Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусско-Российский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

24_В.В.Аниськов, И.В.Близнец - Дискретная математика. Курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

659.25 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

,житхемудерсо,актнуюконтледовательни,построитьле3)орму

.упрощеннойактоветонткчислосоответствуотораяменьшеек

ешать

.истинностицыаблаютпомогчизада

льзуютсиспосхемыКонтактные

âî

схемыустройствах:

..длятитиповразличныхемысмногихуправляющиелектронныеэтиголосования,

хПонятие7.3.

элементовункциональныхиз

длячисления

зываезадаакрешитьчастности,способныопераций,метическихари

емыктныхконтТеория

решениипринесостоятельнойоказывается

лееБо.задаложныхболее

ви,задачиложные

âû÷è

к у выходом, дним ментом преобразователя дискретного модель ая матическ

преобразования время торого

ïî ìàëî

- î длительн называетс сравнению

.элементовыхональункцизхемыые

матея

Функцио7.3.Определение

эьным

сначалалимдОпр

изхемысигнала

сигнала.стью

лементовункциональныхмножествороеструктуруонечноенекоттсяåðåÁ1.

циональных элементов. Каждый элемент имеетF = F1, F2, . . . , Fk

-óíê

сетьлогическаяСтрои.Построеня.(рис2.7)

ni âõ äîâ

выхдоводин

тором имеется некоторое число Σ, представляющая собой

бъект

вх(рисодома). 8). .иОднавых изодом,лированнаяназываетсцепиосуществляетсвершина,тривиальнойn вх довкотораяипонеклогическойледующимотороеявляетсчисясетьюправилам:одновременноî p âûõ(ðèñ. 9).

ÐÈÑ. 7	80	ÐÈÑ. 9
	ÐÈÑ. 8

1)	T äåð âî;
2)	путем;единственнымсвязаныршиныíåлюбыевершин
3)	e T	ãðà T связен,	T \ e не связен;
любых4)	грдвуха T	содержит циклов, но гра T +XY содержит цикл для
ми. Теорема 2.4. СвязанныйграX Y àãðàT которыена не являются инцидентны-
тогдаОпределениетолькотогда, когда он содержитвершинахn				деревомявляется
		Пусть2.22.	n − 1 число ребер.
вается			r Z+ \ {0, 1}. ðà G = (V, E) íàçû-
что каждоеr-дольнымребро имеетесли мносвоижкествоонцевыемовершиныжноразбитьвразныхнаV					rклассахклассов.Естак,ли
r = 2,	.двудольнымназываетсяграто

2.23.Определение		3-ДОЛЬНЫЙ ГРАФ
ðиразныховымазтолько. ОпределениеТеоремарациклом,классовтназываетсгда,2.ессмежны,5когда.ли(Т2я.онеорема24эйонпро.ërназываетсЗамкнутыймостерне-дохК¼нига)вым,содержитльныйдитчерезесягралиполныммаршрутронкацикловаждоевсоявляетсякдеротором. житребронечетнойгралюбыеэйлеровыйдвуеграназываетсдольнымдлиныадвезнаменитойровновершиныцикл.ятогдаэйледин.-
	ибыыгра	решенииприЭйлеромкрыты
К¼нигсбергскихЭйлеровызадачи		àõ.
Ò	толькотогдаэйлеровымявляетсяграСвязный2.6.
гравершинакаждаякогеорематогда,			степень.четнуюимеет				-
2.25.Определение			оморграилиомгра
		29		2	(ãäå (V )	2 множество
зывается пара (V, R), гдеОриентированнымV 6= , R (V )

	ГРАФ Ля РЕШЕНИя ЗАДАчИ
всех возможных О К¸НИГСБупорядоченныхÐÃÑÊ Х МОСТАХ2-х элем нтных выборок из множества
V.стваЭлементы множества V называютсориентированныя верши			множентыэлеа,		-
п оскПриости),называютсгеометрическдуга,яR дугамитораяом изображсоединяетили ниивершинуграа		.нствемиàребрпрострìè		íà(èëè
отрезкяетсяëâ	стрелкой, направленной отv		с вершиной w	предст	-
		v ê w.

-дизъотрицаетихилиилисоответству(которымпеременныхконтактовсоединениепропозициональныхнекоторыхпараллельное4)юнкция

.íèé)

контактнойэлементоввышеопределенныхизкаждыйлькуПоск

жномоемыс

моихтоункцию,булевунекоторуюкак

тоипеременнымипропозициональныминекоторымирассматриватьотождествитьо

.6)(рис.хемсных

-жслоболеепостроениевозможно,суперпозициипринципуогласногда,

построенныхМеждумнонадаждойествомбазисомвсехактнойонтактныхÐÈÑ. 6

ункциях,схемвзаимновсехбулевых

êîíò ,

образом,

длякции, ветствие:

, сочевидноемыможно построитьднознанадчноебазисомсоот-

единственнуюлевйбу, , у ственнуюпостроеннойбул ву ункциюнадбазисоми,другой стороны,актныхдляаждой

