
fÏî(1, 1, 1, 0) = f (1,переменная1, 1, 1). |
|
|
|||||
ееПослеормуиктивнойлу.ормуявляетслы,яисходнойвместополучаемления, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
((x¯2 x1)x3) |
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
||
(x2x3 x1x3). |
|
|
|
|
|
|||
4) |
|
((x¯2 x1)x3) ( |
x2x3 |
x1x3). |
|
|
||
5 |
((x1 x2) (x¯1x2)) (x1x¯2x3); |
|
|
|||||
6 |
((x1 x2) x3) (x1 x2); |
|
|
|||||
7 |
(x1 x2) (x2 x3) (x3 x1); |
|
|
|||||
) 8 |
(x1 (x2 x3)) (x3 (x2 x1)); |
|
|
|||||
1) |
(x1 (x2 x3))(x¯1 |
(x3 x2)). |
|
|
||||
|
ункций.следующихдлязаданиявекторныеПостроить64.Задача |
|||||||
|
-ормубулы,левойкрноедлязаданиевектистинностипостроитьаблицубы.чтпостроитьункциюреализунеобхетДляодимоэтутого,ешение: |
|||||||
тораяункции,(x1 x2x3) (x1 x2x1); |
|
|
||||||
( x1 ( x2 x3 |
) ) ( x1 ( x2 x1 ) ) |
|||||||||
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
40 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
||||||||||
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
((x1 x2) |
|
(x2 x1)) |
x3 |
|
x1 x2 x3 1 |
|
|
|||||||||||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
но являетс1Ответ:Из аблицыяполиномомистинностиЖегвидно,алкиначтодлянайденныйданнойв1 1 1 1 1 1 0 1 |
|
1 0упословиилином1 1 действительункции.1 0 1 |
- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
x1 x2 x3 1. |
||
3 |
((x1 x2) (x¯1 x3)) (x2 x¯3); |
||
4 |
((x1 x¯2) x3) ( |
x1 x2 |
); |
5 |
((x2 (x1x3)) (x1 x2)) x¯3; |
||
6 |
f (x˜2) = (1001); |
||
) 7 |
f (x˜3) = (10010110); |
||
|
4 |
|
|
ностииспо1)Зада.льзованиемf (x˜÷à) =77.(10011011)НайтиСДНФпоилиномысделатьЖегпроверкуалкинасдляпомощьюследующихтаблиц. ункцийистин- |
|||
2 |
(x1 x2)(x2 x1) x3; |
|||
3 |
((x1 x2) (x¯1 x3)) (x2 x¯3); |
|||
4 |
((x1 x¯2) x3) ( |
x1 x2 |
); |
|
5 |
((x2 (x1x3)) (x1 x2)) x¯3; |
|||
6 |
f (x˜2) = (1001); |
|
|
|
7) f (x˜3) = (10010110); |
|
|
||
|
3 |
|
-истаблицуеепостроимункциизаданию57 |
|
тинности:ешение:f (x˜ ) =Ïî(11000011)векторному. |
||||
α1 · 0 · 1 · 0 α2 · 0 · 0 α3 · 0 · 0 α4 · 1 · 0 1 · 0 α6 · 1 α7 · 0 1 =
Следовательно, |
0 0 0 0 0 α6 0 1 |
= 0. |
Следовательно, α7 |
= 1. |
|
α6 |
= 1. |
|
f (0 0, 1) = ((0 0)(0 0)) 1 = (1 1) |
1 = 1 1 = 0. |
|
α1 · 0 · 0 · 1 α2 · 0 · 0 α3 · 0 · 1 α4 · 0 · 1 1 · 0 1 · 0 α7 · 1 1 = 0 0 0 0 0 0 α7 1 = 0.
Следовательно, α2 = 0. α2 1 1 1 = 1.
f (1 1, 0) = ((1 1)(1 1)) 0 = (1 1) 0 = 1 0 = 1.
α1 · 1 · 1 · 0 α2 · 1 · 1 α3 · 1 · 0 α4 · 1 · 0 1 · 1 1 · 1 1 · 0 1 = 1;
Следовательно, α4 = 0. α4 1 1 1 = 1.
f (0 1, 1) = ((0 1)(1 0)) 1 = (1 0) 1 = 0 1 = 1.
α1 · 0 · 1 · 1 0 · 0 · 1 α3 · 0 · 1 α4 · 1 · 1 1 · 0 1 · 1 1 · 1 1 = 1;
f (1 0, 1) = ((1 0)(0 1)) 1 = (0 1) 1 = 0 1 = 1.
