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CKT_l.r.05_Prognozirovanie / Наближення функц_й в Mathcad

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33

əɤɳɨ ɥɿɧɿɣɧɚ ɚɛɨ ɩɨɥɿɧɨɦɿɚɥɶɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɧɟ ɩɿɞɯɨɞɹɬɶ ɞɥɹ ɨɩɢɫɚɧɧɹ ɞɨɫɥɿ- ɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ, ɬɨ ɦɨɠɧɚ ɫɩɪɨɛɭɜɚɬɢ ɡɦɨɞɟɥɸɜɚɬɢ ɞɚɧɭ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɡɚ ɞɨ- ɩɨɦɨɝɨɸ ɜɛɭɞɨɜɚɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ ɜɢɝɥɹɞɭ linfit ɚɛɨ genfit.

əɤɳɨ ɩɪɢɩɭɫɤɚɽɬɶɫɹ, ɳɨ ɞɚɧɿ ɦɨɠɧɚ ɡɦɨɞɟɥɸɜɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɤɨɦ- ɛɿɧɚɰɿʀ ɞɨɜɿɥɶɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ f0 (x),f1(x), ...fn (x) , ɬɨ ɫɥɿɞ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɬɢ ɮɭɧɤɰɿɸ ɥɿ-

ɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ ɜɢɝɥɹɞɭ linfit(X,Y,F), ɹɤɚ ɨɛɱɢɫɥɸɽ ɜɟɤɬɨɪ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧ-

ɬɿɜ k0 ,k1,...kn ɞɥɹ ɪɟɝɪɟɫɿʀ y(x) k0 f0 (x) k1 f1(x) ... kn fn (x). Ⱥɪɝɭɦɟɧɬ

F ɽ ɜɟɤɬɨɪ, ɳɨ ɫɬɜɨɪɸɽɬɶɫɹ ɡ ɮɭɧɤɰɿɣ f0 (x),f1(x), ...fn (x) . ɋɥɿɞ ɡɚɭɜɚɠɢɬɢ: ɰɿ

ɮɭɧɤɰɿʀ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɞɨɜɿɥɶɧɢɦɢ (ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɢɦɢ ɿ ɬɪɚɧɫɰɟɧɞɟɧɬɧɢɦɢ), ɳɨ ɡɧɚɱ- ɧɨ ɪɨɡɲɢɪɸɸɬɶ ɦɟɠɿ ɬɚɤɨʀ ɚɩɪɨɤɫɢɦɚɰɿʀ.

Ɂ ɞ ɱ _6. ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɞɚɧɿ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɭ ɦɨɠɧɚ ɨɩɢɫɚɬɢ ɥɿɧɿɣɧɨɸ ɤɨɦɛɿ-

ɧɚɰɿɽɸ ɮɭɧɤɰɿɣ f0 (t), f1(t), f2 (t), ɞɟ f0 (t) t2 ; f1(t)

t ; f2

(t)

 

1

.

t

 

 

 

 

1

1. ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɥɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ W

W(T) ɥɿɧɿɣɧɭ ɪɟɝɪɟɫɿɸ ɡɚɝɚ-

ɥɶɧɨɝɨ ɜɢɝɥɹɞɭ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ linfit.

2.ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤ ɰɿɽʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɪɚɡɨɦ ɡ ɜɭɡɥɨɜɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ.

3.Ɉɬɪɢɦɚɬɢ ɬɚɛɥɢɰɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɰɿɽʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɪɝɭ-

ɦɟɧɬɚ t [0;1,2] ɡ ɤɪɨɤɨɦ 't 0,1.

4. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜ ɩɪɨɦɿɠɧɢɯ ɬɨɱɤɚɯ

t0,5 ɬɚ t 0,9.

5.Ɂɧɚɣɬɢ ɩɪɨɝɧɨɡɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜ ɬɨɱɰɿ

t1,2.

Ɋɨɡɜ’ɹɡ ɧɧɹ ɡ ɞ ɱɿ

34

Ɂ ɞ ɱ 7. ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɞɚɧɿ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɭ ɦɨɠɧɚ ɨɩɢɫɚɬɢ ɥɿɧɿɣɧɨɸ ɤɨɦɛɿ-

ɧɚɰɿɽɸ ɮɭɧɤɰɿɣ f0

(x), f1(x), f2

(x) , ɞɟ f0

(x)

1

; f1(x) x2 ; f2 (x) ex .

x

 

 

 

 

 

1.

ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɥɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ D D(X) ɥɿɧɿɣɧɭ

ɪɟɝɪɟɫɿɸ ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ ɜɢɝɥɹɞɭ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ linfit.

2.ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤ ɰɿɽʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɪɚɡɨɦ ɡ ɜɭɡɥɨɜɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ.

3.Ɉɬɪɢɦɚɬɢ ɬɚɛɥɢɰɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ

x [1;6] ɡ ɤɪɨɤɨɦ 'x 0,5.

