khor32
.pdf2.9. Технико-экономический анализ функционирования ЭВМ
(p(t) =1– exp(–pt).
Здесь (3 — интенсивность решения задач на машине.
Говорят, что решение задачи на ЭВМ осуществимо, если для некото-
рого t одновременно выполняются f(t) f0 и t t, где f° и t° — «по-
роги осуществимости»; они выбираются из практических соображений. Интepec представляет также величина f(t,,,) = max f (t), которая определяется
численными методами.
2.9. Технико-экономический анализ функционирования ЭВМ
K технико-экономическим относятся такие показатели ЭВМ, которые характеризуют экономическую сторону разработки, производства, ввода в
действие и эксплуатации машины как единого комплекса аппаратурнопрограммных средств. Ниже будyт введены стоимостные параметры, связанные c эксплуатацией ЭВМ, и цена операции; детально рассмотрен аналитический подход к технико-экономическому анализу функционирования машины; изучена взаимосвязь между надежностью и стоимостью ЭВМ.
2.9.1. Стоимость эксплуатации ЭВМ
Рассмотрим суммарные расходы V1 , связанные c эксплуатацией ЭВМ в течение достаточно длительного времени 5 :
б
V1 =^vi.
i=1
Здесь компоненты vi определяются за время .:s, причем:
v1 стоимость амортизации ЭВМ и вспомогательного оборудования для нее; v1 = kv, v цена машины и вспомогательного оборудования для нее; k коэффициент амортизации;
v2 стоимость содержания восстанавливающего устройства (бригады обслуживания);
v3 стоимость запасных технических средств (материалов, деталей,
приборов, интегральных схем и типовых элементов замены и т. п.), расходуемых при устранении отказов в ЭВМ;
v4 стоимость вспомогательных средств (бумаги, картридркей, дис-
кeт, компакт-дисков и т. д.), необходимых для нормального функциониро-
вания ЭВМ;
93
2. Архитектура электронных вычислительных машин
v5 стоимость электроэнергии, потребляемой при эксплуатации ЭВМ и вспомогательного оборудования;
v6 накладные расходы (амортизация помещения и т. д.).
Величину Т часть времени :s, использованную на решение задач, будем считать полезным временем эксплуатаци и ЭВМ.
Отношение с1 = V1 / Т будет себестоимостью единицы полезного времени при эксплуатации машины.
Стоимостью эксплуатации ЭВМ назовем
c1 =(V1 +Vг)lT |
(2.27) |
где V2 = v- + v8 , v-, плановая прибыль от эксплуатации машины; v8
отчисления в фонд развития (т. e. на расширение аппаратурно-программно- го сервиса: приобретение и подключение новых технических средств, составление стандартных программ, разработку пакетов прикладных программ и языков программирования и т. д.) за время s.
Себестоимость и стоимость содержания восстанавливающего устройства в единицу времени определяются выражениями:
|
с2 = v2 / s; |
с2 = ti 2 / Т. |
(2.28) |
|
Стоимость запасных технических средств, расходуемых при одно- |
||
кратном восстановлении отказавшей ЭВМ |
|
||
|
с3 = v3 (?'‚ + µ)^1x) - ^ |
(2.29) |
|
Здесь |
интенсивность отказов ЭВМ; |
и зтенсивность восстановления |
|
ЭВМ восстанавливающим устройством. B самом деле, среднее время между двумя восстановлениями ЭВМ равно Х-1 + µ -1 = (? + µ)(?,µ)-1 и, следовательно, число восстановлений за время s составляет + µ) -1 =1. Тогда стоимость с3 = v3 / 1, что и доказывает справедливость (2.29).
