MathCAD. Лабораторний практикум. 2010
.pdf
|
|
|
Продовження таблиці 2.4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
v - s, |
|
Різниця масиву та |
Віднімає від кожного |
A - s |
|
скаляра |
елемента масиву скаляр |
- v, |
|
Зміна знаку |
Змінює знак кожного елемен- |
- A |
|
|
та масиву на протилежний |
A u |
|
Добуток матриці на |
Знаходить добуток матриці з |
|
|
вектор |
m стовпчиками на вектор з m |
|
|
|
рядками |
A B |
|
ДобутокматриціA |
Помножає матрицю з m |
|
|
наматрицюB(неза- |
стовпчиками на матрицю з m |
|
|
вждидорівнюєB A) |
рядками |
A + B, |
|
Сумаматриць |
Складає відповідні елементи |
B + A |
|
однаковогорозміру |
матриць |
A - B |
|
Різниця матриць |
Віднімає від елементів A |
|
|
однаковогорозміру |
відповідні елементи B |
Mn |
|
Степіньквадратної |
n > 0 - добуток n матриць; |
|
|
матриці |
n = 0 - одинична матриця; |
|
|
|
n < 0 - добуток n обернених |
|
|
|
матриць. |
Векторні й матричні функції
Вбудовані функції для роботи з векторами та матрицями можна розділити на три групи (табл. 2.5, 2.6 та 2.7).
1.Функції, які повертають скалярні характеристики векторів і матриць.
2.Функції, які повертають новий вектор чи матрицю.
3.Функції сортування масивів.
Таблиця 2.5
Функції для знаходження скалярних характеристик векторів і матриць
Функція |
Результат |
|
cols(A) |
Число стовпців у матриці А |
|
length(v) |
Число елементів вектора v |
|
last(v) |
Індекс останнього елемента вектора v |
|
max(A) |
Найбільший елемент масиву А |
|
min(A) |
Найменший елемент масиву А |
|
norm1(M) |
L1 - норма квадратної матриці М. |
|
norm2(M) |
L2 - норма квадратної матриці М. |
|
norme(M) |
Евклідова норма квадратної матриці М. |
|
normi(M) |
Рівномірна норма квадратної матриці М. |
|
rows(A) |
Число рядків у матриці А |
|
tr(M) |
Слід квадратної матриці - сума елементів |
|
головної діагоналі |
||
|
||
rank(A) |
Ранг матриці А |
|
|
80 |
|
Таблиця 2.6 |
|
Функції для створення нових векторів і матриць |
||
|
|
|
Функція |
Результат |
|
augment (s1, s2, s2, …) |
Масив, утворений приєднанням до масиву А бік |
|
augment (v, u, w, …) |
у бік справа масиву В (число рядків повинно |
|
augment(A, B, C, …) |
бути однаковим) |
|
diag(v) |
Діагональна квадратна матриця з елементами |
|
вектора v на головній діагоналі |
||
|
||
diag(M) |
Вектор-стовпець із елементів головної діагоналі |
|
квадратної матриці |
||
|
||
identity(n) |
Одинична квадратна матриця розміром n n |
|
(діагональні елементи = 1, інші елементи = 0) |
||
|
||
matrix(m, n, f) |
Матриця розміром m × n, у якій i, j -й елемент |
|
визначається функцією користувача f(i, j) |
||
|
||
stack(s1, s2, s2, …) |
Масив, утворений приєднанням до масиву А |
|
stack(v, u, w, …) |
знизу масиву B (число стовпців повинно бути |
|
stack(A, B, C, …) |
однаковим) |
|
|
Субматриця з елементів матриці A в рядках з ir |
|
submatrix(A, ir, jr, ic, jc) |
по jr і стовпчиках з ic по jc. Якщо ir > jr, то |
|
порядок рядків буде оберненим, якщо ic > jc, то |
||
|
й порядок стовпчикив буде теж оберненим |
|
|
|
|
|
Таблиця 2.7 |
|
Функції сортування елементів векторів і матриць |
||
|
|
|
Функція |
Результат |
|
1 |
2 |
|
sort(v) |
Упорядковує елементи вектора v за зростанням |
|
csort(A, n) |
Упорядковує елементи А в стовпчику номер n за |
|
зростанням шляхом перестановки рядків |
||
|
||
rsort(A, n) |
Упорядковує елементи А в рядку номер n за |
|
зростанням шляхом перестановки стовпчиків |
||
|
||
reverse(v) |
Обертає порядок елементів вектора v |
|
reverse(sort(v)) |
Упорядковує елементи вектора v за спаданням |
|
reverse(А) |
Обертає порядок рядків матриці А |
|
Приклад. Властивості одиничної й оберненої матриць.
81
Зразок виконання лабораторної роботи
Умова. Задана квадратна матриця А та одинична матриця Е порядку n = 4. Виконати завдання, застосовуючи векторні й матричні оператори й функції.