4.Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜ ɩɪɨɦɿɠɧɢɯ ɬɨɱɤɚɯ x 2 ɬɚ x 4.

5. Ɂɧɚɣɬɢ ɩɪɨɝɧɨɡɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜ ɬɨɱɰɿ x 6.

Ɋɨɡɜ’ɹɡ ɧɧɹ ɡ ɞ ɱɿ

35

əɤɳɨ ɞɟɹɤɢɣ ɩɪɨɰɟɫ ɧɟ ɜɞɚɽɬɶɫɹ ɹɤɿɫɧɨ ɡɦɨɞɟɥɸɜɚɬɢ ɥɿɧɿɣɧɨɸ ɤɨɦɛɿɧɚ- ɰɿɽɸ ɡɚɞɚɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ, ɬɨɛɬɨ ɹɤɳɨ ɝɧɭɱɤɿɫɬɶ ɮɭɧɤɰɿʀ linfit ɜɢɹɜɢɥɚɫɹ ɞɥɹ ɞɚɧɨɝɨ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɝɨ ɜɢɩɚɞɤɭ ɧɟ ɞɨɫɬɚɬɧɶɨɸ, ɬɨ ɦɨɠɧɚ ɫɩɪɨɛɭɜɚɬɢ ɡɦɨɞɟɥɸɜɚɬɢ ɰɟɣ ɩɪɨɰɟɫ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ ɧɟɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ ɜɢɝɥɹɞɭ genfit.

Ɏɭɧɤɰɿɹ genfit(X,Y,K,F) ɨɛɱɢɫɥɸɽ ɜɟɤɬɨɪ ɡ n ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ k0 ,k1,...kn 1, ɹɤɿ

ɡɚɛɟɡɩɟɱɭɸɬɶ ɧɚɣɤɪɚɳɟ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ ɧɚɣɦɟɧɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɞɚɧɢɯ ɡ X, Y ɮɭɧɤɰɿɽɸ f (x,k0 ,k1,...kn 1) . Ⱥɪɝɭɦɟɧɬ K ɜɟɤɬɨɪ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɞɥɹ

 

36

n ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ

k0 ,k1,...kn 1; ɚɪɝɭɦɟɧɬ F ɜɟɤɬɨɪ, ɟɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɹɤɨɝɨ ɽ ɮɭɧɤɰɿɹ

f (x,k0 ,k1,...kn 1) ɬɚ ʀʀ ɱɚɫɬɤɨɜɿ ɩɨɯɿɞɧɿ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ k0 ,k1,...kn 1.

Ɂ ɞ ɱ _8.

ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɞɚɧɿ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɭ ɡɦɿɧɸɸɬɶɫɹ ɡɚ ɡɚɤɨɧɨɦ

ek0 k1 x k2 x2 .

1.ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɥɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ Y Y(X) ɧɟɥɿ-

ɧɿɣɧɭ ɪɟɝɪɟɫɿɸ ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ ɜɢɝɥɹɞɭ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ genfit.

2.ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤ ɰɿɽʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɪɚɡɨɦ ɡ ɜɭɡɥɨɜɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ.

3.Ɉɬɪɢɦɚɬɢ ɬɚɛɥɢɰɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ x [0;1] ɡ ɤɪɨɤɨɦ 'x 0,1.

4.Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜ ɩɪɨɦɿɠɧɢɯ ɬɨɱɤɚɯ

x 0,3 ɬɚ x 0,5.

5. Ɂɧɚɣɬɢ ɩɪɨɝɧɨɡɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜ ɬɨɱɰɿ x 1.

Ɋɨɡɜ’ɹɡ ɧɧɹ ɡ ɞ ɱɿ

37

Ɂɞ ɱ _9. ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɞɚɧɿ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɭ ɡɦɿɧɸɸɬɶɫɹ ɡɚ ɡɚɤɨɧɨɦ ek0 k1 x .

1.ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɥɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ W W(T) ɧɟɥɿ-

ɧɿɣɧɭ ɪɟɝɪɟɫɿɸ ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ ɜɢɝɥɹɞɭ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ genfit.

2.ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤ ɰɿɽʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɪɚɡɨɦ ɡ ɜɭɡɥɨɜɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ.

3.Ɉɬɪɢɦɚɬɢ ɬɚɛɥɢɰɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ

t [0;5] ɡ ɤɪɨɤɨɦ 't 0,5.

4. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜ ɩɪɨɦɿɠɧɢɯ ɬɨɱɤɚɯ t 0,8 ɬɚ t 2,5.

5. Ɂɧɚɣɬɢ ɩɪɨɝɧɨɡɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɜ ɬɨɱɰɿ t 5.

