22

ТЕМА 4

ЦІЛЬ ЛЕКЦІЇ ввести поняття системи лінійних рівнянь і її розв’язку; дати геометричну інтерпретацію системи лінійних рівнянь і її розв’язку ввести поняття окремих випадків систем лінійних рівнянь; дати стандартну функцію розв’язку системи лінійних рівнянь в програмному комплексі MathCAD Ключові слова: система лінійних рівнянь, розв’язок вироджена система рівнянь

1.4. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Більшість задач теорії споруд зводиться до розв’язку системи лінійних рівнянь. Так, наприклад, усі чисельні методи розрахунку статично невизначених систем, плит, оболонок зводяться до рішення системи лінійних рівнянь, невідомі котрої є зусилля в перетинах елементів чи переміщення. Тому вважається, що апарат розв’язку систем лінійних рівнянь є базисом чисельних методів.

—

Визначення. Система з рівнянь називається лінійною, якщо кожен член рівнянь містить тільки одне невідоме і всі невідомих входять у рівняння в першому ступені. Розв’язоком системи є вектор значень невідомих, які задовольняють одночасно всім рівнянням. Параметр n – кількість рівнянь у системі (або кількість невідомих) називається порядком системи

У випадку двох рівнянь система має просту геометричну інтерпретацію – це дві прямі, координати точки їх перетину являють собою розв’язок системи.

Наприклад,

(1.16)

Рис.1.12. Геометрична інтерпретація системи двох рівнянь

Розв’язок цієї системи є і , ніякі інші значення не можуть одночасно задовольнити рівнянням (1.16).

У пошуках розв’язку системи рівнянь може бути три випадки:

• розв’язок системи рівнянь існує і є єдиним (як, наприклад, рівняння 1.16);

• система рівнянь взагалі не має розв’язку (як, наприклад, рівняння 1.17). Така система рівнянь називається виродженою;

• система рівнянь має нескінченну безліч розв’язків (як, наприклад, рівняння 1.18). Це також вироджена система рівнянь.

(1.17)

Рис.1.13. Геометрична інтерпретація системи двох рівнянь, що не має розв’язку (вироджена система рівнянь)

(1.18)

Рис.1.14. Геометрична інтерпретація системи двох рівнянь, що має безліч розв’язків (вироджена система рівнянь)

Майже вироджені системи

З погляду теорії система лінійних рівнянь буває виродженою чи не виродженою. Але з погляду практичних обчислень є ще проміжний тип систем рівнянь – майже вироджені системи рівнянь. Розв’язок таких систем рівнянь в значній мірі залежить від точності обчислень. Розглянемо таку систему рівнянь:

(1.19)

Рис.1.15. Геометрична інтерпретація майже виродженої системи двох рівнянь.

Ця система має єдиний розв’язок . Тепер розглянемо пари значень невідомих . При підстановці цих значень у вихідні рівняння (1.19), одержуємо значення правих частин 12.075 і 16.905, що з точністю до двох значущих цифр задовольняє заданим рівнянням.

ФУНКЦІЯ MathCAD

В програмному комплексі MathCAD є стандартна функція розв’язку систем лінійних рівнянь. Вона має вид

X:= lsolve (A, B),

де Х – ідентифікатор вектора розв’язку системи;

А – матриця коефіцієнтів системи лінійних рівнянь

В – вектор елементів правої частини системи (вектор вільних членів)

На рис. 1.16 показано приклад розв’язку системи лінійних рівнянь в програмному комплексі MathCAD.

Рис. 1.16. Розв’язок системи лінійних рівнянь в програмному комплексі MathCAD