Тема 13. Визначення напружень і переміщені» у масиві ґрунту під впливом зосередженого навантаження.

Напружений станґрунтової товщі Напружешш у пружному напівпросторі Формули Бусінеска./1. а126-132; 2. сЛЗ-174; 7. &61-64].

Навантаження від мостових опор, фундаментів будівель, коліс автомобіля, які передаються на ґрунт, викликають у ньому нормальні та дотичні напруження. Щоб визначити допустимі навантаження на мостову опору і фундамент будівлі, знайти необхідну за умовою міцності ґрунту товщину дорожнього одягу, треба вміти визначати напруження у ґрунтовому масиві.

Оскільки фактичну залежність між напруженнями і повними відносними деформаціями ґрунту можна замінити лінійною (тема 9), наближено для визначення напруження у ґрунтах використовують рішення класичної теорії пружності, основаної на законі Гука (17) і рівняннях рівноваги.

Розглядається ґрунтовий масив, який являє собою однорідний напівпростір - частину простору, обмежену площиноюяка нескінченно простягається у глибинуі в сторони(рис. 2). Матеріал напівпростору характеризують модулем(пружності або деформації) і коефіцієнтом поперечної деформації.

Рис. 2, Напружений стан в елементарній точці ґрунтового масиву при дії зосередженого навантаження

Під впливом зосередженого нормального навантаженняприкладеного на початку координат, у довільній точці

напівпростору виникає напружений стан. Щоб його охарактеризувати, виділяють навколо точкиелементарний паралелепіпед і розглядають виникаючі на трьох його взаємно перпендикулярних гранях нормальні напруженняі попарно

однакові між собою дотичні напруженняКрім

того, становить інтерес переміщеним точки М з її попереднього положення (до прикладання навантаження) в нове. Це переміщення розкладають на складовіпаралельні осямвідповідно.

Задача про напружено-деформоваиий, стан однорідного напівпростору вважається розв'язною, якщо для довільної його точки встановлені залежності напружень від навантажень, деформаційних характеристик напівпросторуі координатцієї точки.

Вирішення завдання про дію зосередженого навантаження на однорідний напівпростір одержав1>усіиеск. Зокрема, вертикальне напруження по горизонтальній площині дорівнює

(28)

де- найкоротша відстань від точкив якій

визначається напруження, доточки прикладення сили, що діє на початку координат- найкоротша відстань від

точкив якій визначається напруження, до лінії дії

зосередженого навантаження

До формули (28) не входять характеристикиматеріалу

напівпростору, тобто напруженняпри зосередженому навантаженні не залежить від цих характеристик.

Для вертикального переміщення точок "денної" поверхні напівпростору (тобто точок, які належать площині) Бусінеск одержав формулу

(29)

Обчислення за формулами (28) і (29) пояснюються прикладом розв'язання задачі 7 у підрозділі «Контрольні запитання і завдання".

Тема 14. Визначення напружень і переміщень в однорідному ґрунтовому масиві під впливом різних навантажень.

Плоска задача про напружено-деформований стан ґрунтового масиву. Просторова задача при навантаженні, прикладеному до кругової площини. Числове визначення напружень і переміщень при довільному навантаженні. [1. с. 132-141; 7. с.61-70; 8. с.60-65].

Розрізняють дві основні розрахункові схеми визначення напружень і переміщень ґрунтового масиву: 1) умови плоскої задачі, 2) умови просторової задачі.

Розрахункова схема плоскої задачі застосовується у тих випадках, коли вздовж однієї з координат навантаження і напружений стан масиву не змінюються. Наприклад, довжина автодорожнього насипу, що має постійну висоту, може набагато (більше ніж на порядок) перевищувати її ширину. Оскільки в усіх поперечних перерізах насипу і розташованого під ним ґрунтового масиву напружено-деформований стан від власної маси ґрунту однаковий, достатньо визначити напруження і переміщення для одного з цих поперечних перерізів. Умови плоскої задачі мають місце і для інших споруд, довжина яких значно перевищує ширину, а навантаження вздовж довжини не змінюється (ґрунтова основа під стрічковим фундаментом, під протяжною підпірною стінкою та ін.). Формули для визначення напружень і переміщень в умовах плоскої задачі виводять на основі рішення задачі про дію зосередженої сили. Нехай вертикальне навантаження розподілене уздовж осігоризонтальній площині завширшкипричому інтенсивність навантаження змінюється за шириною смуги за довільним законом(рис. 3).

