Задание №1

1. Составить программу и вычислить на ЭВМ интеграл заданной функции на отрезкес точностьюметодами, указанными преподавателем. Сравнить точность полученных результатов с точным значением интеграла.

2. Определить, какое число отрезков разбиения обеспечило бы достижение точности при вычислении заданного интеграла по формуле трапеций.

3. В оформленной работе должны быть приведены все составленные алгоритмы или блок-схемы методов, программы и результаты расчетов, ответы на контрольные вопросы.

После выполнения заданий необходимо сравнить полученные результаты и сопоставить в них верные цифры.

Вариант	Подынтегральная функция	Пределы интегрирования a b
1		5	6,5
2		2	3,5
3		3	3,5
4		0	2
5		0,5	2
6		2	2,5
7		0	1
8			2
9		2	5
10		0,2	0,3
11		0
12		0	2
13		0
14		1	2
15		0	1
16		0	2
17		0	1
18		0,5	1
19		0
20		0
21		0,1	0,5
22		1	2
23		0	1
24		3	4
25		0,1	0,3

Задание №2

1. Схематически построить графики функций.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками (с точностью ). Расчет точек пересечения заданных функций и расчет интегралов (любыми методами) оформить отдельными программами.

Вариант	Заданные функции
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

9 Численное дифференцирование

1. Некорректность операции численного дифференцирования

Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции по заданным в конечном числе точек значениям этой функции. Разобьем отрезокнаодинаковых частейгде. Пусть определены значенияфункции. В качестве приближенного значенияможно взять любое из следующих разностных отношений

,

называемых, соответственно, левой, правой и центральной разностными производными. Возникающая в результате такой замены погрешность, называемая погрешностью аппроксимации, характеризуется оценками

где Таким образом, погрешность аппроксимациилевой и правой разностными производными является величинойприВ этом случае говорят, что имеет место аппроксимация первого порядка. Центральная разностная производная аппроксимируетсо вторым порядком и, следовательно, является более точным приближением кчем левая или правая разностные производные. Вторую производную в точкеможно заменить второй разностной производнойпри этомгдет.е. имеет место аппроксимация второго порядка.

Как правило, значения функции в точкахвычисляются не точно, а с каким-то приближением. Например, элементарные трансцендентные функции вычисляются с помощью рядов, причем ряды заменяются конечными суммами. Другим источником погрешностей являются погрешности округления. Оказывается, что погрешность, возникающая при вычислении разностных отношений, намного превосходит погрешность в задании значений функциии даже может неограниченно возрастать при стремлении шагак нулю. Поэтому операцию вычисления разностных отношений называют некорректной. Поясним причину некорректности на примере вычисления разностного отношения

Разностное отношение хорошо приближаеттолько в том случае, когда шагдостаточно мал. Требование малости величины, находящейся в знаменателе разностного отношения, как раз и является причиной некорректности операции численного дифференцирования. Действительно, пусть вместо точного значениявычислены приближенные значенияТогда вместобудет вычислена величинаСледовательно, погрешность в вычислении первой разностной производной окажется равнойПустьтогдапричем эта оценка достигается приИз этой оценки видно, что вследствие малостипогрешность, возникающая при вычислении первой разностной производной, значительно превосходит погрешность вычисления самой функции. Еслине зависит от, то погрешностьнеограниченно возрастает приДалее погрешность такого рода будем называть погрешностью округления.

Сказанное не означает, что нельзя пользоваться формулами численного дифференцирования. Чтобы не происходило существенного понижения точности, надо следить за тем, чтобы погрешность округления имела тот же порядок, что и погрешность аппроксимации. Например, погрешность аппроксимации при замене отношениемне превосходит величиныгдеЕстественно потребовать, чтобы и погрешность округлениябыла бы сравнима с погрешностью аппроксимации, например,гдене зависит от. Это означает, что погрешностьпри вычислении значений функциидолжна быть величинойС другой стороны, это неравенство показывает, что если величиназадана, и мы не можем ее менять, то вычисления надо проводить не с произвольно малым шагом, а с шагом, удовлетворяющим условиюНапример, если, то шагнадо брать примерно равным 0,01. При этом погрешность аппроксимации и погрешность округления будут примерно равными.

Вычисление производной по заданной функциитакже является некорректной операцией в том смысле, что для ограниченной функциипроизводнаяможет быть сколь угодно большой. Например, дляимеемипри

2. Применение интерполирования

Многие формулы численного дифференцирования можно получить как следствие интерполяционных формул. Для этого достаточно заменить функцию ее интерполяционным многочленоми вычислить производные многочлена, используя его явное представление. Рассмотрим разбиение отрезканачастей:и обозначим черезшаги этого разбиения. В качестве примера получим формулы численного дифференцирования, основанные на использовании многочлена Лагранжапостроенного для функциипо трем точкамМногочленимеет вид

Отсюда получим

Это выражение можно принять за приближенное значение в любой точкеЕго удобнее записать в виде

где В частности, приполучим

и если разбиение равномерное, то приходим к центральной разностной производной,

При использовании интерполяционного многочлена первой степени точно таким же образом можно получить односторонние разностные производные

Далее, вычисляя вторую производную многочлена получим приближенное выражение дляпри

При равномерном разбиении это выражение совпадает со второй разностной производной Для приближенного вычисления дальнейших производных уже недостаточно многочленанадо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым увеличивать число узлов, участвующих в аппроксимации.

Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка интерполяционного многочлена, так и от расположения узлов интерполяции. Приведем выражение для погрешности аппроксимации, возникающей при замене выражением

где

Отсюда видно, что аппроксимируетсо вторым порядком. Хуже обстоит дело с аппроксимацией второй производной:

Здесь даже при равномерном разбиении второй порядок аппроксимации имеет место лишь в точке а относительно других точек (например, точеки) выполняется аппроксимация только первого порядка.

3. Контрольные вопросы

1. Что называется левой, правой и центральной разностными производными? Какой порядок аппроксимации обеспечивают разностные производные?

2. Почему операцию вычисления разностных отношений называют некорректной?

3. Как строятся формулы численного дифференцирования, основанные на применении интерполяционного многочлена?

4. Какой порядок аппроксимации обеспечивают эти формулы численного дифференцирования?

4. Задание к лабораторной работе № 9

1. Составить программу и вычислить на ЭВМ производную заданной функции на отрезке с точностью . Сравнить точность полученных результатов с точными значениями производной .

2.Вычислить производную заданной функции используя интерполяционный многочлен. Сравнить с точными значениями производной.

Номер варианта	Функция	Отрезок
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.

24