α1 · 0 · 1 · 1 0 · 1 · 0 α3 · 1 · 1 0 · 1 · 1 1 · 1 1 · 0 1 · 1 1 = 1;
Следовательно, |
α3 1 1 1 = 1. |
|
|
α3 = 0. |
|
|
|
f (1 1, 1) = ((1 1)(1 1)) 1 = (1 1) 1 = 1 1 = 0. |
|
||
α1 · 1 · 1 · 1 0 · 1 · 1 0 · 1 · 1 0 · 1 · 1 1 · 1 1 · 1 1 · 1 1 = 1; |
|||
|
α2 1 1 1 1 = 1. |
|
|
даннойИтак,усвселовиикоэα1 =îðìó0ициентылы,полиномполиномаЖегнайденыалкинаимеет.Следовательно,вид:. |
äëÿ |
||
Следовательно, |
|
|
|
истинностиблицу56тлиномаерьолученногообъединеннуюпо |
-орисходнойдля |
||
ï муСостлыавимдляте |
x1 x2 x3 1. |
||
Èç |
получаем:истинностиаблицы |
|||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x1, x2, x3) = (11110011). |
|||||||
2) |
|
|
|
|
(11110011). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(x1 x2x3)(x2 x3 x1); |
|||||||||||||||
4 |
(x¯1 |
x1x2 |
)x1; |
|||||||||||||
5 |
( |
|
x1x2 x¯1 |
)( |
x1x2 x¯2 |
); |
||||||||||
6 |
(x1 x2) ((x3 x1) (x3 x2)); |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7 |
(x1 |
|
|
) x1 x3; |
||||||||||||
x2x3 |
||||||||||||||||
8 |
(x1 x2x3)(x1 x2); |
|||||||||||||||
90)(x1 x2 x3)(x3 x1); |
||||||||||||||||
|
(x1 x2)((x2 x3)(x3 x1)); |
|||||||||||||||
1 |
|
|
( |
x1 x2 |
) ( |
x2 x1 |
); |
|||||||||
21 |
|
|
((x1 x2)(x2 x3) x1) (x1 x2); |
|||||||||||||
помтинности1)Зада((x1 |
x2) (x2 x3)) (x1 x2). |
|||||||||||||||
-ункцийтотождества,и,воспо.использовавшисьльзуятаблицыпринциисДоказатьполучитьбулевыхследующиеновые.свойства65иличадвойственности, |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
B); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(A (A B)) = (A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ешение:((A B) ((A B) (A |
|
B)) = A B; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
(( |
|
|
|
) (( |
|
|
|
|
) ( |
|
¯ |
|
|
¯ |
)) |
4.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
B |
A |
B |
A |
B |
3.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
((A B) ((A B) (A B)) = |
|
|
|
|
|
|
|
5.4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
((A B) (A B)) ((5.3 |
B |
) ( |
A |
B |
)) = 1.2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A |
|
B |
) ( |
A |
|
B)) |
1 |
|
|
A |
|
B |
) ( |
A |
|
B |
|
||||||||||||
(( |
|
|
|
|
|
2.1, 7.1 |
|
|
= ( |
|
|
|
|
|
|
|
) = |
|||||||||||||
(Теперь,A B) используяA B =принципA B.двойственности, получаем тождество: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((3)A B) ((A B) (A |
B)) = A B. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((A B) (A B)) = A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5 |
(A (A C)) (B C) = (A B) (A C); |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A (B B) = A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
76) |
((A B) (A C) (C D) = ((A D) (B C)); |
8 |
(A B) (B C) (C D) = ((A C) (B C) B D)); |
левых1)Зада(Aункций,чаB 66.C)заданныхУказатьсущественныевекторно.(B C D) (C D Aпеременные) = (A B) äëÿ(A следующихD) ( D) áóC.- |
|
3
ции: ешение:f (x˜ ) =Составим(11110000);таблицу истинности для данной булевой унк-
x1 |
x2 |
x3 |
f |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Анализявляютсаблицы позволяет1 |
сделать1 1 |
выводсущественнойтом,чтопеременные0 |
|
|||
è |
|
|
|
|
|
x2 |
x3 |
Следовательно,оиктивнымиднапеременная.олькяо |
переменной |
||||
являе |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
x1. |
|
|
|
|
2) |
{x1}. |
|
|
|
|
|
3 |
f (x˜3) = (00110011); |
|
|
|
|
|
4 |
f (x˜3) = (00111100); |
|
|
|
|
|
) 5 |
f (x˜3) = (01010101); |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
ременныев даннойОтвет:ешение:f (хx˜существенны) нкциичПосктноеолькуетоличество.= (1011100111001010);иктивныхнеобходимыйединицпеременныхпризилинуаклей.наличияСледовательно,не выпоиктивныхлняется,епето- |
||||||
6) |
{x1, x2, x3, x4}. |
f (x˜4) = (0011110011000011);42
|
1.2 |
|
(x¯3 x1) (x¯2 x¯3 x1) = |
|
|
2.2, 4.2 |
|
|
x¯3 x1 x¯2 x¯3 x1 |
= |
|
x1 x¯2 x¯3 |
|
|
5)Ответ: |
|
|
6 (x2 x3) (x1 x2) (x2x3); |
ункцийпомощьюспроверкуледующихс |
|
метоаблиц1)Зада((x1 x2) (x2 x3)) (x1x4). |
||
ициентовЖегалкинасделатьдляпоклиномыоэНайти.76.чадомистинностинеопределенных |
|
|
полиномСоставимешение: |
|
(x1 x2)(x2 x1) x3; Жегалкина в общем виде: |
|
-ункбумолевыхжносделатьЭто.ормунанаборелу.элемент(0,0,арных0)ункцииистинностиТеперьльзукоторыеясьнайдлькмвхзнаоодятчениеаблицамивданную |
|
öèé,ïî α1x1x2x3 α2x1x2 α3x1x3 α4x2x3 α5x1 α6x2 α7x3 |
α8. |
Подставимf (0, 0òîò, 0)æå= ((0набор0)(0значений0))переменных0 = (1 1)в полином0 = 1 Жегалкина:0 = 1.
α1 · 0 · 0 · 0 α2 · 0 · 0 α3 · 0 · 0 α4 · 0 · 0 α5 · 0 α6 · 0 α7 · 0 α8 =
|
воспользовавшись0 0 0 0 таблицами0 0 0 α8 = 1. |
|
сноваОтсюда, |
|
чтополучаем,истинности, |
α8 = 1. |
|
Приэтициентапахэтом,.а.нахпозналиномчениедятсянадляповсехтемнекпосжоторогоеледующихправиламкоэ |
ициентыомэтапевоэдальнейшемаыеяочередвкíпонайденноедстОставляетсаль |
|
|
Следовательно,f (1 0, 0) = ((1 0)(0 1)) 0 = (0 1) 0 = 0 0 = 0.
