Курсовая работа / Вариант 34 - Браженков - Струкова - 2003 / вар 34
.docРоссийский химико-технологический университет
им. Д.И. Менделеева
кафедра сертификации и стандартизации
Курсовая работа на тему:
«Статистическая обработка экспериментальных
данных при сертификации продукции.
Оценивание распределений и их параметров».
Вариант № 34
Выполнила: студентка 5 курса
ф-та КХТП
группы К-53
Струкова М.А.
Проверил: Браженков А.И.
Москва 2003г.
Цель работы:
Работа посвящена наиболее важным методам обработки экспериментальных данных, а именно, оцениванию распределений и их параметров и проверки гипотез о распределениях.
Содержание работы:
-
Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и
дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятностью.
(1-α)=0,95.
3. Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный
интервал (0,7÷1).
4. Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий
заданной доверительной вероятности (1-α) = 0,9.
5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения
случайной величины Х.
6. Найти и построить доверительные области для плотности
распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие
заданной доверительной вероятности (1-α) = 0,8 .
7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения
подходящим законом распределения.
8. Используя критерий согласия χ² и Колмогорова, проверить
правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона
распределения с истинным законом при заданном уровне значимости α=0,01.
Вариант № 34
Задание:
Производится исследование точности измерения дальности с помощью радиодальности. Зарегистрированы следующие ошибки показаний прибора (в метрах):
Таблица
-5 |
9 |
11 |
47 |
25 |
8 |
-3 |
5 |
-25 |
-13 |
5 |
55 |
15 |
2 |
-27 |
-9 |
27 |
-35 |
-53 |
0 |
-9 |
8 |
-2 |
-57 |
5 |
25 |
-25 |
15 |
-16 |
-38 |
21 |
-7 |
2 |
19 |
-5 |
25 |
5 |
7 |
5 |
19 |
-40 |
-2 |
43 |
2 |
20 |
3 |
0 |
-19 |
10 |
5 |
3 |
7 |
15 |
5 |
-27 |
8 |
8 |
-22 |
35 |
-9 |
55 |
1 |
36 |
-35 |
15 |
-5 |
40 |
5 |
42 |
6 |
17 |
20 |
-53 |
9 |
-7 |
35 |
45 |
7 |
15 |
2 |
-10 |
-5 |
4 |
52 |
37 |
53 |
10 |
20 |
7 |
5 |
Решение:
1.Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=90.
Дисперсия:
Выборочная дисперсия:
2. Рассчитаем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-). Пусть (1-) = 0,95. Тогда по таблице значений функции Лапласа находим и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:
-
для математического ожидания:
-
для дисперсии:
3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины X в интервал (0,7;1) = (3,92;5,6). Так как в этот интервал попало m=10 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:
4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р, оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае
доверительная вероятность равна (1-) = 0,9. Тогда =1,65 , и искомый интервал имеет вид :
5. Для построения гистограммы Г(x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (-60; 60) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый длиной 12. . Для каждого разряда рассчитываем:
-
значение гистограммы Г(x):
, где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд , а - его длина.
-
частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы:
разряды |
частота попадания случайной величины X в разряд |
значение гистограммы Г(x) |
|
[-60;-48) |
3 |
0,033 |
0,00275 |
[-48;-36) |
2 |
0,022 |
0,00183 |
[-36;-24) |
6 |
0,0667 |
0,00556 |
[-24;-12) |
4 |
0,044 |
0,00367 |
[-12;0) |
13 |
0,144 |
0,012 |
[0;12) |
33 |
0,3667 |
0,03056 |
[12;24) |
12 |
0,133 |
0,011 |
[24;36) |
6 |
0,0667 |
0,00556 |
[36;48) |
7 |
0,0778 |
0,0065 |
[48;60) |
4 |
0,044 |
0,00367 |
Рис. 1
Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:
,
где - число экспериментальных точек, лежащих левее х.(Рис. 2)
-
Находим доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x).
На каждом разряде находим доверительную область для вероятности попадания исходной величины X в этот разряд. Вычисляем по формуле (пункт 4.) с заменой величины соответственно на . В данном случае общее число разрядов r = 10 плюс 2 полубесконечных разряда , r = 12. Выбираем доверительную вероятность (1-), равную 0,95 , из условия:
и, используя таблицу значений функции Лапласа, находим = 2,86.
i = 1...r
плотность на i-ом разряде;
доверительные границы для плотности , которая находится по формуле:
длина разряда.
-
разряд
доверительные границы для плотности распределения f(x)
0
0
0,006943
0
0
0,006943
[-60;-48)
6,54E-06
0,007356
[-48;-36)
2,95E-06
0,007219
[-36;-24)
2,53E-05
0,007767
[-24;-12)
1,14E-05
0,007492
[-12;0)
0,000106
0,00867
[0;12)
0,000537
0,011075
[12;24)
9,03E-05
0,008533
[24;36)
2,53E-05
0,007767
[36;48)
3,4E-05
0,007902
0
0
0,006943
0
0
0,006943
(см. рис. 3)
Графической оценкой функции распределения F(x) является эмпирическая функция распределения:
, где - число экспериментальных точек, лежащих левее x.
По таблице распределения величины (распределение Колмагорова) находим ее величину, соответствующую коэффициенту доверия (1-) = 0,8. Она равна =1,08. Затем рассчитываем доверительную область для функции распределения F(x):
График этой области представлен на рис. 4
7. Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией:
график представлен на рис. 5
8. Для проверки гипотезы выберем уровень значимости α = 0,01 и используем критерий согласия . Экспериментальное значение
вычисляется по формуле:
где для нормального распределения определяется следующим образом:
Экспериментальное значение,согласно вышеуказанной формуле
= 14,56
Значение зависит от двух величин (α,s). Уровень значимости α = 0,01; число степеней свободы:
S = r – 1 – k
k = 2 , так как нормальное распределение, тогда
s = 12-1-2 = 9
Значит, теоретическое значение (по табл.)
Таким образом,
<
гипотеза является правдоподобной
Проверим эту же гипотезу с помощью критерия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения равно в данном случае:
Экспериментальное значение критерия Колмогорова равно:
Гипотетическое значение этого критерия при уровне значимости α = 0,01 (по таблице Колмогорова) равно:
1,63
Таким образом, , следовательно, гипотеза является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.