Скачиваний:
50
Добавлен:
08.01.2014
Размер:
251.9 Кб
Скачать

Российский химико-технологический университет

им. Д.И. Менделеева

кафедра сертификации и стандартизации

Курсовая работа на тему:

«Статистическая обработка экспериментальных

данных при сертификации продукции.

Оценивание распределений и их параметров».

Вариант № 34

Выполнила: студентка 5 курса

ф-та КХТП

группы К-53

Струкова М.А.

Проверил: Браженков А.И.

Москва 2003г.

Цель работы:

Работа посвящена наиболее важным методам обработки экспериментальных данных, а именно, оцениванию распределений и их параметров и проверки гипотез о распределениях.

Содержание работы:

  1. Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.

2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и

дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятностью.

(1-α)=0,95.

3. Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный

интервал (0,7÷1).

4. Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий

заданной доверительной вероятности (1-α) = 0,9.

5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения

случайной величины Х.

6. Найти и построить доверительные области для плотности

распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие

заданной доверительной вероятности (1-α) = 0,8 .

7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения

подходящим законом распределения.

8. Используя критерий согласия χ² и Колмогорова, проверить

правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона

распределения с истинным законом при заданном уровне значимости α=0,01.

Вариант № 34

Задание:

Производится исследование точности измерения дальности с помощью радиодальности. Зарегистрированы следующие ошибки показаний прибора (в метрах):

Таблица

-5

9

11

47

25

8

-3

5

-25

-13

5

55

15

2

-27

-9

27

-35

-53

0

-9

8

-2

-57

5

25

-25

15

-16

-38

21

-7

2

19

-5

25

5

7

5

19

-40

-2

43

2

20

3

0

-19

10

5

3

7

15

5

-27

8

8

-22

35

-9

55

1

36

-35

15

-5

40

5

42

6

17

20

-53

9

-7

35

45

7

15

2

-10

-5

4

52

37

53

10

20

7

5

Решение:

1.Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=90.

Дисперсия:

Выборочная дисперсия:

2. Рассчитаем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-). Пусть (1-) = 0,95. Тогда по таблице значений функции Лапласа находим и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

  • для математического ожидания:

  • для дисперсии:

3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины X в интервал (0,7;1) = (3,92;5,6). Так как в этот интервал попало m=10 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:

4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р, оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае

доверительная вероятность равна (1-) = 0,9. Тогда =1,65 , и искомый интервал имеет вид :

5. Для построения гистограммы Г(x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (-60; 60) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый длиной 12. . Для каждого разряда рассчитываем:

  • значение гистограммы Г(x):

, где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд , а - его длина.

  • частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы:

разряды

частота попадания случайной величины X в разряд

значение гистограммы Г(x)

[-60;-48)

3

0,033

0,00275

[-48;-36)

2

0,022

0,00183

[-36;-24)

6

0,0667

0,00556

[-24;-12)

4

0,044

0,00367

[-12;0)

13

0,144

0,012

[0;12)

33

0,3667

0,03056

[12;24)

12

0,133

0,011

[24;36)

6

0,0667

0,00556

[36;48)

7

0,0778

0,0065

[48;60)

4

0,044

0,00367

Рис. 1

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

,

где - число экспериментальных точек, лежащих левее х.(Рис. 2)

  1. Находим доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x).

На каждом разряде находим доверительную область для вероятности попадания исходной величины X в этот разряд. Вычисляем по формуле (пункт 4.) с заменой величины соответственно на . В данном случае общее число разрядов r = 10 плюс 2 полубесконечных разряда , r = 12. Выбираем доверительную вероятность (1-), равную 0,95 , из условия:

и, используя таблицу значений функции Лапласа, находим = 2,86.

i = 1...r

плотность на i-ом разряде;

доверительные границы для плотности , которая находится по формуле:

длина разряда.

разряд

доверительные границы для плотности распределения f(x)

0

0

0,006943

0

0

0,006943

[-60;-48)

6,54E-06

0,007356

[-48;-36)

2,95E-06

0,007219

[-36;-24)

2,53E-05

0,007767

[-24;-12)

1,14E-05

0,007492

[-12;0)

0,000106

0,00867

[0;12)

0,000537

0,011075

[12;24)

9,03E-05

0,008533

[24;36)

2,53E-05

0,007767

[36;48)

3,4E-05

0,007902

0

0

0,006943

0

0

0,006943

(см. рис. 3)

Графической оценкой функции распределения F(x) является эмпирическая функция распределения:

, где - число экспериментальных точек, лежащих левее x.

По таблице распределения величины (распределение Колмагорова) находим ее величину, соответствующую коэффициенту доверия (1-) = 0,8. Она равна =1,08. Затем рассчитываем доверительную область для функции распределения F(x):

График этой области представлен на рис. 4

7. Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией:

график представлен на рис. 5

8. Для проверки гипотезы выберем уровень значимости α = 0,01 и используем критерий согласия . Экспериментальное значение

вычисляется по формуле:

где для нормального распределения определяется следующим образом:

Экспериментальное значение,согласно вышеуказанной формуле

= 14,56

Значение зависит от двух величин (α,s). Уровень значимости α = 0,01; число степеней свободы:

S = r – 1 – k

k = 2 , так как нормальное распределение, тогда

s = 12-1-2 = 9

Значит, теоретическое значение (по табл.)

Таким образом,

<

гипотеза является правдоподобной

Проверим эту же гипотезу с помощью критерия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения равно в данном случае:

Экспериментальное значение критерия Колмогорова равно:

Гипотетическое значение этого критерия при уровне значимости α = 0,01 (по таблице Колмогорова) равно:

1,63

Таким образом, , следовательно, гипотеза является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.

9