α1 · 1 · 0 · 0 α2 · 1 · 0 α3 · 1 · 0 α554 · 0 · 0 α5 · 1 α6 · 0 α7 · 0 1 = 0 0 0 0 α 0 0 1 = 0.
α5 = 1
f (0, 1, 0) = ((0 1)(1 0)) 0 = (1 0) 0 = 0 0 = 0.
|
( |
( |
x1 x2 |
) |
x¯1 |
) |
|
( |
( |
x1 x2 |
) |
x¯2 |
) |
||||||
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
1 |
Теперь составляем1 1 1 |
ÑÊÍÔ:0 0 |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меннойесзнаответствующейаблицыавляемойчениеКаждаязна.Чисчение0.дизъюнкциилоЕсэлементлипеременнойразличныхстроквэтойарнеà (x1 |
x¯2) (x¯1 |
x¯2). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ачлесо переменной,ункцияавленачис0,лутопоимеетстрокпереввстедизъюнкцийэтойавпеременнойтьмвоСКНФнужнооторойлсамойравносостравноотрицаниеавитьнужнострокяблицыэравнолементдизъюнкцияепостзнаистинности,1,арныхчен |
||||||
ò |
|
|
|
|
|
|
|
знаимеетункцияыхкотов |
×0. |
î |
|||||
2.т.е.лу,ормувдящихвхистинности,переменных, |
|
|
всехуëñ |
||||||||||||
равночениеодинаководизъюнкцииэлементарнойкаждойвнов |
|||||||||||||||
4)Ответ: |
(x1 x¯2) (x¯1 x¯2). |
|
|
|
|
||||||||||
5 |
(x3 x1) (( |
|
) x1); |
|
|
|
|
||||||||
x2 x3 |
|
|
|
|
|||||||||||
6 |
((x2 x3) (x1 x2)) (x2x3); |
|
СКНФпостроитьункций |
||||||||||||
испо1)Задальзуя((x1 x2) (x2 |
x3)) (x1x4). |
|
|||||||||||||
|
|
ледующихпреобразованиябулевых.Для75.равносильныеча |
|
|
|
||||||||||
2 |
x¯1x2 x2x3 x1x2; |
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
((x1 x2) x1) (x1 (x1x2)); |
|
|
|
|
||||||||||
) 4 |
((x1 x2) x1) ((x1 x2) x¯2); |
|
|
|
|
||||||||||
ешение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x3 |
x1) ((x2x3) x1); |
|
|
|
|
|||||||||
(x3 |
|
x1) |
|
((x2x3) |
|
|
6.2 |
|
|
|
|
||||
|
|
x1) = |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4 |
|
|
|
|
|
|
(x¯3 x1) ( |
x2x3 |
x1) = |
54 |
|
|
|
|
||||||||
87) |
f (x˜4) = (0111011101110111); |
|
4 |
1)Задачаf (x˜ ) =67.(0101111100001010)УпроститьДополнительныеследующие. ормузадалычи. |
|
((x1 x2) (x3 x4)) x1x3; ((x1 x2) (x1 x3)) x4;
((x1 x2)(x2 x3)(x3 x4)) (x2 x3);
ямункцПо68.Задача |
x3))(x1 x2); |
||||||||
|
((x1 |
x2) (x2 x3) (x1 |
|||||||
построить |
ункцииеèзаданевекторн |
è |
g(x3, x4) |
векторно,заданным, |
|||||
|
|
f (x1, x2) |
|
|
|||||
1) |
|
|
|
|
h. |
|
|
|
|
|
f (x1, x2) = (1011); g(x3, x4) = (1001); |
|
|
||||||
2)h(x2, x3, x4) = f (g(x3, x4), x2); |
|
|
-данвскобкирасставить |
||||||
|
f (x1 x2) = (1011); g(x3, x4) = (1001); |
||||||||
3)h(x1, x2, x3, x4) = f (x1, x2) g(x3, x4); |
|||||||||
|
f (x1, x2) = (1000); g(x3, x4) = (0111); |
||||||||
h(x1, x2, x3, x4) = f (x1, x2) g(x3, x4) |
|||||||||
ном 1)Задавыр жчаåíèè,69. Скчтобылькимиполучитьспособамиормумолужно. |
|||||||||
2 |
x¯ y x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x y z x; |
|
|
|
|
|
|
||
Задачаx y70. z еализоватьx. |
ункцию |
|
|
|
|
||||
1) |
|
|
|
|
|
f |
ормулой над F . |
||
2 |
f = x y; F = {, }; |
|
|
|
|
|
|||
3 |
f = x y; |
F = { }; |
|
|
|
|
|
|
|
Задачаf = x 71.yДоказать,; F = {,÷òî}. ункцию |
|
|
|
||||||
1) |
|
|
|
|
|
f нельзя реализовать над F . |
|||
2 |
f = x y; |
F = { }; |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
f = x y; |
F = { }; |
|
|
|
|
|
|
|
|
f = x y; |
F = { }. |
|
43 |
|
|
|
|
|
ункцийбулевыхазложения2.2. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
значенияПусть a B = {0; 1}. |
Äëÿ |
переменнойнекоторой |
|
x |
è |
некоторогоее |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a определим величину x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
xa |
= ( |
x, |
|
|
|
|
|
|
a = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
авенство |
|
|
|
|
|
åñëè a = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
азываютЕслибуразложениемлева ункцияf x булевойx f x |
переменной.поункции |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
, |
1) |
x |
n |
f |
x |
|
− |
|
0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(˜ ) = |
|
n |
(˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(˜ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
íèå |
|
|
f (x˜n) |
являетсяне |
противоречием, то выраже- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x˜n) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xa1 xa2 |
. . . xaN |
.)СДНФ(ормой |
|||||||||||||||||||
называютЕслибуеелевасовершеннойункциядизъюнктивной1 нормальной2 n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(A1,A2,...,AN ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
F (A |
,A2,...,AN )=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f (x˜n) |
выражениетотавтологией,являетсяне |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||
)СКНФнек(оторогоормойжъюнкцияества.мноянормальнойпределитьпеременныхназываетсиндуктивизнъюнктивнойможноконъюнкциейотрицанийисовершеннойееиСКНФнтарнойяменныхåЭлемСДНФперчисназываетсла |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
(x˜ ) = |
A1,A2,...,AK |
(x1 |
x2 |
|
. . . |
xn ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
F (A |
,A2,...,AN )=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = {u1, u2, . . . |
|
- называетслбосамаизяаказанногомнопеременная,дизъюнкцияжжестваявляетсмножлибояестванекэлементееотороговотриэтойаротрицаниелюбойилиеепеременныхпеременнойдлядизъюнкциейприсутствоватьотрицанийет.иременнаяпричмож,кциейнтарнойбаяменныхå.перЛкциионъюЭлемдизъюнкциислаъюиечíîéöà |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
. . . , um, . . .} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = {u1, u2, . . .
