39. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл.

1. _cp.=S/t, =lim(S/t), где t0

2. p_cp.=m/l, p_T=lim(m/l), где l0

y=f(x+x)-f(x), y=f(x)

lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)

x0 x0

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+x)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)=dy/dx

x0 x0

Вычисление производной: lim(y/x)=y` x0

1) если y=x, y=x, y`=x=lim(y/x)=1.

2) если y=x², y=(x+x)²-x²=x²+2xx+x²-x²=x(2x-x),

(x²)`=lim((x(2x+x))/x)=lim(2x+x)=2x

x0 x0

Геометрический смысл производной.

KN=y, MK=x

MNK/tg2=y/x

вычислим предел левой и правой части:

limtg=lim(y/x) x0

tg₀=y`

₀

При x0 секущая MNзанять положение касательной в точке M(tg₀=y`, ₀)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

40. Основные правила дифференцирования.

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

41. Дифференцирование сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или y_x`=y<sub>U</sub>`*U_x`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

42. Дифференцирование обратной ф-ции.

y=f(x), то x=(y) - обратная ф-ция.

Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. x_y`=1/y<sub>x</sub>`.

y/x=1/(y/x) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов:

lim(y/x)=1/(lim(y/x), т.е. y_x`=1/x<sub>y</sub> или f`(x)=1/`(x)

Например:

43. Производные степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы:

44. Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы:

Для сложных функций:

45. Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.

y=a^x - показательная ф-ция, y=xⁿ - степенная, y=x^x - показательно-степенная.

y=[f(x)]^(x) - показательно-степенная ф-ция.

lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny)

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=x^x(lnx+1)

Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция:

1.y=xⁿ, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1

y`=y*n*(x^-1)=n*xⁿ*x^-1=n*x^n-1

2.y=e^U, где U=sinx

U`=cosx, y`=(e^U)`=e<sup>U</sup>*U`=e^sinx*cosx.