2.9.2. Цена быcтpoдeйcтвия ЭВМ
B отечественных и зарубежных исследованиях выявлен эмпирический закон, устанавливающий взаимосвязь между r. гроизводительностью и стои-
мостью ЭВМ. Этот закон называют законом I'роша (Grosch's Law) и запи-
сывают в следующем виде:
^=hva ,
94
2.9. Технико-экономический анализ функционирования ЭВМ
где о |
показатель производительности машины (как правило, и ) |
иоми- |
нальное быстродействие ЭВМ, см. (2.5)); v цена маца ны; константа a > 2 и
коэффициент h, имеют размерность, зависят от технологии производства. Закон Гроша используют при оценке качества проектирования средств вычис-
лительной техники. Следует заметить, что он имеет силу в ограниченном диа-
пaзоне производительности (до 108 опер./c), точнее, для вычислительных средств, структура которых близка к ЭВМ дж. фон Неймана. При переходе к
параллельным структурам вычислительных средств закон Гроша теряет силу. Широкое распространение получила на практике количественная ха-
рактеристика ЭВМ в = v / w, которую называют ценой (одной) операции (в секунду). Если в качестве со рассматривается не номинальное быстродейст-
вие (2.5), a среднее быстродействие (2.4), то величина в называется ценой быстродействия ЭВМ.
2.9.3. Математическое ожидание бecпoлeзныa расходов при эксплуатации ЭВМ
B процессе эксплуатации ЭВМ ее состояния чередуются. Очевидно, что если машина работоспособна, то простаивает ВУ; появление отказа в ЭВМ прекращает пpocтoй ВУ, но приводит к простою самой машины. Экcплyaтaциoнныe расходы (потери), вызванные этими простоями, будем cчи-
тaть бесполезными [6].
Пусть Pk (At) — условная вероятность того, что ЭВМ, находящаяся в момент времени t 0 в состоянии 1, перейдет через время At в состояние k,
1, k e Е. Пусть также Г(i, t) — математическое ожидание бесполезных эксплуатационных расходов к моменту t >0 при условии, что в начальный момент (при t = 0) машина находилась в состоянии i E Eo. Выведем диффepeнциaльнoe уравнение для функции Г(i, t), i E Е. Средние расходы
Г(i, t + At), i E Е, при экcплyaтaгцш ЭВМ в течение времени t + At (где At —
бесконечно малый промежуток времени) складываются из затрат за время t и издержек, которые имеют место на пpoмexcyткe времени
Вероятности Po (i, t) или P (i, t) того, что ЭВМ при t 0 неработоспособна или работоспособна, соответственно равны [1– s(i, t)] или s(i, t),
i E Е (см. формулу (2.19)); вероятность Poo(Ot) того, что отказавшая ЭВМ на промежутке времени не будет восстановлена, равна
(см. формулу (2.17)), a вероятность P 1(0t) того, что работоспособная ЭВМ на этом же промежутке не откажет, равна r(At) (см. формулу (2.10)).
95
2. Архитектура электронных вычисл лтельных машин
Если ЭВМ в момент времени t > о нераЕ отоспособна и на промежутке времени [t, t + At) не будет восстановлена, то потери вследствие отказа
Po(i, t)Роо (Аt)сi Аt + o(At) = [1 - s(i, t)][1 - и(zt)]сiАt + o(At) , iEEo. (2.30)
Если же машина в момент времени t C работоспособна и сохранит
свое состояние и в последующие At единиц в peмeни, то бесполезные эксплуатационные расходы определяются пpocтoe]vI BУ:
P (i, t)P 1 (Ot)c20t + o(At) = s(i, t)r(Ot)cZOt + o(At), i E Е. |
(2.31) |
Учитывая выражения (2.30) и (2.31), можно записать |
|
Г(i, t + At) = Г(i, t) + [1 - s(i, t)] [1 - u(Ot)]c1 0t + s(i, t)r(Ot)c20t + o(At), |
i E Е. |
|
(2.32) |
Подставив в (2.32) оценки (2.20) и (2.21) для u(At) и r(Ot), получим
Г(i, t + At) = Г(i, t) + [1 - s(i, t)][1-µit + o(Ot)]c 1 0t + |
|
+s(i, t)[1- ?,At + o(Аt)]cгАt --o(At), i E Е. |
(2.33) |
далее, если в (2.33) Г(i, t) перенести в левую часть, затем поделить на
At обе части равенства и перейти к пределу при At -+0, то получим диф-
фepeнциaльнoe уравнение
dt Г(i, t) = [1- s(i, t)]c1 + s(i, t)c2, i E Е; |
(2.34) |
в качестве начальных условий естественно взять Г(i, 0) = 0.