.цаниеной. . , дизъюнкциейu. Ë, . . .бая,мопричж} ременнаяет. присутствоватьдлялюбойилиеепеременнойотрицание44л бо самауктаказанногопеременная,жявляетсмножлибояестваэлементеевотриэтойар-
m
65) |
((x2 x ) (x1 x2)) (x2x3); |
СДНФпостроитьункций |
испо1)Задальзуя((x1 x2) (x2 x3)) (x1x4). |
||
|
ледующихпреобразованиябулевых.Для73.равносильныеча |
|
2 |
(x¯1 x¯2) ((x2x3) (x1x2)); |
|
|
||||||||||||||
ешение: |
|
|
|
|
|
|
|
(x1x2)); |
|
|
|||||||
|
((x1 x2)x¯1) (x1 |
|
|
||||||||||||||
((x1 x2) x¯1) (x1 (x1 x2)) |
2.1, 3.1, 6.2 |
||||||||||||||||
= |
|||||||||||||||||
(x1x¯1 x2x¯1) (x¯1 (x1x2)) |
3.2, 5.3, 5.4 |
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|||||||||||||||
(x2x¯1) ((x¯1 x1)(x¯1 x2)) |
5.3, 5.4 |
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2x¯1) (x¯1 x2) = |
|
|
|
|
|
|
4.1, 4.3, 4.4 |
||||||||||
((x2x¯1)( (x¯1 x2)) ( (x2x¯1)(x¯1 x2)) |
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1 |
|
|
(x2x¯1)(x1x¯2) (x¯2 x1)(x¯1 x2) = |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1, 3.1 |
|
|
|
|
|
|||
(x¯2 x1)(x¯1 x2) |
|
= |
3.1, 1.2 |
|
|
|
|||||||||||
x |
x |
x |
) |
|
x |
(x¯ |
1 |
x |
) |
= |
|
|
|
|
|||
¯2(¯ |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
5.1, 5.6 |
|
|
||||||||
x¯2x¯1 x¯2x2 x1x¯1 x1x2 |
= |
|
|
||||||||||||||
x¯2x¯1 x1x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
|
|
|
x¯2x¯1 x1x2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
((x1x2) x¯1) ((x1 x2) x¯2); |
|
|||||||||||||||
5 |
(x3 x1) (( |
x2 x3 |
) x1); |
|
|
||||||||||||
) 6 |
((x2x3) (x1 x2)) (x2x3); |
|
|
||||||||||||||
испо1)Задальзуя((x1 x2)(x2 |
x3)) (x1x4). |
|
|
||||||||||||||
|
|
СКНФпостроитьункцийбулевыхДляистинностиледующих.74.таблицыча |
|||||||||||||||
2 |
(x¯1 x¯2) ((x2x3) (x1x2)); |
3 |
((x1 x2) x¯1) (x1 (x1x2)); |
таблицу53построимВначалеешение: |
|
|
((x1x2) x¯1) ((x1 x2) x¯2); истинности для этой ормулы |
|
Для72.Задача |
|
задачиОсновные |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
СДНФпостроитьункцийбулевыхледующих |
||||||||||||||||||||||
.истинноститаблицыиспользуя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
истинноститаблицупостроимВначалеешение: |
ормулыэтойдля |
|||||||||||||||||||||
|
(1) |
(x¯1 x¯2) ((x2x3) (x1x2)); |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x¯1 x¯2 |
) |
|
|
( |
( |
x2 x3 |
) |
|
( |
x1 x2 |
) |
) |
|
||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Теперь0 |
составляем1 0 1ÑÄÍÔ: |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||||||||
-асопеременной,ункцияавлена1,топоимеетпереввстеэтойонъюнкцийавпеременнойтьмвоСДНФнужнооторойлсамойсостравноотрицаниеавитьстрокнужнояблицыравноонъюнкцияепостзнаистинности,0,ченàчениеКаждаязначение1.кЕсонъюнкцииэлементлипеременнойстроквэтойарнеавляемойаблицыответствующей. |
|||||||||||||||||||||||
есзна |
(x¯1x¯2x¯3) (x¯1x¯2x3) (x1x¯2x¯3) (x1x¯2x3) (x1x2x¯3) x1x2x3) |
|
|
||||||||||||||||||||
элементарныхразличныхЧисломенной. |
|
|
|
|
строкчислуравно |
||||||||||||||||||
жител |
онъюнкцииункцияарнойэлементкаждойвй |
числуравноидинаково |
|||||||||||||||||||||
|
|
ыхкотовистинности, |
|
|
мноЧисло1.значениеимеет |
||||||||||||||||||
переменных,всех |
3.т.е.ормулу,ввходящих |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2)Ответ: |
(x¯1x¯2x¯3) (x¯1x¯2x3) (x1x¯2x¯3) (x1x¯2x3) (x1x2x¯3) x1x2x3). |
|||||||||||||||||||||
|
3 |
((x1 x2) x¯1) (x1 (x1x2)); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
((x1x2) x¯1) ((x1 x2) x¯2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(x3 x1) (( |
x2 x3 |
) x152); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
арэлементчисланекоторогоКНФконъюнкциялибодизъюнкция,аяíарКомент |
|||
èçúÄ |
|
леэякаявсяназываетс)ДНФ(ормойнормальной |
|
элементарчисланекоторогодизъюнкциялибоонъюнкция,юнктивнойаяментар |
|||
ê íûõ |
. ъюнкций |
|
|
äíûõ |
|
. |
-называ)СКНФ(ормойнормальной |
вершеннойоÑ |
|||
всякется |
ÊÍÔ, |
всяккоторойдизъюнкциюэлементарную |
|
переменнетсцлпеременнèюбояСовершеннойэтойвсееякотрицание,àÿàÿСКНФДНФ,либолибо.ееееконъюнктивнойдизъюнктивнойвхотротраждуюаждуюцаниецаниеэакуюлементвхвхоо-нормальнойдитдитлибоарнуюровноровнодругуюконъюнкцию1 раз,эормойлементесли(арнуюСДНФэткоторойпеременнаяпеременнаядизъюнк)называвсяк- |
