БГСХА / первый семестр / элементы векторной и аналитической геометрии

Учреждение образования «Белорусская государственная сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

для подготовки к сдаче модуля №1 по теме «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» и задания для самостоятельной работы студентов факультета бухгалтерского учёта

Горки, 2012

1

1. Элементы векторной алгебры

1.1. Координаты на прямой, на плоскости и в пространстве

Возьмём произвольную прямую Х и выберем на ней положительное направление слева направо. На прямой возьмём произвольную точку О и назовём её началом, относительно которого будем определять положение всех точек на этой прямой. Затем выберем единицу масштаба для измерения длин. Таким образом, мы построили декар-

тову систему координат на прямой, которую называют числовой осью или числовой прямой.

Пусть на числовой прямой отрезок задан точками M1 и M2 и

указано, что точка M1 называется началом, а точка M2 концом отрезка. Такой отрезок называется направленным и обозначается

M1M2 . Величиной направленного отрезка называется его длина,

взятая со знаком «+», если направление отрезка совпадает с направлением оси, и со знаком « » , если эти направления противоположны.

Возьмём на координатной оси точку М. Отрезок OM является направленным. Координатой точки М называется величина ОМ на-

правленного отрезка OM . Обозначим координату точки М через х, т.е. х=ОМ. Тогда запись М(х) означает, что точка М имеет координату х.

d M1M2 x2 x1 .

2

Пример 1.1. Даны точки M1(5) и M2 ( 1) . Величина направлен-

Положение точки на прямой определяется одним числом – её координатой, а положение точки на плоскости не может быть определено одним числом.

Возьмём на плоскости две взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в точке О, зададим направление и масштаб для измерения длины. Точка О называется началом координат. Таким образом, по-

строена декартова прямоугольная система координат на плоско-

сти. Одна ось называется осью Ох, а другая – Оу. Называются эти оси

координатными.

y

чает, что точка М имеет координаты х и у.

Пусть на плоскости в прямоугольной системе координат даны точки M1(x1, y1) и M2 (x2 , y2 ). Тогда расстояние между этими точ-

ками определяется по формуле

начала координат равно d (5 0)2 (2 0)2 29 .

Пример1.3. Даны точки А(1,1), В(-3,4), С(3,12). Вычислить пе-

риметр треугольника АВС.

Решение. Периметр р треугольника АВС равен сумме длин всех его сторон. Найдём длины сторон треугольника:

AB ( 3 1)2 (4 1)2 5,

BC (3 ( 3))2 (12 4)2 10 ,

AC (3 1)2 (12 1)2 55 .

Тогда p 5 10 55 5(3 5) .

Возьмём в пространстве три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в одной точке О, которая называется началом координат, и зададим единицу измерения длины (масштаб). Одна ось назы-

вается Ох (ось абсцисс), вторая – Оу (ось ординат) и третья – Oz (ось аппликат). Координатные оси, взятые попарно, определяют три взаимно перпендикулярные плоскости xOy, yOz, xOz, называемые коор-

динатными плоскостями.

z

x

4

Пусть М – произвольная точка пространства. Спроектируем точку М на координатные плоскости xOy и xOz (точки А и В). Проек-

цией точки А на ось Ох является точка Mx , а на ось Оу – точка M y .

Проекцией точки В на ось Oz является точка Mz . Таким образом, точ-

M(x,y,z) означает, что точка М имеет координаты x, y, z.

Если в пространстве известны координаты точек M1(x1, y1,z1) и

M2 (x2 , y2,z2 ) , то расстояние между ними определяется по формуле

1.2. Векторы. Основные понятия

Величина, которая характеризуется только своим численным значением, называется скалярной. Примерами скалярных величин являются вес, температура, площадь, длина. Величина, которая характеризуется не только своим численным значением, но и направлением, называется векторной. Примерами векторных величин являются скорость, ускорение, сила.

5

Вектором называется направленный отрезок, который имеет начало и конец. Если начало вектора в точке А, а конец вектора в точке

В, то вектор обозначается AB или просто a . Длина вектора равна длине отрезка, соединяющего точки А и В. Если точки А и В совпадают, то длина вектора равна нулю и вектор называется нулевым. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаково направлены. Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Следовательно, если некоторую точку в пространстве взять за общее начало, то к этой точке можно привести все рассматриваемые векторы. Таким образом, все векторы можно рассматривать как свободные.