Решение дифференциального уравнения (2.34) при заданных началь-
ных условиях имеет вид |
|
|
|
Г(i, t) = -E 1 + yt + s'F<t), |
|
(2.35) |
|
где |
|
|
|
Y |
+ µ c1 + ^, +µ^г |
|
(2.36) |
|
|
||
|
S(t) = e- '+µ^1 ; |
|
(2.37) |
кo = - µ |
(c1 - c2 ), s1 = |
(c1 - c2 ). |
(2.38) |
B справедливости формул (2.35)-(2.38) легко y5eдитьcя, подставив s(i, t) из выражений (2.24), (2.25) в формулу (2.34) и про интerpиpoвaв.
96
2.9. Технико-экономический анализ функционирования ЭВМ
Для нeвoccтaнaвливaeмoй ЭВМ, т. e. для случая, когда oтсyтcтвyeт ВУ, = 0, c2 = 0 и формулы (2.35)-(2.38) дают следующий результат:
Г(0, t) =cat; Г(1, t) _ (-1 / ?,)c1 +cat + (1 / ?»)ciв t |
(2.39) |
Заметим, что первое слагаемое в правой части Г(1, 1) исключает из бес-
полезных потерь «доход», который можно ожидать от эксплуатации ЭВМ.
действительно, работоспособная ЭВМ функционирует до отказа в среднем
1/? единиц времени, следовательно, до отказа ЭВМ может принести доход в размере c1 /?'.
Формулы (2.35)-(2.39) характеризуют поведение ЭВМ и в переходном, и в стационарном режимах функционирования. Однако в стационарном режиме, т. e. при длительной эксплуатации ЭВМ (или математически при t -> ю), функция 6(t) (2.37) становится пренебрежимо малой, т. e. 6(t) ->0.
Кроме того, первое слагаемое (2.38) в правой части формулы (2.з5) стано-
вится пренебрежимо малым по сравнению co вторым, т. e. c yt. Таким oбpa-
зoм, математическое ожидание бесполезных эксплуатационных расходов за время t для стационарного режима работы ЭВМ не зависит от начального
состояния машины и имеет вид
Г(t) = yt,
где y вычиcляeтcя по (2.36), a в случае отсутствия восстанавливающего устройства y = c1 (см. формулу (2.39)).
Величину y назовем коэффициентом эксплуатационных потерь ЭВМ.
Очевидно, что y есть математическое ожидание потерь в единицу времени в стационарном режиме из-за отказов машины и простоя восстанавливающего
устройства. Следовательно, коэффициент y можно рассчитать без вывода
дифференциального уравнения (2.34), если известны вероятности состояний
ЭВМ.
B самом деле, пусть Ро вероятность того, что ЭВМ (в стационарном режиме) находится в состоянии отказа или, говоря иначе, вероятность того, что ВУ занято; Р вероятность того, что ЭВМ (в стационарном режиме) работоспособна или вероятность того, что ВУ простаивает. Тогда
'у =
=о
где c1 и c2 определяются по формулам (2.27) и (2.28). Подставив в послед-
нюю формулу Po =1— s, P = s и (2.26), получим известное выражение
(2.36) для коэффициента эксплуатационных потерь ЭВМ.
4-685 |
97 |
2. Архитектура электронных вычисл^'тельных машин
Задача минимизации функции Г(i, t), i Е Е (2.35) и, в частности, ко-
эффициента у (2.36) решается численными мЕ-тодами и c использованием экспериментальных результатов. Так, при с1 = const, ? = const эксперимен-
тaльно должны быть подобраны такие с 2 и µ, чтобы коэффициент y при-
нимал минимальное значение. Последнее может быть достигнуто, например, подбором состава средств обслуживания ЭВМ, т. e. средств контроля, диагностики и восстановления (или реконфигурирования).