|||
етснекцлèюбояотораяВсДляэтойееееякмножитотрицание,произвоаяСКНФперембуëåâà.льлемнвхая,ункция,.эëибоементвкототрицаниеакуюарнойличная-либоконъюнкцииотдругуюнеконстоторойанты,раз,элементвспеременной)1 есякийимеетлиарнуюэтееединственныеэлементконъюнкназыва(т.е--. |
|||||||||||||||
ÑÄÍÔ |
|
ДНФлькнескиметьможетноСКНФ, |
ÊÍÔ. |
|
|
||||||||||
соответствующиеяютс |
образом:ледующимвыбираютсонъюнкциикэлементарные |
||||||||||||||
|
|
ятсСтро |
ÑÊÍÔ |
исспособПервыйспособами.двумяСДНФ |
|||||||||||
|
льзование |
СДНФДля.истинностиаблиц |
|
строкитея |
ê |
||||||||||
знаимеетункциярыхпо |
|
äëÿè1 |
изаждой |
-авлясостстрокаких |
|||||||||||
1.значениеимеетпеременнаянекотораячениестрокрассматриваемойвесли |
|||||||||||||||
âòî |
|
|
|
âñò |
|
|
жеслипеременную,саму |
|
ýòà |
|
|
||||
кавляютто0,ниезначимеет |
|
переменнаяотрицаниевставляют |
|||||||||||||
îé. |
лементарэойстроквыбранныхизаждойонъюнкциюсоставленныец,åНаконъюнкцию |
||||||||||||||
êûåí |
|
|
|
|
дизъюнкции.операциейсобоймеждудля |
|
|||||||||
|
|
аждой для 0 онъюнкции |
|
строки аких |
ункция составляютс |
|
|
||||||||
нт элем чение |
|
соединяютс дизъюнкции |
òå |
|
если образом: |
|
- рассматривае |
||||||||
òî |
|
выбираютсСКНФДля |
|
|
которыхв |
|
|
|
знаимеет |
||||||
|
строк |
-онец,Наксоответствующиепеременной.эойотрицаниетþвставля |
|||||||||||||
|
еменнуðпесамуавляют |
1,значениеимеетпеременнаяэтажеслиледующим, |
|||||||||||||
ìîé |
|
то0.значениеимеетпеременнаяаянекотоарные |
онъюнкцию |
||||||||||||
авлен |
|
ажддляъюнкциюые |
дизъюнкцииэлементарныестроквыбранныхиз |
||||||||||||
конъюнкции.операциейсобоймеждуяоединяютсâñò |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
Второй |
использованиеэто |
преобразований. |
Вначале исхспособдную ормудистрибутивнымилуупрощаютравносильныхполуч ют лучаютрмунад {, |
||
тивняспо,лученную}Ес.ю,Затем,ловиили буболеванормальнуюзадаконъюнктивнуюльзучи)ункцияясьнаконец,ормунормальнуюисподоявляетссовершеннойльзузаксвойстваонормуми,.(смотркпоонстантя, доподизъюнктребулняютет-
íèå |
f (x˜n) íå |
|
|
|
-выражетопротиворечием,я |
|||||||||
n |
|
v1 |
|
|
v2 |
|
|
vN−1 |
|
|
|
vN |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
асредственноназываетсункциизатемСтроитсдляяпоееялученнуюпоf (x˜ ) совершенной=кСИНФаждогоопределениюледующимконкретногоорму(импликативнойx (полиномомобщийдстобразомнабора(x âидляютСИНФ.(. . нормальной.çíà(Âíàx ÷åíèчаледляйя xданнойсостиспеременных)ормой.авляютдной. .))).ормубу(СИНФ.левойнепоПрилы,-). |
||||||||||||||
|
( 1, →2, N ) |
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
− |
1 |
|
|
n |
|
|
V V ...,V |
|
àá |
истинности.цей |
|
|
|
|
||||||
воспользоватьсяжноэтом |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
F (V1,V2,...,VN )=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2модулюпоПолиномом |
|
|
|
|
|
Æ ãàëê íà) îò n переменных |
||||||||
x1, x2, . . . , xn |
следующимсываетсяèзапотороеквыражение,называется |
|||||||||||||
образом: |
1 M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подмножествамx x . . . x , |
|
|
|
|||||||
ствагде сумма берется по всевозможнымa |
-множеизиндексов |
|||||||||||||
|
|
|
i1,i2 |
,. .,iS |
i1 |
i2 |
iS |
|
|
|
|
|
||
|
i ,i2, ..,iS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждая |
модулюпополиномомзаданамоонкретнойбытьункция.ва |
|||||||||||||
1, 2, . . . ,áó,ën ai1...iS B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
построенэêèç2онкретныхи апритомоэПоициентовлиномобщемициентовдвумяединнаборов.ЖегвидеПоспоственнымалкинаэт.îЗатем,знамубамиченийспособудля.образомПервыйкпеременных,льзувна.способчалеязначесостбуíлевойахиявтометоавляетсдятункцииднеоункциипояïочередиределенныхлиномнамокаждомжкетЖегаждыйбытьалкизо-
|
ПрипостроитьпостроенииСДНФ.полинома.ЗатемвыражЖегэтойалкинаα ормуле операцымспособомю вначале |
|
ä |
юоперацнанитьзам |
нужно всю- |