Виберемо типовий поперечний переріз площиноюі визначимо вертикальне напруженняу точціґрунтового масиву. Виділивши на відстаняхуздовж осіуздовж осівід початку координат елементарну ділянку поверхні масиву площеюрозглянемо елементарне навантаження

яке припадає на цю ділянку, як зосереджену. Тоді напруженняу точцівід цього елементарного

навантаження, згідно з формулою (28), дорівнюватиме

Рис. 3. Схема до визначення напружень в умовах плоскої задачі

(ЗО)

де- найкоротша відстань між центром

елементарної ділянки і точкою, в якій визначається напруження.

Інтегруючи рівняння (ЗО) по осі х у межахі уздовж осі,

одержимо напруження від усього прикладеного навантаження

(31)

Зокрема, якщо інтенсивність навантаження за шириною смуги постійнато у виразі(31) слід прийнятиі для точок,

розташованих під центром смуги

(32)

Аналогічно визначаються переміщення та інші компоненти напружень. Для навантаженьякі змінюються за законами трикутника і трапецій; (тиск від дорожніх насипів і гребель), є готові таблиці і графіки, які полегшують обчислення [1; 10].

Розрахункова схема просторової задачі застосовуються у тих випадках, коли прикладене по поверхні напівпростору навантаження змінюється у двох напрямахЯк і в схемі плоскої задачі,

основою для одержання розрахункових формул служать формули для напруження і переміщень від зосередженого навантаження.

Наприклад, визначимо напруженняу напівпросторі на частинугоризонтальної граничної площини якого діє вертикальне навантаження, розподілене з інтенсивністю, що змінюється за закономУ середині навантаженої частини

граничної площини виділимо на відстаняхуздовж осіуздовж осі у від початку координат елементарну ділянку площеюСередня інтенсивність навантаження у межах цієї ділянки дорівнюватимеЯкщо розглянути навантаження

Інтегруючи рівняння (ЗО) по осі х у межах і уздовж осі

одержимо напруження від усього прикладеного навантаження

, як зосереджене і скористатись для визначення напруженняу точціформулою (28), то одержимо

Інтегруючи це рівняння по площівеісї навантаженої частини поверхні напівпростору, одержимо напруження від повного навантаження

(33)

Для різних видів розподілу навантаженняі форм

навантаженої площіцей інтеграл може бути приблизно обчислений на

Стосовно до розрахунків основ під фундаментами є готові таблиці напружень і переміщень для навантажень, розподілених за прямокутними площами [1; 10].

Для проектування дорожнього одягу важливе значення має випадок дії вертикального навантаження, рівномірно розподіленого з постійною інтенсивністюу межах кругової

площі діаметром. У такому вигляді приймають наван таження від колеса автомобіля на поверхню дорожньою покриття, вважаючи: інтенсивністьнаближено дорівнює тиску повітря у шині. При рівномірному вертикальному навантаженні по площі круга вертикальне напруження у точках однорідного напівпростору, розташованих під центром цього круга буде дорівнювати

(34)

Максимальне вертикальне переміщення (або прогин - осадка точки покриття, що збігається з центром навантаженої площі)

(35)

де- відповідно коефіцієнт і модуль поперечної деформації. Якщо вертикальне навантаженняприкладене до жорсткого (не здатного прогинатись) штампу з круговою підошвою площею(наприклад, до круглого фундаменту), то вертикальні переміщення всіх точок його підошви однакові

де- середній, тиск штампу на напівпростір.

Застосування формули (36) ілюструється прикладом розв'язання задачі 8 у підрозділі «Контрольні запитання і завдання».