2.9.4. Математическое ожидание дохода ЭВМ
Введем функцию D(i, t), i Е Е, значен: ля которой D(0, t) и D(1, t)
являются математическими ожиданиями дохода, приносимого при эксплуатации ЭВМ в течение времени t > 0, при усл^ ^виях, что машина в момент начала функционирования находилась в нерабо госпособном и работоспособном состояниях соответственно. Пусть dii доход, приносимый ЭВМ за
единицу времени при пребывании машины в сс ^стоянии i Е Е, д доход, приносимый ЭВМ при переходе из состояния i F состояние j, i ^ j; i, j Е Е.
Математическое ожидание дохода D(i, t), i Е Е,
тано классически, c помощью аппарата маркс вских процессов c доходами [8], и упрощенно [6], аналогично тому, как это : делано в разя. 2.9.3.
Способ 1. При использовании марковск их процессов c доходами отсчет времени будем вести в обратном направл ^нии, т. e. будем считать, что процесс начинается в момент (t + At), a оканчивается в момент t = 0. Тогда
ожидаемый доход ЭВМ за время (t + At) равен
D(i, t + At) = P1 (Аc)[dt1 Ot + D(i, t)] + P; (Ot)[d^ + D( j, t)], i^ j; i,jEEo.
(2.40)
B самом деле, в течение времени At, r. e. на промежутке времени (t + At, t], ЭВМ может либо остаться в состоянии i, либо перейти в состоя-
ние j = (1— i), i Е Е. Если ЭВМ остается в состоянии i Е Е в течение времени At, то доход составит величину d ;10t плюс ожидаемый доход D(i, t), который она принесет за оставшиеся t единиц времени. Если маши-
на перейдет из состояния i Е Е в состояние j =1— i, то доход составит величину 4 плюс ожидаемый доход D(j, t) за оставшееся время t, если бы начальным было состояние j.
98
2.9. Технико-экономический анализ функционирования ЭВМ
ЭВМ общего назначения — восстанавливаемые, следовательно, возпереходы из состояния отказа в исправное состояние, т. e. из состоя мoжны
ния 0 в состояние 1. Тогда из (2.14) и (2.18) видны оценки:
Poo(&) =1— u(лa) = в ` 1—µ0t;
Pot (At) = u(At) =1— e-"°` |
µit; |
(2.41) |
P o (Лt) =1— r(Аt) = 1— е' |
|
|
|
|
Р11(Аt) = r(At) = е |
1 — дt. |
|
Положим, что |
|
|
d00 = -с, d01 = —сз, |
д1 i= с1 — с, д1 0 = О. |
(2.42) |
Заметим, что в величине c1 yчитывaютcя расходы на содержание ВУ, поэтому можно было бы взять d11 = c1 и d00 = 0. Однако в условиях коммер-
ческой эксплуатации при исправном состоянии машины ВУ (бригада oб- cлyживaния) простаивает, поэтому можно положить d11 = c1 — c2. Кроме
того, можно считать также, что если ЭВМ пребывает в состоянии отказа, a ВУ не способно изменить ее состояние (на работоспособное) в течение нe- кoтoporo времени, то вычислительный центр бесполезно теряет в единицу
времени сумму c2; следовательно, d00 _ —с.
Подставляя (2.41), (2.42) в (2.40) и пренебрегая членами более высокого порядка малости по сравнению c At, получаем
D(0, r + er) —Duo, t) |
, + µсз) — µD o, t) + ,,д(1, t); |
|
et |
||
(2.43) |
||
D(1, t + At) — D(1, t) |
||
(c1 — c2) + A.D(0, t) — a,D(1, t). |
||
= |
||
At |
|
далее, переходя к пределу при At –> 0 в обеих чacтяx•paвeнcтв (2.43)
и используя обозначения
do = —с — µcз, d1 = c1 — с,
получаем систему дифференциальных уравнений:
D(0, t) = do –µD(0, t) +µD(1, t);
(2.44)
t) = d1 + ?,D(0, t)–?D(1, t).