нныхпокóжноВснеормякиспоая.лучитсВльзоватьбусвязилевапосдэтимункциялиномстрибутивныйвозник,Жегимееталкинаает46нескениепроблемазак.льконна3.3x¯ выраждизъюнктнахсвойствоожденияенèевных5.дизъюнктив7до.нормальНактехонец,порx 1 - |
||
,антимпликДизъюнктивнаяпростых |
азываетсормальная |
всехдизъюнкциейяявляющаясорма, |
||
|
-нормальдизъюнктивнойсокращеннойпостроенияАлгоритм |
|||
|
.ормой |
|
|
|
ормы.мальной |
|
(ìî |
|
|
|
|
|
-котороежновзятьсводитссовершеннуюяберуткпреобразованекоторуюконъ |
|
ниююнктивнуюонъюнктив21вида.. ПроизвоДляданнойормальнуюдятраскрытиебумальнуюлевойорму)ункциискорму.обок, f x1, x2, . . . , xn) |
||||
|
3. В полученном выражении совершают→ . |
видапреобразования |
||
|
|
K1K2 K1 = K1, |
|
|
меннотюнктивнго,ТВрыеогурездаляютдаакликвидируютяльнормальнто-либоателькэлемэтихпåнтременнуюK1 K1 = K1, |
|
|||
|
|
-ункцияк.онъюнкции,ееотрицаниедублирующиеполучаетскоторые.ясокращеннаямнодержителиато.дновреКромедизъормалощаемыеогяпогардапреобразований |
||
ормоймальной |
|
f (x˜n) обладает дизъюнктивной нор |
||
ствотерпретнойэ Этодизъюнктивнойарнымцииутвер.Снаждениеонъюнкциямчанормальдляпозводаляетíэтойной Nf интервалами, |
||||
|
D |
÷òî îé, àê |
|
|
|
|
D = K1 K2 . . . Ks |
||
равносильт |
Nf = NK1 NK2 . . . NKS , |
|||
ормойнормальнойдизъюнктивнойжункцииествак.лементог.дапредставлениеопокрытиюбулевоймно |
||||
|
|
|
-мноормыойжин.помощьюункциичунахнормальнойсостгеометрическсоответствующимижденияавляетссокращенярешатьбудизъюнктивнойормылевойествазада |
|
ïî |
Nf |
|
|
|
(рангНаккубаонеци...дизъюнкциямиормаграниавляютсонъюнкциияементоварныеазываетсдизъюнктивнаястроонъюнкцииэтогоятсменьше51мноэлементжобъединяютснормальнаячисарныеласостнеизвестных)ë.акЗатемяправилосокращеннаяэлементгранямэавленнымксостПорыхлучаетсстроенные |
||||
выражениеется |
|
|
|
|
|
|
Nf |
интервалами |
NK1 , NK2 , . . . , NKS |
-называ |
||||||||||||||||||||
рангаинтерваломяИнтервалназываетс |
n. |
|
|
|
|
|
гранью.ерной |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Покрытиемr-гомнорангжестваявляется (n − r)- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ò.å. |
представление |
|
Nf |
= NK1 NK2 . . . NKS , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
когда |
|
|
è. .только, N . |
множества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Nf |
â |
множествобъединениявиде |
||||||||||||||||||||
N |
|
,ТогдаN , . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ункцияогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
K1 |
|
K2 |
|
KS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ормоймальной |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x˜n) обладает дизъюнктивной нор- |
|||||||||||||||||||||
.ò |
ормойнормальнойдизъюнктивнойункциилевойбуавлениепредст. |
|||||||||||||||||||||||||||||
ý |
|
|
|
этойонъюнкциямарным |
Nf |
интервалами, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
÷òî àêîé, ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = K1 K2 . . . Ks |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K , K , . . . , Kинтервалы, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nf = NK1 NK2 |
. . . NKS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
NчислоN |
|
|
. . . N |
|
покрытияангомпокрытие.некоторое |
||||||||||||||||||||
равносильлементПокрытиемпокрытиюмножестваества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ормы. нормальнойсоответствующими дизъюнктивной |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nf |
вида выражение всякое называется |
|||||||||||||||
þùèåN |
|
|
|
|
|
|
|
ãäå |
|
|
|
|
, . . . .N |
|
|
|
|
|
|
|
-тветству со |
|||||||||
элементдизъюнктивнуюарнымонъюнкциямN . . . N , N , N |
KS |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
K1 |
|
|
K2 |
|
|
KS |
|
|
|
K1 |
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
екоторую |
|
|
|
|
|
|
|
|
î ункцииоторыеормунормальную |
авляют |
||||||||||||||||||||
|
|
üÏóñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x˜n). |
|
|
|
|
|||
сяназывае |
K1 |
|
K2 |
|
|
|
KS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
|
ri, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
интервалаанг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ормыногоормальноймножестваí |
