sopromat_zoi_doc / РГР - Валы
.doc
Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева
Кафедра прикладной механики
Расчётно-графическая работа по теме «Валы»
вариант А4
Работу выполнил: Голубенко Иван Сергеевич, гр. ВК-24
Работу проверил: Антонов Сергей Игоревич
Постановка задачи
Дано:
L = 50 мм
D1 = 400 мм
D2 = 800 мм
N = 19 кВт – мощность, которую передают зубчатые колёса валу
ω = 30 рад/с – угловая скорость вращения вала
Fr1 = P1 = 0,4F1
Fr2 = P2 = 0,4F2
[σ] = 60 МПа
Е = 2*105 МПа
Рассчитать:
1. Реакции подшипников (опор) по X
2. Реакции подшипников (опор) по Y
3. Эпюру крутящих моментов
4. Эпюру изгибающих моментов по X
5. Эпюру изгибающих моментов по Y
6. Диаметр вала по гипотезе наибольших касательных напряжений
7. Прогиб вала в точке «С», находящейся под колесом D2
Определение сил
M (F1) = M (F2) = M = N/ω = 19000/30 = 633,3333 Н*м
F1 = 2M/D1 = 3166,667 Н
F2 = 2M/D2 = 1583,333 Н
-
Реакции подшипников по X
Σ MA = 0 и Σ MB = 0
RXA*9L + F1*7L – P2*3L = 0
RXA = (3P2 – 7F1)/9
RXA = (1,2F2 – 7F1)/9 = -2251,9 Н
F1*2L – P2*6L + RXB*9L = 0
RXB = (6P2 – 2F1)/9
RXB = (2,4F2 – 2F1)/9 = -281,5 Н
Проверка
RXB + RXA + F1 – P2 = (2,4F2 – 2F1)/9 + (1,2F2 – 7F1)/9 +F1 – 0,4F2 = 0. Верно.
-
Реакции подшипников по Y
Σ MA = 0 и Σ MB = 0
RYA*9L + F2*3L – P1*7L = 0
RYA = (7P1 – 3F2)/9
RYA = (2,8F1 – 3F2)/9 = 457,4 Н
F2*6L – P1*2L + RYB*9L = 0
RYB = (2P1 – 6F2)/9
RYB = (0,8F1 – 6F2)/9 = -774,1 Н
Проверка
RYB + RYA + F2 – P1 = (0,8F1 – 6F2)/9 + (2,8F1 – 3F2)/9 + F2 – 0,4F1 = 0. Верно.
-
Крутящий момент
M (F1) = M (F2), т.к М = M(N, ω), следовательно MA = MB = 0
1 участок
Mкр1 = 0
2 участок
Mкр2 = M (F1) = 633,3333 Н*м
3 участок
Mкр2 = M(F1) – M(F2) = 0
Эпюра крутящих моментов
-
Изгибающий момент по X
1 участок
MиX1 = RXA*z = (1,2F2 – 7F1)z/9
MиX1(2L) = -225,2 Н*м
2 участок
MиX2 = RXAz + F1(z - 2L) =
= z*(1,2F2 – 7F1)/9 + z*F1 – 2LF1
MиX2 = z*(1,2F2 + 2F1)/9 – 2LF1
MиX2(2L) = -225,2 Н*м
MиX2(6L) = -42,2 Н*м
3 участок
MиX3 = RXAz + F1(z - 2L) – P2 (z – 6L) = z*(1,2F2 – 7F1)/9 + z*F1 – 2LF1 – P2z + +6LP2
MиX3 = z*(2F1 – 2,4F2)/9 + (2,4F2 – 2F1)L
MиX3(6L) = -42,2 Н*м
MиX3(9L) = 0
Эпюра изгибающих моментов по Х
-
Изгибающий момент по Y
1 участок
MиY1 = RYA*z = (2,8F1 – 3F2)z/9
MиY1(2L) = 45,7 Н*м
2 участок
MиY2 = RYAz – P1(z – 2L) = (2,8F1 – 3F2)z/9 – P1z + 2LP1
MиY2 = -z(0,8F1 +3F2)/9 +0,8LF1
MиY2(2L) = 45,7 Н*м
MиY2(6L) = -116,1 Н*м
3 участок
MиY3 = RYAz – P1(z – 2L) + F2(z – 6L) =
= (2,8F1 – 3F2)z/9 – P1z + 2LP1 + F2z – 6LF2 = z*(6F2 – 0,8F1)/9 + L(0,8F1 – 6 F2)
MиY3 = z*(6F2 – 0,8F1)/9 + L(0,8F1 – 6 F2)
MиY3(6L) = -116,1 Н*м
MиY2(9L) = 0
Эпюра изгибающих моментов по Y
-
Диаметр вала
Для расчета диаметра вала нужно определить момент Mэкв, представляющий собой максимальную геометрическую сумму всех моментов: по X, по Y и крутящего. Имеются 2 критические точки: z = 2L и z = 6L
Mэкв1 = (M2иX(2L) + M2иY(2L) + Mкр)0,5 = 673,7 Н*м
Mэкв2 = (M2иX(6L) + M2иY(6L) + Mкр)0,5 = 645,3 Н*м
Mэкв = Mэквmax = Mэкв1 = 673,7 Н*м
Максимальное касательное напряжение: σэкв = Mэкв/W ≤ [σ]
W = πd3/32
σэкв = 32*673,7/πd3 = 21558,4/πd3 = [σ] = 60*106 Па
d = (21558,4/(π*106*60))1/3 = 0,04855 м = 4,855 см = 48,55 мм
d = 48,55 мм
-
Прогиб в точке «С»
Прогиб Х
Введём единичную силу в точке «С», построим эпюру от неё и по правилу Верещагина перемножим её на эпюру моментов.
RXB* = 2/3; RXA* = 1/3
z1 = 4L/3
z2 = 10L/3
z3 = 7L
a1 = RXA*z1 = 4L/9
a2 = RXA*z2 = 10L/9
a3 = RXA*z3 – 1(z3–
6L) = 4L/3
S1 = 225,2*2L/2 = 11,26
S2 = 225,2*4L/2 = 22,52
S3 = 42,2*3L/2 = 3,17
ΔX = (S1a1 + S2a2 + S3a3)/EI = 3,1399 * 10-5 м
Прогиб Y
z1 = 4L/3
z2 = 8L/3
z3 = 16L/3
z4 = 7L
a1 = RYA*z1 = 4L/9
a2 = RYA*z2 = 8L/9
a3 = RYA*z3 = 16L/9
a4 = RYA*z3 – L = 4L/3
S1 = 2L*45,7/2 = 2,29
S2 = 45,7*45,7*4L/(2*161,8)= 1,29
S3 = 116,1*(4L - 45,7*4L/(161,8))/2 = 8,33
S4 = 116,1*3L/2 = 8,71
ΔY = (S1a1 + S2a2 + S3a3 + S4a4)/EI = 2,62046*10-5
Общий прогиб
Δ = (ΔX2 + ΔY2)0,5 = 4,089716692 * 10-5 = 0,04 мм
Обобщение ответов
Числа на эпюрах – в Н*м
Реакции левого подшипника: RXA = -2251,9 Н; RYA = 457,4 Н;
Реакции правого подшипника: RXB = -281,5 Н; RYB = -774,1 Н;
Диаметр вала: d = 48,55 мм
Прогиб вала в точке «C»: Δ = 0,04 мм