Естественно задать следующие начальные условия: D(0, 0) = 0, D(1, 0) = 0.
а* |
99 |
2. Архитектура электронных вычислительных машин
Легко убедиться (путем пoдcтaнoвки), чз o решением системы уравнений (2.44) при заданных начальных условиях будет система
D(O, t) |
µ(d1 - do ) + ?,do + µdi |
µd1 - d0) e-(^+µ)1 |
; |
|
|
(?.+ µ)2 |
?, + µ |
Ck + µ)г |
(2.45) |
|
= ?,(d1 - do ) + ,do +d1 |
i^(d1 - da) e-(^+µ)r |
||
D(l, t) |
|
|||
(+i)2 |
+L |
(?+it)2 |
|
|
|
|
|||
Формулы (2.45) в частном случае, кc rдa отсутствует BУ (µ = 0, c2 = 0), принимают следующий вид:
D(0, t) = 0, D(1, t) = с1?,-1 _ с1'-ie-r |
(2.46) |
Формулы (2.45) и (2.46) характеризуют функционирование восстанавливаемых и нeвoccтaнaвливaeмыx ЭВМ в пepexoднoм режиме.
Исследуем поведение ЭВМ в стационарном режиме. Легко заметить, что при t -+ oo значение е1 -> 0, a первые слагаемые и для D(0, t), и для D(1, t) в (2.45) становятся пpeнeбpeжимo ;иaлыми по сравнению co втo-
pыми. Таким образом, математическое ожидание дохода, приносимого ЭВМ
за время t в стационарном режиме paбoть;:, не зависит от начального состояния машины и выражается функцией
D(t) = gt,
где |
|
|
|
|
|
g = |
Хдо + µд1 |
_ |
µ |
(c i - ^,сз) - с2 . |
(2.47) |
|
+µ |
|
+µ |
|
|
Величину g средний доход, приносимый в единицу времени при длительной работе ЭВМ, называют прибылью.
Если же ЭВМ невосстанавливаемая, то c вероятностью, равной единице, машина при длительной эксплуатации окажется в состоянии отказа. Действительно, вероятность отказа ЭВМ за время t равна q(t) =1- r(t) (см.
(2.10)), a 1im q(t) = 1. Значит, невосстанавли аемая ЭВМ в стационарном t-)co
режиме может приносить нулевую прибыль, g = 0 (см. (2.47)). Математиче-
ское ожидание дохода за длительное время эксплуатации невосстанавливаемой ЭВМ равно
D = 1im D(1, t) = с1 |
/ |
_= const, |
t-сю |
|
|
что следует из (2.46). Или, рассуждая иначе: с1 -- стоимость одного часа полезно? работы ЭВМ, а Х-1 среднее время безотк iзной работы ЭВМ, значит, если
100
2.9. Технико-экономический анализ функционирования ЭВМ
нeвoccтaнaоливaeмaя мauпцia начинает фyг-пaц3oинpoвaть в paбoтorпocoбнoм
состоянии, то ожидаемый доход до момента отказа ЭВМ составит величину c1? 1
Решение системы дифференциальных уравнений (2.44) можно определить c помощью операционного исчисления, например c помощью пpeoб-
paзoвaния Лaплaca—Kapcoнa [9]. Пусть D(i, p) |
— изображение для D(i, t), |
|||||
p — комплексный параметр, i E Е. Используя известные формулы |
|
|||||
t) p[D(i, p) – D(i, 0)], |
i E {0,1}; |
(2.48) |
||||
dt |
|
|
|
|
|
|
p+a |
a– а а |
а – а |
_at |
(2.49) |
||
|
^ |
2 |
2 |
|
||
рСр |
+ а а а а |
|
е |
|||
|
^ |
|
||||
) |
|
|
|
|
||
можно вместо (2.44) записать следующую систему алгебраических уравнений:
PD(0, P) = do – µD(0, P) +µDid, P); |
(2.50) |
|
pD(1, р) = d1 + |
D(0, р) - ?D(1, р). |
(2.51) |
Из (2.50) видно, что D(0, p) _ [do + µD(1, p)](p + µ) . Подставим в |
||
(2.51) значение D(0, p) и получим |
|
|
D( 1, P) = di |
P + ( µ +Jodi-1) . |
(2.52) |
|
||
Если же выразить D(1, p) через D(0, p) при помощи (2.51) и подста- |
||
вить В(1, p) в (2.50), то получим |
|
|
5(o, р) = d0 |
р+(+td1dо 1 ) |
(2.53) |
|
PCP + (? + µ)J |
|
Из (2.52), (2.53) и (2.49) следует решение (2.45) системы диффepeнци-
aльныx уравнений (2.44).