|||||||||||||
|
|
|
свестиьзадаэквивалентнойчуминимизациизададизъюнктивнойче:найтидлядаN . |
|||||||||||||||||||||||||||
можноТепеi покрытие |
|
|
|
|
|
KI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
принадлежащимименьшимнтервалами,.èнабылгИнтервалеготакоера |
|
|
|
множеству, |
|
|
Nf |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этому |
|
|
|
чтобы |
||||
носительно |
NK |
всодержащийся |
Nf |
-(отмаксимальнымназывается |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Nf ), если не существу т и |
тервала NK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
интерваларанг1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
ò |
÷òî:îãî, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
NK′ |
ãíðàåменьш |
интервала |
NK ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Конъюнкция′ |
Nf . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
NK |
NK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
множества |
|
|
|
K, |
нтервалумаксимальномусоответствующая |
NK |
||||||||||||||||||||||||
|
|
Èç |
далитьимпликанельзя50простойпростой,называетсимпликанты |
.жителяиèмноункцдногойт |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Nf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
||
-дчтотруя,гораздооказываетсвидаПричем.простоговидаормупростогоболеенормальнуюормнормальныхайтиых |
||||||||
каждойдлядизъюнктивнуютого,Для |
быломожноункциибулевой |
|||||||
.ормунормальнуюдизъюнктивнуюсовершеннуюпостроитьчемее,í |
||||||||
дналионкретнойявляетседелить,чтобычноднозна |
|
нормальная |
||||||
индекпонятиедизъюнктивнаяиспользуетсая,другчемпростой,болееорма |
||||||||
. |
Ä |
-простосамииндекормынормальнойдизъюнктивнойданной |
||||||
òû |
я:являютс |
|
|
|
|
|||
|
|
|
LÁ(K) |
переменных;букв |
|
|
|
|
|
|
|
LÊ(K) |
элементдизъюнктивныхарныхонъюнкций; |
|
|||
булевыхЧLÎ(ñëîK)ункцийвсевозмочислоотжныхсимволов отрицания. |
всехдляормнормальных |
|||||||
|
|
|
зъюнктивная Д |
орманормальная |
23 |
N . |
|
|
|
|
|
|
|
n переменных равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K, реализующая ункцию |
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
минимальной |
|
|
|
|
|
|
|
||
fдизъюнктивной(x ) имеющаянорминимальныйальнойормойиндекотносительноназываетсL(K) |
||||||||
относительноВдальнейшем |
инимальную дизъюнктивную Kнормальную. орму |
|||||||
нойормунормальнойсительноLБ(Kормой,) индекбу саназыватьминимальнуюпростодизъюнктивнуюминимальной дизъюнктивнормальную- |
||||||||
етсрыймальнормяПуКонечно,оченьтристьбувыбораетормойтрупостроениясуществудоемксреди.лементнихет.всехпростейшийминимальныхвозмоLК(K)жныхалгоритмкратчайшей.Однакдизъюнктивныхполногоакдизъюнктивнойойалгоритмперебора,нормальныхявлякото- |
||||||||
K произвольная дизъюнктивная нормальная орма. Пусть
-арнымидизъюнктивнаяонъюнкэлементостальнымиобразованнаяорма,альнаяиизìöîðÿ |
||||||||
M некоторая э |
арная |
онъюнкция |
Kèç K′ |
|
|
|||
íèе остальных множителейσ |
èç |
|
|
|
M è M ′ |
произведе |
||
K. Пусть xi |
I некоторый множитель |
|
|
|||||
|
|
M . Допустим, что выполняютс |
равенства |
|||||
оп рацииI. Опер:осуществляетсация даленияперехэлементарнойσ .дТотогда моконъюнкциижно рассмотретьВрезуледующиельдитатеэтой2 |
||||||||
K = K′ M K = K′ xi |
I M ′ |
|
|
|
|
|
||
конъюнкцииэлементарнойåíè |
K к K′. При этом происопределенохудале- |
|||||||
когтогда,только |
|
|
M . Это преобразование |
|
тогда |
|||
уОперацияII. |
47.множителя |
-осуоперацииэтойрезультатеВ |
||||||
|
K = K′ |
|
|
|
|
|
|
|
xσI . Ýòî |
определено тогда |
огдактогда,льк |
|
жителя |
|
- мно упроститьдаление хтодит проис этом При . |
|
ществляетсДизъюнктивнаяперехпреобразованиедоткK K′ M ′ |
|
|
|
i |
|
|
|
íïKîункцииймощи1′ АлгорM.ормойВыбпераций′ = Kèраетстм(относит.упрощенияI некнормальнаяIIльноотораяназываетсоперацийдизъюняорма,тупикIêòèII)ковнаяоторуювной.дизъюнктивнойнормальнаянормальнойнельзя орманормальормыпридля- |
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образом,дизъюнктивнуюаждойормы32.. .СлеваОсуществляетсэвыбираетслементнаправоарнойнормальнуюf (x˜ ) онъюнкциипросматриваюткчествеопределеннаяконъюнкцииупоризвоисядх днойаленияитсрмучение.запись.упросмотрПрощеорэлементядочениедизъюнктивнойвсегоарныхзаписимновзятьжителейонъюнкцийдизъюнктивнойсовершеннуюнормаль.Таким |