определитькмоонтжноЗадаактногосчаормуупрощенияанализасинтезастройстваловиялировонтактнуюготь.. Какпостроитьледующиеботыхему.известнойизвестным.Тегоакимзадахчиемус.хсеме.ловиямконтдляактногоработымоконтжноледующихнекпостроитьстройстваоторогохем,
	сизсостоитупрощенияЗадача.	-ýò
актногоконтданногодляпостроитьианализазадачурешить1)пов:
ормулу;соответствующуюустройства
упроститьмаксимальноункций,булевыхдлязаконыиспользуя2)
ормулу;полученную	79

элементовункциональныхизСхемы7.
Дискретные7.1.				лектроннэв			õ
преобразователитехнике,электроннойсовременнойВ
называемыеакзанимаютособенностиместооеважустройствах,вычислительных
7.1.Определение	преобрДискретным			называется
преобразователи.дискретные
	сигналов,аборыдыазователемвхнаступающиеп
доввыхидоввхчисломнекоторымобладаеткотороево,стройс					ê	ïðå
оторогонекизберутсясигналовНаборыды.сигналов,выхнаборыступающиеп
множества.гообразун		å			-квонеч
актрассматриватьбудемМы
еобразованияпвременемторых		чкВечь.преобразователипренеможногнала					å
бусигналыберутсоторогозмножества			îòâесмножрассматриватьм

{ываетс.Тяехническоченьпростой,ая0, 1} реализацияпосколькуткихзнадискретныечениетныхсигналапреобразователей ока

аласигчениезнаом,игналабымсоствить			0 можно отожде
говысокческизадатипаåомйразлегкууðспеховнеаботкиосуществимоом. Крсправляютск меторыхтого,ввидунастосопохранлупровоещеящеениеодноговремяонденсаторуиниковыермациинахждествления:1 оприборы,дясильнымсигналахдосттехно.сигнСаточнологиаккой
кразряженномуполностьюэквивалентен			сигнала	0
ляютсностьюОпределенНаибоязарКонтактныеяжающиепростойенному. схемыразновидностью7.2. Конт. актныедискретныхемы преобразователей1 ïîÿâ-
следующизщая		состосхема,называетсясхемойКонтактной7.2.
		тов:элемех
позициональные		переменные);	некоторые
1)	замык	контакты
2)	-пронекотрицаниясоответствуют(которымнтактыкающиеразмык
3)	соответствует(которымконтактовединениеследовательноепос
торых	переменных);ропозициональных
-отрицаихилипеременныхпропозициональныхнекоторыхконъюнкция
íèé);		78

3.Булевы ункции и их свойства

3.1.Элементарные булевы ункции

= {u1, u2, . . . , um, . . .}.

записьНапример,

f (u1, u2, . . . , un

буозначает

булевойАргументыОпределениеункциейбулевыхили3.1. Функцияункциейункцийалгебрыfберутсялогикииз,некдеоторого.: B → B B = {0множназываетсествая, 1}

x1, x2, . . . , xn некоторые аргументы (переменные)

-мнооторыежиз

U =

зналевучатьункциюбуквмиот n аргументов. Элементы из множества U буквыдемобо-

элементы.различные

азличные

ïðè

этомПуобознастьчают x1, x2, . . . , xn, y1

, y2, . . . , yn, x, y, z.

ñòâà U.

значениепринимаетпеременныхэтихизкаждаяТогда

являются{0, 1}упор.Поэтомуядоченнымиговорят наборах значений переменных, к

множестваиз

n-элементными выборками с возвращением

Переме

{0å, 1}.

противное)

пропозициоЕсли ííû x1, x2, . . . , xn

. ìè

или пропозициональными еще называют

P (n)

отункцийбулевыхвсехмножествочимобозна

ÿ ð

выборкаf (x1,çx2, . . . xn булева

ункциязначение

- некото

(a1

, a2, . . . , an)

áîðå à í

B2, òî f (a1, a2, . . . , an) åñòü

на ункции этой

определено наборе указанном на значение это если. через,и (можОбознаетбытьчим

(a1, a2

, . . . , an)

,ункций

через

P2 множество всех всюду определенных булевых

n аргумБудемнтовписать(n > 1).

-ввексипомощьюназыватьтаблицыэтовыражвкениеоторойзадавать.можноаргумента

торнымвыхБулевузаданиемункциюx˜ = (x1, x2, . . . , xn)