Таким образом, аппарат мapкoвcкиx процессов c доходами позволяет вывести расчетные формулы для математического ожидания дохода, прино-
симого при эксплуатации ЭВМ. Вычислительные трудности при таком аналитическом расчете незначительны; численный расчет значений D(i, t),
i E Е, также не выдвигает серьезных трудностей. Однако здесь мы имели
дело c наиболее простым объектом — вычислительной машиной, имеющей
два состояния. Если при функционировании ЭВМ необходимо (c точки зpeния надежности) различать много состояний или же если исследуется BC
101
2. Архитектура электронных вычисл^^тельных машин
параллельного действия, то надеяться на простоту технико-экономического анализа не приходится. Трудности анализа BC c помощью мapкoвcкиx пpo-
становятся настолько сложными, что сам этот подход
отвергается инженерной практикой. далее рассмотрим подход, который не сложнее только что рассмотренного и приводи к тем же расчетным фopмyлaм. достоинство предлагаемого подхода заключается в возможности его трансформации для параллельных BC, причем такой трансформации, кoтopaя не приводит к заметному увеличению расчетных трудностей.
Способ 2. Найдем оценку D(i, t + At), i E {0, 1}, математического oжидaния дохода ЭВМ к моменту времени (t + At) c учетом малых величин по-
рядка не выше At. Эта оценка определяется как сумма oжидaeмыx доходов на промежутках времени [0, t) и [t, t + At) за вычетом расходов на вoccтa-
нoвлeниe ЭВМ и издержек, связанных c coдep жaниeм восстанавливающего устройства в течение времени At.
Если ЭВМ при t 0 нepaбoтocпocoбж и на промежутке времени [t, t + At) будет восстановлена, то из-за издержек на восстановление имеет
место отрицательный доход
—Pa (i, t)Pai (Ot)cз + o(At) = —[1 — s(i, t)]u(Аt)cз + o(At).
B случае если за At восстановление отказавшей машины не осуществляется, доход равен нулю.
Если ЭВМ в момент времени t > 0 работоспособна и сохранит свое состояние неизменным в последующее время At, то ожидаемый доход за
At составит величину
P (i, t)P 1 (Аt)c1 Аt + o(At) = s(i, t)r(Аt)c1 Ot + o(At).
8 случае перехода ЭВМ из paбoтocпocc^бнoro состояния в неработоспособное на промежутке времени [t, t + At) ожидаемый доход равен нулю.
Независимо от состояния ЭВМ в момент времени t ) 0 в условиях ее коммерческой эксплуатации ожидаемый дo^.oд на промежутке времени [t, t + At) сокращается на величину c2 Аt, равную себестоимости содержа-
ния BУ (2.28).
Учет найденных оценок позволяет записать
D(i, t + At) = D(i, t) —[1 — s(i, t)]u(Ot)cз + s(i, t)r(Аt)c1 Ot — c2Аt + o(At). (2.54)
Подставив в (2.54) оценки (2.41) для r(At) и ui;At), получим
D(i, t + At) = D(i, t) —[1 — s(i, t)][µ0t +o(Ot)]c з +
+ s(i, t)[1— ?'‚At + o(Ot)]c1 Ot — ^ZOt + o(At). |
(2.55) |
102