Ɋɨɡɜ’ɹɡ ɧɧɹ ɡ ɞ ɱɿ

38

əɤɳɨ ɡɚɡɞɚɥɟɝɿɞɶ ɜɿɞɨɦɨ, ɡɚ ɹɤɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɛɭɞɟ ɡɦɿɧɸɜɚɬɢɫɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚ- ɧɢɣ ɩɪɨɰɟɫ, ɡɪɭɱɧɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɧɨɜɿ ɜɛɭɞɨɜɚɧɿ ɮɭɧɤɰɿʀ expfit(X,Y,K);

lgsfit(X,Y,K); logfit(X,Y); medfit(X,Y); pwrfit(X,Y,K); sinfit(X,Y,K), ɳɨ ɡ'ɹɜɢ-

ɥɢɫɹ ɜ Mathcad 2000 PRO.

əɤɳɨ ɜɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɚɩɪɨɤɫɢɦɭɸɱɚ ɮɭɧɤɰɿɹ ɩɨɜɢɧɧɚ ɦɚɬɢ ɜɢɝɥɹɞ:

y(x)

k0 ek1x

k2 , ɚɛɨ y(x)

 

 

k0

 

,

1 k

1

e k2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɚɛɨ y(x)

k0 xk1

k2 , ɚɛɨ y(x)

k0 sin(x

k1) k2 ,

ɬɨ ɲɭɤɚɧɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ

k0 , k1, k2 ɦɨɠɧɚ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ

ɮɭɧɤɰɿɣ expfit(X,Y,K),

lgsfit(X,Y,K), pwrfit(X,Y,K);

 

sinfit(X,Y,K), ɹɤɿ ɮɨɪ-

39

ɦɭɸɬɶ ɜɟɤɬɨɪ ɡ ɰɢɯ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ. ȼɟɤɬɨɪ K ɦɿɫɬɢɬɶ ɩɨɱɚɬɤɨɜɟ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ ɞɨ ɲɭɤɚɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ k0 , k1, k2 .

əɤɳɨ ɜɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɚɩɪɨɤɫɢɦɭɸɱɚ ɮɭɧɤɰɿɹ ɩɨɜɢɧɧɚ ɦɚɬɢ ɜɢɝɥɹɞ:

y(x)

k0 ln(x

k1) k2 ɚɛɨ y(x) k0 k1 x ,

ɬɨ ɲɭɤɚɧɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ

k0 , k1, k2

ɦɨɠɧɚ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ

ɮɭɧɤɰɿɣ logfit(X,Y), medfit(X,Y), ɹɤɿ ɮɨɪɦɭɸɬɶ ɜɟɤɬɨɪ ɡ ɰɢɯ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ.

Ɂ ɞ ɱ _10. ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɪɨɰɟɫ, ɡɚɞɚɧɢɣ ɬɚɛɥɢɰɟɸ ɞɚɧɢɯ,

ɦɨɠɧɚ ɨɩɢɫɚɬɢ ɮɭɧɤɰɿɽɸ k0 ek1t

k2 .

1.ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɥɹ ɞɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɚɩɪɨɤɫɢɦɚɰɿɣɧɭ ɮɭɧɤɰɿɸ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ expfit.

2.ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤ ɰɿɽʀ ɚɩɪɨɤɫɢɦɚɰɿɣɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɚɡɨɦ ɡ ɜɭɡɥɨɜɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ.

3.Ɉɬɪɢɦɚɬɢ ɬɚɛɥɢɰɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɰɿɽʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ

t [0;5] ɡ ɤɪɨɤɨɦ 't 0,5.

4.

Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɜ ɩɪɨɦɿɠɧɢɯ ɬɨɱɤɚɯ

t 0,8 ɬɚ

 

t 2,7 .

 

5.

Ɂɧɚɣɬɢ ɩɪɨɝɧɨɡɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɜ ɬɨɱɰɿ t

5.

Ɋɨɡɜ’ɹɡ ɧɧɹ ɡ ɞ ɱɿ

40

Ɂ ɞ ɱ _11. ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɪɨɰɟɫ, ɡɚɞɚɧɢɣ ɬɚɛɥɢɰɟɸ ɞɚɧɢɯ, ɦɨɠɧɚ ɨɩɢɫɚɬɢ ɮɭɧɤɰɿɽɸ k0 xk1 k2 .

1.ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɥɹ ɞɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɚɩɪɨɤɫɢɦɚɰɿɣɧɭ ɮɭɧɤɰɿɸ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ pwrfit.

2.ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤ ɰɿɽʀ ɚɩɪɨɤɫɢɦɚɰɿɣɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɚɡɨɦ ɡ ɜɭɡɥɨ- ɜɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ.

3.Ɉɬɪɢɦɚɬɢ ɬɚɛɥɢɰɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɰɿɽʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ

x [0;6] ɡ ɤɪɨɤɨɦ 'x 0,5.

4. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɜ ɩɪɨɦɿɠɧɢɯ ɬɨɱɤɚɯ x 2,5 ɬɚ

x4,5.

5. Ɂɧɚɣɬɢ ɩɪɨɝɧɨɡɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɜ ɬɨɱɰɿ x 6.

Ɋɨɡɜ’ɹɡ ɧɧɹ ɡ ɞ ɱɿ

41

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