âà

переменных,значенийнаборывозможныевсестоятстолбцах

êïå.ременныхn + 1 столбцепринятознараспочениялагсамойать31тбуаклевойназываемомункцииестественном.Наборызнапорченийяд-

	x1	x2		x3				· · ·		xn−2		xn−1		xn	f (˜xn)
	0	0		0			· · ·			0		0		0	a1
	0	0		0			· · ·			0		0		1	a2
							.
	0	0		0			· · ·			0		1		0	a3
	· · ·	· · ·		· · ·			· · ·			· · ·		· · ·		· · ·	· · ·
	· · ·	· · ·		· · ·			..			· · ·		· · ·		· · ·	· · ·
	1	1		1			· · ·			1		0		1	a2n −2
	1	1		1			· · ·			1		1		0	a2n −1
	1	1		1			· · ·			1		1		1	a2
ассмотрим	пример			конкретной						булевой				ункции отn 3-		аргументов.х

						x1			x2	x3	f (˜x3)
						0			0	0	1
						0			0	1	1

						0			1	0	0
						0			1	1	1
						1			0	0	0

						1			0	1	1
						1			1	0	1
виспоеункциипозвоСоглашениеляет.Так,					1				рассмотренномльзоватьзаданиибозналееченийпримере,компактноепеременныхвекторноеестественномзаданиебупорлевойяд1 1 0 -
			2								ñòè),
													3				îò
Теорема 3.1 (О числе различныхf (˜xбулевых= (11010110)ункций.																	îò
. аргументов.)																	N
	\|P2(n)\| = 22
возвращениемДоказательствоиз двух.элементовЧисn . ло всевпозмож ых упорядоченных выборок с
6)ныхтеоремыупядоченных1.1,равнострок						аблицы истиннn-элементов сог(т.ласно.числоутâерсевозмождению
ïíëèìîîалучим,гáîженровмноеезнадинжчтоествачениеченийизчисс.лучаевлоПоэтомупереэтойразличныхnенныхстрок.,либоДляопятьесновакбуравноаждойэтойприменивлевыхпроис0строк.строкиСледовательункцийхутвердитункцияаблждениевыборотцыо,имеетизистиндля6)двухэтеоремыкзíаждогоостичениелементвоз1.из1,1,--

n аргументов равно

22n . ОпределениеТео ма доказана3.2. Булева ункция
отзависитно	ременной					f (x1, x2, . . . , xn) существен
наборйк			xi (i		=	1, 2, . . . , n),	существуетсли		- à
(a , a , . . . , a		, a	i+1	, . . . ,32a )		значений пåременных x		, x	, . . .
1 2	i−1		i+1		n		1	2

следующиеТеоремасвойства:6.2. Для любой ункции k-значной логики имеют место
1	_
f (˜xn) =		Kx˜f (˜xn)					(6.1)
σ ,σ2,...,σn
1	X
f (˜xn) =		Cx˜f (˜xn)			(mod k)		2)
σ ,σ2,...,σn					x˜ èç En.
1	^		f		x˜ èç En.
n	ïî âñåìD		f	n			3)
Операции здесьfберутся(˜x ) =	ïî âñåìD		наборам(˜x )				3)
		x˜
дизъюнктивной,
σ ,σ2		...,σn
вой,Правыевторой частитретьейравенствормами(6.1)предст(6.3)авленияназываютсункцийясоответственноk							- ïåð
ункцийдляобразом,Такимки.						k-значной логи
ункций.буаналогичнолевыхжормамения,нойразло		k-значнойконъюнктивнойлогикисуществуютиимпликспособыатив-

ведливыСвойствоследующие6.2. Дляутверждения:элементарных ункций k-значной логики спра-
	Iτ +1(x) . . . Ik 1(x),
	I0(x) I1(x) . . . Iτ −1(x)
1.Iσ(Iτ (x)) =			−
1.Iσ(Iτ (x)) =		σ = 0;

	åñëè

		åñëè
		åñëè
	0,		0 < σ < k		1;
	Iτ	(x), åñëè σ = k −			1.
				−

2.Iσ(x1 x2) = Iσ(x1) (Iσ(x2) Iσ+1(x2) . . . Ik−1(x2))

Iσ(x2) (Iσ(x1) Iσ+1(x + 1) . . . Ik−1(x1));

3.Iσ(x1 x2) = Iσ(x1) (I0(x2) I1(x2) . . . Iσ(x2))

Iσ(x2) (I0(x1) I1(x1) . . . Iσ(x1));

4.x = 1 I1(x) 2 I2(x) . . . (k − 1) Ik−1(x);

5.x1 = x1 (I0(x2) I1(x2) . . . Ik−1(x2));

	Iσ (x) Iτ	(x) = (0,			свойства,		σ = τ .
					åñëè
				Iσ(x)			σ = τ ,
							6
	(k − 1) x = x; (k − 1) x = k − 1;
ций Заме ание 6.3. ассмотренные0 x = 0; 0 x = x.							ункдлясправедливые
приющихтом,kчто-бузналевых÷этиной свойствалогикиункциймогут.являютсяОднакослужитьэтобобщениемпроисходитоснованиемсвойствневсегдапредпсоответству.ложениюНапример,о-
k > 3, получаем следующие утверждения:
	(3.1) (3.3)max(x1, x2)			76= min(x		1, x2).
	( x) = x;					x 6= x;
	max(x1, x2) = min( x1, x2);
равенствИз
			теорема.следующаявытекает

являетс

. . . , xi−1, xi+1, . . . , xn, ÷òî

f (a1, a2, . . . , ai−1, 0, ai+1, . . . an) 6=

строк,

переменная Эта

f (a1, a2, . . . , ai−1, 1, ai+1, . . an).