1.Сформувати матрицю AT із транспонованої матриці A.
2.Сформувати вектор v з елементів 3-го рядка, вектор u з елементів головної діагоналі, вектор w з елементів побічної діагоналі матриці А.
3.Обчислити матрицю B, як добуток матриць A і AT, а матрицю C, як добуток матриць AT і A. Порівняти результати, і зробити висновок.
4.Сформувати діагональну матрицю D із квадратами елементів вектора v на головній діагоналі
5.Знайти max елементи матриць А, B, C та вектора v. Знайти max елемент у другому стовпчику, у третьому рядку, на головній та побічній діагоналях A.
6.Сформувати нову матрицю F, приєднавши до матриці А вектор v бік у бік, та матрицю G, розташувавши транспонований вектор u під матрицею A.
7.Сформувати нову матрицю A1 із матриці А, упорядкувавши елементи першого стовпця за спаданням.
8.Упорядкувати елементи вектора v за зростанням та за спаданням. Результати вивести в транспонованому вигляді.
9.Знайти p - довжину вектора v.
10.Обернути порядок стовпчиків матриці А. Обчислити першу норму С.
11.Знайти вектор z за формулою z = A-B AT v
12.Знайти скалярний добуток векторів u та v , і кут α між ними.
13.Знайти d - довжину вектора різниці векторів u та v, і з її допомогою знайти кут α між векторами.
Порядок виконання роботи
1.Відкрийте документ MathCAD LR01_Прізвище.xmcd і запишіть його на жорсткий диск у папку D:\Мои документы\Викладач\Група\ під іменем
LR05_Прізвище.xmcd.
2.Відредагуйте першу текстову область: а) змініть номер лабораторної роботи з №1 на №5; б) замініть речення "Лінійний алгоритм" на "Обробка масивів". Іншу частину робочого листка можна очистити.
3.Лістинг виконання завдань зразка лабораторної роботи з MathCAD №5 наведений на рис. 2.33.1 - 2.33.4.
4.Проаналізуйте умову завдання зразка даної лабораторної роботи, умову власного варіанта в розділі "Індивідуальні завдання для виконання роботи" нижче, лістинг виконання зразка даної лабораторної роботи й виконайте відповідним чином завдання власного варіанта.
5.Оформіть звіт про виконання лабораторної роботи за наступними пунктами:
Назва роботи, Тема роботи, Варіант, Група, Прізвище; Умова варіанту, Результати розрахунків; Висновки: перелік засвоєних елементів вхідної мови
MathCAD.
6. Захистіть роботу у викладача, давши відповіді на контрольні запитання.
82
Рис. 2.33.1. Лістинг виконання зразка ЛР з MathCAD №5
83
Рис. 2.33.2. Продовження лістингу виконання зразка ЛР з MathCAD №5
84
Рис. 2.33.3. Продовження лістингу виконання зразка ЛР з MathCAD №5
85
Рис. 2.33.4. Закінченнялістингу виконання зразка ЛР з MathCAD №5
86
Контрольні запитання.
1.Дайте визначення поняття "масив".
2.Чим визначається розмірність масиву?
3.Що таке розмір масиву?
4.Який масив називається вектором, матрицею, тензором?
5.Що таке гніздовий масив?
6.Для чого призначений нижній індекс елемента масиву?
7.Як уводиться нижній індекс елемента вектора?
8.Скільки індексів має елемент матриці, і що вони нумерують?
9.Назвіть способи створення масивів?
10.В якому вигляді виводиться масив?
11.Наведіть приклади векторних і матричних операторів.
12.Як знайти довжину вектора.?
13.Як знайти визначник матриці?
14.Коли матриця називається діагональною?
15.Що таке одинична матриця і яка її основна властивість?
16.Коли не існує обернена матриця?
17.Охарактеризуйте основну властивість оберненої матриці.
18.Яким чином додаються матриці?
19.Назвіть три групи векторних і матричних функцій.
20.Що таке підматриця і як її знайти?
Індивідуальні завдання для виконання лабораторної роботи №5
Виконати, застосовуючи матричні й векторні оператори та функції.
№1
Задана квадратна матриця А та одинична матриця Е порядку n = 4.
1.Обчислити транспоновану матрицю AT.
2.Сформувати вектор v з елементів третього стовпця матриці А.
3.Обчислити C = A AT.
4.Сформувати діагональну матрицю B, елементами головної діагоналі якої будуть елементи вектора v.
5.Знайти max елементи матриць А, B, C та вектора v.
6.Сформувати нову матрицю D, приєднавши до матриці А матрицю B бік у бік, та матрицю F, розташувавши матрицю А над матрицею B.
7.Сформувати нову матрицю G із матриці А, упорядкувавши елементи її першого стовпця за зростанням.
8.Упорядкувати елементи вектора v: а) за зростанням; б) за спаданням.
9.Знайти довжину вектора v.