Если два вектора имеют одинаковые длины, коллинеарны и противоположно направлены, то они называются противоположными. Если дан вектор a , то ему противоположный обозначается -a .

Векторы, которые лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными. Если компланарные векторы привести к одному началу, то они будут лежать в одной плоскости.

Пусть дана ось l и вектор AB . Пусть начало А вектора проектируется в точку A1 на оси l, а конец В вектора – в точку B1 .

противоположные направления. Проекция вектора AB на ось l обо-

значается Прl AB . Обозначим угол между вектором AB и осью

l. Тогда Прl AB AB cos .

В качестве оси l может быть любой вектор. Тогда можно говорить о проекции одного вектора на другой. Например, проекция векто-

ординатами вектора AB называются его проекции на координатные оси. Запись a (x, y,z) означает, что вектор a в пространстве имеет координаты x,y,z.

Два вектора a (x1, y1,z1) и b (x2, y2,z2) будут равны тогда и только тогда, когда равны их одноименные координаты, т.е.

x1 x2 , a b y1 y2 ,

z1 z2.

Пусть начало вектора задано точкой M1(x1, y1,z1), а конец век-

тора – точкой M2 (x2 , y2,z2 ) . Тогда для определения координат век-

тора M1M2 от координат конца вектора вычитаются координа-

ты его начала, т.е. M1M2 (x2 x1, y2 y1,z2 z1).

В прямоугольной системе координат в пространстве единичные

векторы осей Ox, Oy и Oz обозначим через i, j и k . Эти единичные векторы называются ортами. Любой вектор a (x, y,z) в прямо-

угольной системе координат в пространстве может быть разложен по векторам i, j и k , т.е. справедливо равенство a xi yj zk .

7

Пример 1.4. Даны точки M1(1, 3,5) и M2 (4,2, 3). Найти коор-

динаты вектора M1M2 и записать разложение этого вектора по ор-

там.

Решение. Если заданы координаты начала и конца вектора, то для определения координат вектора из координат его конца вычитаются координаты начала: M1M2 (4 1,2 ( 3), 3 5) (3,5, 8) .

Разложение вектора по ортам имеет вид: M1M2 3i 5j 8k .

1.3. Линейные операции над векторами

Сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число на-

зываются линейными операциями над векторами.

Пусть даны векторы a (x1, y1,z1) и b (x2, y2,z2). Суммой векторов a и b называется вектор

c a b (x1 x2, y1 y2,z1 z2) ,

т.е. при сложении векторов их одноименные координаты склады-

ваются. Аналогично,

d a b (x1 x2, y1 y2, z1 z2),

т.е. при вычитании векторов их одноименные координаты вычитаются.

При умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число: если c a , то c ( x1, y1, z1) . В

зом, если два ненулевых вектора коллинеарны, то их одноименные координаты пропорциональны. Верно и обратное: если одноименные координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.

8

Пример 1.5. Даны векторы a (2, 3,1) и b (1, 1,0) . Найти ко-

ординаты вектора 2a 3b .

Решение. Так как при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число, а при вычитании векторов вычитаются их соответствующие координаты, то

2a 3b 2 (2, 3,1) 3 (1, 1,0) (4, 6,2) (3, 3,0) (1, 3,2)

равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: a b a b cos . Так как a cos Прb a , а b cos Прa b ,

то a b b Прb a = a Прab .

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого вектора на направление первого.

Пусть векторы a (x1, y1,z1) и b (x2, y2,z2) заданы своими координатами. Тогда скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их одноименных координат:

a b x1x2 y1y2 z1z2 .

9

суммы квадратов его координат.

Из определения скалярного произведения двух векторов можно найти угол между векторами:

Если два вектора взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, так как cos cos90 0. И, обратно, если

скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы взаимно перпендикулярны. Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

a b 0 или x1x2 y1 y2 z1z2 0 .

Пример 1.7. Вычислить скалярное произведение векторов a b ,

если a 33, b 6, а угол между векторами 30 .

AC (2 3, 1 ( 1), 2 0) ( 1,0, 2) .

Так как известны координаты векторов, то их скалярное произве-

a 3i 4j k и b 2i 3j k .

10