неиктивнойотораяПеременнаяункция.иктивнойлевасущественнойназываетспеременнаяПустьбу.3.называетс3существеннойОпределение

некоторогодля

f (˜xn) задана

иаблично

i = 1, nýòîé

ютнойнаборам.Вычеркивание

èç

-соответствупеременеекоторыевсехявляетсяаблицы

Операция,

(a1, a−2, . . . , ai−1, ai+1, . .

(a1, a2, . . , ai−1 1 ai+1

. . . , an), ãäå

.è. . , an)

íåê

ûå

наборы

переменных

x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn

переменная стоит

îì îòîð стоназываетслбца

xi,

булеву задает

ункцию

èå

отиктивнойудалениемя

-вычеркиваТакоепеременных.переменной

f1(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . , xn)

n − 1

введенияждениеутвероперации.обратнаяациейбуполевылученаоперременныхбытьДве..5пледующее4..33ойутивныхых,мыназываетсмотожрассмотрелиêнихльиднапеременизоЗамечаниеПоскОпределениеопеременныхвведениялиной

-иктивиктив.,илиеспеременнойавнымидалениярзависящихпутемункций.увведенияочевиднымдаленияуиктивнойункцииизбудругой,даленияоперацииявляетсназываютс

левыхмножествоЛюбое3.1.		f1, f2, . . . , fs
таблицбуункцийлевымиследующихпомощьюсЭлементарнымикак..3.6заданныеассматриватьперменныхункции,жеОпределениеяютсиможнотех
	-однихназываот.ункциями

x		x	0	1
0	1		0	1
1	0		0	1

x	y	x y	x y	x y	x y	x y
0	0	0	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	0	1

1	1	1	1	1	1	0

x	;ункциятождественная
x¯	;отрицание
0	0
1	константа 1;
x y
x y ä çъюнкция;
x y èмпликация ( x посылка33		, y заключение);

x y

;нцияэквивал

xВместоy сумма по модулю

Через3.2.x Свойстваy будем употреблятьэлементарныхвсюдубу, глевыхде возможно,ункцийзапись xy.

череза

F обозначим некоторое непустое множество булевых ункций,

-мнонадлы.ормуункцийиеэлементарныхопределебувых(Индуктивноеество6ж1.мноОпределениееством

булевых ункций). Каждая уíêöèÿ f (˜xn)

множестваиз

дизъюнкция,

эквиваленция,

называетсЕслия ормулой над F .

множества из

A1, A2, . . . , An

над ормулы

èëè

переменныеf (x1

x2, . . . , xn) F

над ормулой

, то выражение f (A1, A1 . . . , An)

называется

Пример 3.1F ..

è y (x z)

ормулы; x1 x2,

(x1 x2)

Есормулилы.не

x y

иормулынекоторые

f (A, B) F0

чтоговорят,то

ункции:лам

циями,двепозом,мооперации,вдунонолюжприменимыество2.AКромеотопрыепримененарацийэтихB тоаконъюнкция,лькжоперацийбулевойявляютсиспокоперацияднойалгебрыимпликябуэорëåáóìвойвхлевойентуация,ледяталгебреарнымиалгебрывзятиелементсуществуютбулевыми.отрицания:арныеТакимбусуммаобралункещевы--

операция: веннаятождес

записивместоИногда

выхобознакормуКакываетсункцияхчлние,либоалгебреокособенноазываетссуществуютотрицанийудобным,яприправилаетсостзакесочнавлениионA лиьзураскрытиястîтрицаниеетсаршинствамногояаблицзапись.Особеннопримескистинностипераций,бок:.Этояетсопределить((((удобнымяобозна.каквльшчениетбуаклеA îåé-

((((. Для операции правило раскрытия обок можно

) )

)

òàê:

) ) при) построении).

толькиспользуютсяАормулы

ункции

пишутпри,тоЕсли

толькиспользуютсяА.ормулы

ыеперемен

f1, f2, . . . fn

A[f1, f2, . . . fn]

построениивиспо.льзуютсяормуламиоторые.34кподФормуяеелы,3.7.орму,толыпишутназываютсОпределениеданной

, x2, . . . xn

A[x1, x2, . . . xn]