10.Обернути порядок рядків матриці А. Обчислити першу норму матриці С.
11.Знайти вектор w за формулою:
w A-B AT v ,
де АТ - транспонована матриця А.
87
№2
Задані квадратні матриці А та B та одинична матриця Е порядку n = 5.
1.Сформувати вектор v з елементів другого стовпця матриці А.
2.Сформувати вектор w за формулою:
wA A T B v , де АТ - транспонована матриця А.
3.Знайти max та min значення матриць А, B, AT та векторів w, v.
4.Сформувати матрицю G, приєднавши до матриці A матрицю B бік у бік.
5.Знайти число m, що відповідає кількості стовпчиків матриці G.
6.Обчислити детермінант матриці А.
7.Обчислити довжину вектора w.
8.Обчислити A2.
9.Знайти добуток матриці А на вектор v.
10.Знайти суму двох матриць (А + B).
11.Обчислити C A AT E . Обчислити першу норму матриці С.
12.Сформувати матрицю H, упорядкувавши 3 рядок матриці C за зростанням.
№3
Задана квадратна матриця А та одинична матриця Е порядку n = 4.
1.Сформувати вектор v з елементів четвертого стовпця матриці А.
2.Знайти d - довжину вектора v.
3.Обчислити транспоновану матрицю AT.
4.Сформувати нову матрицю B, зменшивши елементи матриці А на d.
5.Знайти добуток матриці А на вектор v.
6.Сформувати вектор w за формулою: w A A T B 1 v
7.Обчислити суму, різницю та добуток матриць А та B.
8.Обчислити обернену матицю B-1.
9.Сформувати матрицю C = (A + A2 + E) і обчислити її детермінант.
10.Сформувати нову матрицю F, розташувавши А над B.
11.Знайти число рядків та стовпців матриціF. Обчислити першу норму матриці С.
12.Упорядкувати елементи вектора w: а) за зростанням; б) за спаданням.
№4
Задана квадратна матриця А та одинична матриця Е порядку n = 5.
1.Сформувати вектор v з елементів другого стовпця матриці А.
2.Визначити число рядків матриці А.
3.Сформувати матрицю С = АТ.
4.Сформувати вектор u з елементів другого рядка матриці С.
5.Знайти скалярний добуток u v.
6.Сформувати вектор w = A v, як добуток матриці A на вектор v.
7.Обчислити d = (A - E) w.
8.Обчислити першу норму матриці С.
9.Обчислити обернену матрицю A-1.
10.Визначити останній індекс вектора v.
11.Обчислити слід матриці С.
12.Знайти суму елементів вектора w.
88
№5
Задана квадратна матриця А та одинична матриця Е порядку n = 4.
1.Сформувати вектор v з елементів третього стовпця матриці А.
2.Знайти p - довжину вектора v.
3.Сформувати нову матрицю В, зменшивши елементи матриці А на p.
4.Сформувати нову матрицю D, приєднавши А до В бік у бік.
5.Обчислити визначник матриці В.
6.Сформувати матрицю C = A2 p.
7.Обчислити другу норму матриці C.
8.Знайти min та max значення елементів матриць А, В, С.
9.Знайти число рядків та стовпців матриці D.
10.Знайти суму матриць А та В.
11.Створити вектор w з упорядкованих за спаданням елементів вектора v. 12.Обчислити скалярний добуток векторів v та w: f = v w.
№6
Задана квадратна матриця А та одинична матриця Е порядку n = 5.
1.Сформувати вектор v з елементів другого стовпця матриціА.
2.Упорядкувати елементи вектора v за зростанням.
3.Сформувати матрицю C = AT, де АТ - транспонована матриця А.
4.Сформувати матрицю В, розташувавши матрицю C над матрицею A.
5.Визначити другу норму матриці А.
6.Сформувати діагональну матрицю D з елементів вектора v.
7.Упорядкувати матрицю А за зростанням елементів її першого стовпчика.
8.Обчислити p - детермінант матриці А.
9.Обчислити F = E + A + A2.
10.Одержати вектор w = A v.
11.Упорядкувати елементи вектора w за спаданням.
12.Знайти ранг матриці C.
№7
Задана квадратна матриця А та одинична матриця Е порядку n = 4.
1.Сформувати матрицю B = AT.
2.Сформувати вектор v з елементів другого рядка матриці А.
3.Обчислити p - детермінант матриці А.
4.Сформувати матрицю С, вилучивши другий стовпець із матриці А.
5.Обчислити D = (A + B) p.
6.Знайти слід матриці В.
7.Обчислити Евклідову норму матриці D.
8.Упорядкувати елементи 3-го стовпця матриці D за зростанням.
9.Обчислити max та min значення елементів матриць А, В, С, D.
10.Визначити число рядків та стовпців матриці С.
11.Обчислити слід матриці D.
12.Упорядкувати елементи вектора v за зростанням та спаданням.
89