||||||||||||||
Дляормы.нормальной |
энойчере |
карной |
снача |
à |
||||||||||
|
оперприменить |
|
|
äó |
|
ëЕс.онъюнкцииэлементарной |
||||||||
тодается,непробуютэто |
|
|
|
всенаправо)(слевапорядкелементтомв |
||||||||||
этойножители |
|
|
аждогокдля |
применитьпробуютнихиз |
||||||||||
.онъюнкциикрнойàìåíò |
|
|
|
|
|
|
-элеследующей |
|||||||
переходятэтогоПослемножителя.удаленияциюопер |
||||||||||||||
операциюьприменипросматриваютбуют |
эудаления |
онъюнкции,ементарной |
(ò |
îå |
||||||||||
кэлементарнойпоследнейобработку4.Закончив |
åùå |
àç |
||||||||||||
|
|
|
|
лученнуюпо |
|
|
|
|
проиорму |
|||||
-акихквэтапенормальнуюпредыдущналиесаты,резульдастжновозмодействие |
||||||||||||||
элибо |
|
удалениярациюåопприменитьдалосьдизъюнктивнуюконъюнкцияхарных |
||||||||||||
.я)житемно |
|
|
|
зависиталгорит |
исходнойупорядочения |
|||||||||
атьлементезу |
|
|
||||||||||||
Ä |
|
|
татерезульвннаяполучорма,нормальнаявндействия |
|
|
|||||||||
алгор я менен дизъюнктивной |
òìà |
|
|
ормой |
|
- яв ормы, нормальной |
||||||||
тупиковой ляется |
|
|
I операций (относительно |
|
. II) |
|||||||||
|
|
|
|
û. ì ор нормальной |
|
|
|
|
|
|
||||
удалеОперацию |
|
применитьможноонъюнкциидизъюнктивнойэлементарной |
||||||||||||
житель:упрощениянормальнойменьшийестьесли |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ществутивностиетóвозмоОперациюжностьдляудалениядвухконъюнкциймножителя48применитьможноприменитьзакондистрибесли |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x1x2x3 x2x3 |
= x2x3. |
|
|
|
|
|||
:сторонуобратнуюв |
|
|
|
|
||
-ормымноядоупотыдастперебравпросмотрена,калгоритмаонъюнкций,изрезувариантовльвсеатызависитвозмонужно.акуказанныйжныеотупорсделатьвыборавариантыядоченияалоритм,вторичныйупорто,жноарныхрабаждомуормарый,резукакэлементльвозмоизвсяатних,ктупикîаждойтприменивгîтр,аклевсеолькутсамих |
||||||
ñê î åíèÿ÷Пржителейченияпросмядо |
x1x¯2x3 x¯1x¯2x3 |
= (x1 x¯1)x¯2x3 |
= 1 · x¯2x3 = x¯2x3. |
|
||
имполу |
возможные |
îâûå |
|
нормальные |
. |
|
|
n |
-тавявляетсянеотораяункция,булевадизъюнктивныенекоторая |
||||
тологиейПусть.Пустьf (x˜ ) |
||||||
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
-(отдляормаоеункцииупорядочениедизъюнктивнойормыетнормальнаяаковая.Тнормальнойогдизъюнктивнаядасуществу |
||||
сн вершеннойсительноеепроизвооперацийльнаядизъюнктивнойтупIII) K = |
Mi |
|
|
|||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
упрощенияприполучаетсдящеммощиалгоритмарого,îðìû,ò |
n |
|
||||
fнормальнойизк(x˜ ) |
||||||
дизъюнктивнойальнуюМноПрижпоествоормудхрмальной(относительнормальнойKвыборе.ормыупорормыоперацийпозвоядочения,минимальнуюляетIалгоритмII)по.лучитьдизъюнктивнуюупрощениясовершеннойдизънор- |
||||||
Пустькуба.мерного |
En можно |
рассматривать |
вершинмножествокак |
n |
||
|
si1 , si2 , . . . , siR иксированная система чисел из множества |
|||||
{0, 1}. Множество всех вершин n-мерного куба (a1, a2, . . . , an) таких, что
сяназывае |
|
ai1 = si1 , |
|
ai2 |
= si2 , . . . |
aiR |
= siR , |
|
||||||
Ïóñòü (n n− r)-мерной гранью. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
множествоСоставимункция.булеванекоторая |
Nf |
|||||||||||
|
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
следующимf (x˜ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(a , a , . . . , a ) |
|
N |
|
когдатогдаединственнымтолькотогда, |
||||||
жество |
|
|
. |
1 |
2 |
|
|
n n. |
|
f |
|
-мноизвестноесличто |
||
f (a1, a2, . . . , an) = 1 |
Тогда N |
|
E |
Очевидно, |
|
|
||||||||
|
|
|
n f |
|
|
|
|
|
|
|
||||
множителейобразом.еечислоконъюнкцииможнопостроитьназываетсякциюарнойулементжество,тоэангомМ |
||||||||||||||
Nf |
|
|
|
f (x˜ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
онъюнкции к |
|
NK , |
оторое |
соответству |
элементарнойнекоторой |
|||||||||
|
|
|
K(x1, x2, . . . , xn) = xa1 xa2 . . . xaR |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
i1 |
i2 |
iR |
|
|