для ункций k-значной логики. Например, суперпозициями ункций из
P 0 являются следующие ункции для любой ункции f (˜xn):
k
Kx˜f (˜xn) = min(Ia1 (x1), Ia2 (x2), . . . , Ian (xn), f (a1, a2, . . . , an));
f	Cx˜f (˜xn) = Ja1 (x1) Ja2 (x2) . . . Jan (xn) f (a1, a2, . . . , an);
f	n
переменныеЕсли
Dx˜	(˜x ) = max( Ia1 (x1), Ia2 (x2), . . . , Ian (xn), f (a1, a2, . . . , an)),
			x1, x2, . . . , xn принимают значения набора (a1, a2, . . .
ãîãî,дующие равенства:(a1, a2, . . . , an)					набора (b1, b2, . . . , bn) то получаем сле
. . . an), то из приведенных выше равенств получим:
		Kx˜f (a1, a2, . . . , an) = Cx˜f (a1, a2, . . . , an) =
Если же пер менные= Df (a1, a2, . . . , an) = f (a1, a2, . . . , an).								(3.1)
			x˜
ототличного			x1, x2, . . . , xn		-друлибо-какогозначенияпринимают
		Kx˜f (b1, b2, . . . , bn) = Cx˜f (b1, b2, . . . , bn) = 0						(3.2)
			f	(b1, b2, . . . , bn) = k − 1.				(3.3)
6.1.Свойство			ÄëÿDx˜	(b1, b2, . . . , bn) = k − 1.				(3.3)
6.1.Свойство			ункцийэлементарных
ведливы1Ассоциативныеследующиеутверждения:законы:							k-значной логики спра-
2	x1 (x2 x3		(mod k)) (mod k) = (x1 x2				(mod k)) x3 (mod k));
	x1 + (x2 + x3 (mod k)) (mod k) = (x1 + x2 (mod k)) + x3
(mod k3));
41	min(min(x1, x2), x3) = min(x1, min(x2, x3));
законы:1Коммутативные
	max(max(x1, x2), x3) = max(x1, max(x2, x3));
2	x1 x2 = x2 x1;
3	x1 + x2 = x2 + x1;
42	min(x1, x2) = min(x2, x1);
а затемmax(x1x2)				àòü, что75вначале
законы: 1Дистрибутивные
	max(x1, x2) = max(x2 x1);
2	min(max(x1, x2), x3) = max(min(x1, x3), min(x2, x3));
3.3. max(min(x1, x2), x3) = min(max(x1, x3), max(x2, x3));
черезОбозначим							x3) (mod k).
	x1 (x2 + x3) (mod k) = (x1 x2) + (x1						x3) (mod k).
öèþ			x1 x2 операцию min(x1, x2), а через x1 x2					-опера
	считдизъюнкция.Будем.					конъюнкция,выполняется

		x	0			1	. . .		k − 1				x			x		Im(x)			Jm(x)
	0		0			1	. . .		k − 1			1				k − 1		0			0
	1		0			1	. . .		k − 1			2				k − 2		0			0
	2		0			1	. . .		k − 1			3				k − 3		0			0
	. . .		. . .			. . .	. . .		. . .		. . .					. . .		. . .			. . .

	m − 1		0			1	. . .		k − 1			m			k − m − 1			0			0
		m	0			1	. . .		k − 1	m + 1					k − m − 2			1			k − 1
	m + 1		0			1	. . .		k − 1	m + 2					k − m − 3			0			0
	. . .		. . .			. . .	. . .		. . .		. . .					. . .		. . .			. . .
	k − 2		0			1	. . .		k − 1		k − 1					1		0			0
	k − 1		0			1	. . .		k − 1			0				0		0			0

		x1			x2			min(x1, x2)			max(x1, x2)						x1 + x2		x1 x2
		0			0			0				0					0			0
		0			1			0				1					1			0

		0			2			0				2					2			0
		. . .			. . .			. . .				. . .					. . .			. . .
		0			k − 1			0						k − 1			k − 1			0
		1			0			0				1					1			0
		1			1			1				1					2			1
		. . .			. . .			. . .				. . .					. . .			. . .

		1			k − 1			1						k − 1			0			k − 1
		2				P 0.		0				2					2			0
		2			0			0				2					2			0
		2			1			1				2					3			2
		. . .			. . .			. . .				. . .					. . .			. . .
		k − 1		k − 2				k − 2						k − 2			k − 3			1
Множествоk − 1				k âñåõ− 1				элементарныхk − 1					kункций− 1				k − 2			0

черезобозначать																k-значной				будемлогики
6.2. еализацииk								ункций
Пусть						Основные равk-ìíîз аосильностичной лог ки ормулами.
чения,ки. АналогичнолегкF определитьнбуклевымотороепонятиенепуункциям,стоермуиспожлыествользунадя мноэквивалентныхункцийтежествомkразы-значнойобозналоги
жестваîмнизункцийсуперпозициимулы																					F , ïîä îð-
											74					F è				ормул

ормулеКаждой3.8.Определениеством

A(x1, x2, . . . xn)

-множенад

âèëó: äëÿF ункциюмоаждогоно сопостнабораавить булеву ункцию f (x1, x2, . . . , xn)

прапо

(a1, a2, . . . , an)

значений переменных x1, x2, . .

полагаетсяопределениюпоТакую

f (x1, x2, . . . , xn) = A(a1, a2, . . . , an).

. . . , xn

f (˜xn)

множестваизункцийсуперпозициейназывают

F . оворАссоциативныеятакж,что ормула

ункциюбулеву

A(x1, x2, . . . , xn) реализует некоторую

дляункциюЭту.

обозначатьбудем

Определен f (˜x )

Формулы3.9.

åñëè

следующиеназываютA B

,эквивалентными

,1Свойство

аведливыпишутСпрзаконы:.этом3.1

утверждения:

fA = fB

A = B

2 (x y) z = x (y z);

13 (x y) z = x (y z)

1Коммутативные(x y) z = x законы:(y z);

x y = y x

x y = y x;

1Дистрибутивные;x y = y x

законы:

x(y z) = xy xz;

x yz = (x y)(x z);

Свойстваx(y z) =перацийxy xz.

Закон двîйного отрицания:, ,

= x;

Законы3x Äåx =-Моргана:x x = x;

. 44

;

x y

. 5

Свойстваx y =

констант:.y

= 0; x x = 1; x x = 0;

x0 = 0; x 1 = 1; x 0 = x;

проводится

прямойДокпроверказательствоой испо. Äльзовоêàçààíòельствоием35 аблицвсехистинóòâåíðожденийñòè.

6x. 1Âûð= xажение; x 0 = x;

x 1 =

, , через , , :

x y = xy xy; x y = xy x y; x y = x y; x y = (x y)(x y)

Определение 3.10. Для n > 1 определимсумма;л ующие операции:

ïîä L

A некоторыхая ормуледующиелаA′

i=1 xi

= x1 x

. . . xn

произведение; ое

i=1 xi = x1 x

. . . xn

аялогическ

= x1

x . . . xn

i=1 xi

..3Свойство

Åñëè

заменепритормула,

вхождений

еенекоторая

B′

ая эквивалентна A′

A′ в ормулу A íà

ê,

, мы п лучим ормулу B,

эквивалентную

авила:спрдоказатьследующиелегкаведливысвойстваСпр.3.этого3мощьюп

свойства:

1. x xy = x

авилопогпоглощенияконъюнкции;

2. x(x y) = x

дизъюнкции;

=3.4.x Имеют местосклеивания;следующие равенства:

3Свойство. xy xy

0 x = 1;

1 x = x

x 0 =

тинностиxОпределениеДоказательство.1 = 1 3прово.11. Формудитсяласпомощью свойс ва 3.3 или таблиц ис-

чениелюбом наборе истиннистинностныхзнач нийназываетсеепеременныхяA тавтологиейона принимает,ес знапри-

Åñëè,ò1 . . fA = 1.

ОпределениеA автология,3.12. Фтормубудемла писать: |= A.

наборазнадлячениелюбого

значеA íазываетсийеепеременныхяпротиворечиемона принимает,если

Åñëè

...азательство,

fA = 0

ТеоремаA против3.2. Ф ðмуечие,ла то будем писать |= A.

|= A ÄîêB.

A равна

когдатогда,толькоитогда

Åñëè

A = B

òî

fA = fB

Значит,.

fA = fB

значенийнаборалюбого

äëÿ

Следовательно,переменных.

этому

|= fA fB

-ïîè

Åñëè|= A B.

и, значит,|= A B, то для любого набора значений переменных fA = fB

A = B.

ункцииДве6.6.Определение	k	логикизначной-	f1	è	f2
операций дних булевых. на равны ли для ес и , к ссмотренных à кункций авными Ввиду ютсчения зна справедливо ременных,
--пеназывапеременныхиктивныхзначенийункцийдалениянаборахдлятехвведенияжункций,

утверЗамечаниеждение.следующее6.2. Любоедовольномножествопростое, но ункцийвместе с темk-знаоченьчной важноелогики
f1, f2, . . . , fs										k-значной логики
f1, f2, . . . , fs
-зависяункцийункциямимножествоЭлементарнымипеременных.как.ассматривать7же.р6однихможнотехотОпределениещих
(первое3) обобщение отрицания)отрицание;									сдвигциклическийилиПоста
ункции: ледующие константы 1) называют										k-значной логики
2						0, 1, . . . , k − 1;
			= x + 1 (mod k
		x	= x + 1 (mod k
отрицания)4) x =; k − 1 − x отрицание Лукасевича (второе обобщение
5)	Im(x) =				(0,− 1,			x = m, ãäå 0 6 m 6 k − 1;
					k			x = m,
					(0,			6
ãäå	Jm(x) =				(0,		x = m, характеристическая ункция числа m,
					1,		x = m,
06)6 m 6 k − 1;								6
06)6 m 6 k − 1;
7	min(x1, x2)					;конъюнкцииобобщение
) 8	max(x1, x2)							;дизъюнкции
9)конъюнкции				;						обобщениевтороеили
	x1 x2 (mod k) умножение по модулю k
зададимкоторые								помощьюсложениеистинностных73по модулю kтаблиц,.
	x1 + x2 (mod kñ)							помощьюсложениеистинностных73по модулю kтаблиц,.

Òåî

доказана.ма

âûïî

xi òàêèõ,

÷òî a′

= a′′

существенно

зависитОпределениеот еременной6.2. Функция k-значной логики f (˜xn)

(1 6 i 6 n),

существует сли

набор акой

a1, a2, . . . ai−1, ai+1, . . . , an

значений перемåííûõ x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . .

.íîé. . , xn,

что по крайней мере хотлняетсбы для двух значений a′ è a′′

-перемен

существенной,

, a′, a

f (a a , . . . , a

, . . . , a ) =

i−1

i+1

Переменная

f (a1, a2, . . . , ai−1, a′′, ai+1, . . . , an).

являетсне

переменнаяЕсли..иктивнойункцийдляпеременнойчтоназываетсоказываетсям,онатосущественнойяОтме6.1.называетсЗамечание

Еслиным,понятиеíåкоторжелииктивнойаяпонятиепеременнаяпеременнойиктивной переменнойнесколькодлябуk-значнойвойболееункциилогикислож-.

ункции

xi является иктивн й п ременной для

kзначенийой логики

f (˜xn),

òî

äëÿ

наборалюбог

a1, a2, . . .

. . . , ai−1, ai+1, . . . , an

переменныхзначений

x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn

любыхдля

a′

a′′ переменной xi

выполняется

è âñåõ строк, которые

наборам

f (a1, a2, . . . , ai−1, a′, ai+1, . . . , an) =

Опреде

f6.3.(a ,Пустьa , . . . , a

, a′′, a , . . . , a

åíèå

ункция

i+1

i−1

екоторогоëабличнопеременнаяи

a′ =

k-значной логики

f (˜xn)

задана

значнойx , x , . . .логики, xi , xi

, . . , xn

1, 2, . . . , k

1), задает у

êöèþ

ивной стоит

. переменной

Âû÷

i = 1 2, .

èç. . , n

переменная

ркивание

- ик этойсоответствуютаблицыстоявляетслбцаякееотором

рация,

(a1, a2, . . . , ai−1, a′, ai+1, . . . , an

(ãäå

(a1, a2, . . . , ai−1, ai+1, . . .

an)

некоторые

наборы

переменных

−1

−

åê

переменнойиктивнойудалениемназывается

Òàâ.

вычеркиваниеf1(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn)

n − 1

ункцийдаленияиктивоперациивведенияобратнаяациейункцииоперяДвеОп.456.называетсОпределенпеременной

îé

..иктивпеременной

илинымиМовведения, жносли датьднаиктивныхещенихпосредственнодномопеопреджет мбытьлениенныхпо.лученаравенстваk-значнойиз логикидргой, путемазываютсудаления-

оторого кизгики,

72ñ

дует метод истинностныхk-значнойтаблицло.-

.лы,рмуазанадокеоремаПонятияТ

лыорму

бусуперпозиции

левыхбуарныхэлементсвойстваиспользоватьляютпозвоункцийвых

равносильнаотораяулы,орэквивалентнойполучения

.(тданной

-ðåà.

ужетуетункцийли

êöèþ),

действияТакиестроение.простоеболеееетì

авносильнымирдляываютсçíà

преобразованиями.

двойственностиПринцип3.3.

-веннаòдвойс

зываетсОпределениея ойственной3.13двойственнак. Бубëåва ункцияункцииf (˜x ) = f (x1, x2, . . . , xn)

Используя

÷òî

аблицы истинности легко убедитьс.я,˜

f (x )

1ê; 1 двойственна к 0; x

кдвойственна

;

;Теодвойственнаема 3.3. Дляк .любой булевой ункции

f (˜x

) имеет место сле-

венствоðдующее

.азательство

Äîê

)

= f

f ) (˜xn) =

(

2, . . . , xn =

двойственнойазана.3.4еоремадокÒ

Åñëè.

f (x1, x2, . . . , xn) = f (x1, x2, . . . , xn) = f (˜x ).

(Î

óíêöèè)

òî

Φ(˜xn) = f (f1(˜xn), f2(˜xn), . . . , fk(˜xn)),

Доказательство.

Φ (˜x ) = f (f1 (˜x ), f2 (˜x ), . . . , fk (˜x )).

Φ (˜xn) = Φ x1, x2, . . . , xn) = Φ(x1, x2, . . . , xn) =

f (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . f m(x1, x2, . . . , xn)) = = f (f 1(x1, x2, . . , xn), f 2(x1, x2, . . . , xn , . . . f k(x1, x2, . . . , xn)) =

.3.5доказана

Åñëè

ормула

СвойствоТеорема

(˜x )).

f (f 1(˜x ), . . . , f m(˜x )) = f (f1 (˜x , . . . , fm

(Ïðèíöèï

двойственности)

A[f1, f2, . . . , fs] реализует булеву ункцию f (˜xn), то ормула

A[f1 , f2 , . . .

. . . , fs ] реализует f (x˜n).

мы получим A	òîì,	íóþ	тогда
	аждую операцию на операцию, åé
ственнойОпределениек ормуле3.14. Формула A[f1 f2 , . . . , fn ]		называется	- äâîé
	A[f1 , f2 . . . fn ]. При этом пишут A = A[f1 , f2 , . . .

. . . , fs ]

Åñëè.

нойственностиормулезаключаетсяF = {0, 1, x,

x yчтобы,длязамен} ормутьвсюлыдвойстведунадданпринципойконкретF

x, xy,â

Если3.6..Свойство

Доказательство.

.чтотого,изСледует

A = B, òî A = B

ормудвпринципл)Т.Действительно,лентностикимдокобразом,азательствакратитьэквивциях

fA = fB

- ждествостипозвонадвойственныхляет(поопределениюдваразаоерасотоктоазав.ждеств,некдвойственнотороепостроенных

заменыПустьопераций3.на4. азлоîйственженияые, буновоелевыхто ункцийA., мы получим после

çîì:

B = {0; 1}.

Определим выражение xa следующим обра-

= xa x a. Тогда, очевидно, что

a = 1,

изНепосредственно

выражения.åñëèопределения

(x,

a = 0

3.1.Леммание.

xa, следует утвержде-

Теорема 3.5x(О=дизъюнктивном1 тогда толькоразлотогда,жкогдаении xÁÔ)= a..Для юбого

kùåå= 1равенствои, 2, . . . , n

для любой булевой ункции f (˜xn) справедливо следую-

ãäå

беретъюнкция

xÿ

наборамвозможнымвсемпо

fäè(˜x ) =

. . x

f (a1, a2, . . . , ak, xk+1, . . . , xn),

(a ,a2,...,ak )

1 _

(a1, a2, . . .

переменныхзначений

x1, x2, . . . , xk

.азательство Док

ñòü Ïó

. . . , ak)

переменныхий

(b1, b2, . . . , bn) произвольный наб р зна

âåíства получаем x1, x2, . . . , xn.

- ðãîîдоказываемчастиТПраваяогдалевой

f (b1, b2, . . . , bn).

видпринимаетчасть

b1 b2

. . . bk f (a1, a2, . . . , ak, bk+1, . . . , bn).

a1,a2,...,ak

	x1	x2		x3		· · ·		xn−2	xn−1		xn	f (˜xn)
	0	0		0		· · ·		0		0	0	a1
	0	0		0		· · ·		0		0	1	a2
	0	0		0		· · ·		0		0	2	a3
	· · ·	· · ·		· · ·		· · ·		· · ·		· · ·	· · ·	· · ·
	0	0		0		· · ·		0		0	k − 1	ak
	0	0		0		· · ·		0		1	0	ak+1
	0	0		0		· · ·		0		1	1	ak+2
	0	0		0		· · ·		0		1	2	ak+3
	· · ·	· · ·		· · ·		· · ·		· · ·		· · ·	· · ·	· · ·
	0	0		0		· · ·		0		1	k − 1	a2k
	0	0		0		· · ·		0		2	0	a2k+1
	0	0		0		· · ·		0		2	1	a2k+2
	0	0		0		· · ·		0		2	2	a2k+3
	· · ·	· · ·		· · ·		· · ·		· · ·		· · ·	· · ·	· · ·
	0	0		0		· · ·		0		2	k − 1	a3k
	· · ·	· · ·		· · ·		· · ·		· · ·		· · ·	· · ·	· · ·
	0	0		0		· · ·		0	k − 1		k − 1	ak2
	0	0		0		· · ·		1		0	0	ak2+1
	0	0		0		· · ·		1		0	1	ak2+2
	0	0		0		· · ·		1		0	2	ak2+3
	· · ·	· · ·		· · ·		· · ·		· · ·		· · ·	· · ·	· · ·
	0	0		0		· · ·		1		0	k − 1	ak2+k
	· · ·	· · ·		· · ·		· · ·		· · ·		· · ·	· · ·	· · ·
	k − 1	k − 1	k − 1		· · ·		k − 1		k − 1		k − 2	akn −1
	k − 1	k − 1	k − 1		· · ·		k − 1		k − 1		k − 1	ak	n
емаТео	числе(О2.1		различных						ункций				n
N аргументов). \|Pk(n)\| = kk											k-значной логики от
N аргументов). \|Pk(n)\| = kk
изДоказательствовозвращением			.	Число.n		свыборокупорядоченныхвсевозможных
теорупорядоченныхмы1.1,равнострокэлементоваблицыпоистинности),k n-элементов сог(т.еласно.числоутвервсевозмождениюжных6)
издин		kn. Для каждой строки							истинностипеременныхвозмоаблицы
сз оваченийпроис.Слелучаевхоk дитовательно,выборэтойиздлястрокаждоголементногоункцияизнаборовможетзнаприниматьчений дно из k
буприменивлевых óтвернкцийждениеот 6) теоремыk-ý								получим,множествачточис.Поэтомулоразличных,опять1.1,
		n				71				n .
		n		аргументов равно kk

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Дополнительная литература

#
29.02.2016659.25 Кб3824_В.В.Аниськов, И.В.Близнец - Дискретная математика. Курс лекций.pdf
#
29.02.2016477.26 Кб3325_В.В.Аниськов, И.В.Близнец - Дискретная математика. Практиченское пособие.pdf
#
29.02.2016916.71 Кб115Зайцев Д. А. Математические модели дискретных систем.pdf
#
29.02.2016588.22 Кб71Кулик Алгебра кортежей.pdf
#
29.02.20166.12 Mб808Шевелев Ю.П. Дискретная математика Томск Ч.1 2003 118 с..pdf
#
29.02.20165.7 Mб679Шевелев Ю.П. Дискретная математика Томск Ч.2 2003 130 с..pdf