1 семестр / РГР 1 - Вариант 61 - Соколов-Бородкин - 2007 / РГР - Растяжение-сжатие

Российский химико-технологический университет имени

Д. И. Менделеева

Кафедра прикладной механики

Расчётно-графическая

работа №1

Тема: «Растяжение-сжатие»

Вариант 61

Работу выполнил: Бахтин П.А., гр. О-13

Работу проверил: Соколов-Бородкин Е.С.

Постановка задачи

Дано:

L = 1,4 м

P = 120 кН

ΔT = +15 ^oC

[σ] = 120 МПа

σ = 240 МПа

Е = 2*10⁵ МПа

α = 0,124*10^-4 1/град

Определить:

Задача 1 (стат. опр.):

1. Эпюры N_z, σ_z

2. Площадь A(см²)

3. Для найденного A: N_z, σ_z

4. Эпюру ΔL_z

Задача 2 (стат. неопр.):

1. Раскрыть статическую неопределимость

2. Эпюры N_z, σ_z, ΔL_z

3. Определить n

Задача 3 (стат. неопр.):

При нагревании утолщ. участка бруса:

1. Раскрыть статическую неопределимость

2. Эпюры N_z, σ_z, ΔL_z

3. Определить n

Решение:

Y

Задача 1:

1.Создадим эпюру, отбрасывая с бруса R_п. Задача становится статически определимой: R_л+F₁+F₂ = 0

Используем метод сечений:

1. DK, 1-1:

N_z1 = 0 кН

σ_z1 = N_z / A3 = N_z1 / 1.5A = 0 / 1.5A = 0 МПа

2. CD, 2-2:

N_z2 = -P1 = -1.5*120 = -180 кН (Сжатие)

σ_z2 = N_z2 / A2 = -180 / 2A = -90 / A МПа

3. BC, 3-3:

N_z3 = -P1-P2 = -1.5P-3.5P = -5P = -600 кН (Сжатие)

σ_z3 = N_z3 / A1 = -600 / 4A = -150 / A МПа

2. Через условие прочности вычислим площадь A:

[σ_{z max}] ≤ [σ]

150 / A ≤ [σ]

A ≥ 150 / [σ] = 150*10³ / 120*10⁶ = 1, 25*10^-3 м²

3. Подставим значения А в дробные значения σ_z и посчитаем окончательный результат. (Выведен на эпюре σ_z)

4. Выведем и используем уравнение удлинения бруса:

ΔL_i = N_zi * l_i / E*A = σ_zi* l_i / E , где i - № участка

ΔL_{z BC} = N_z3 * l₃ / E*A1 =

-600*10³*1, 4 / 2*10⁵*10⁶*1, 25*10^-3*4 = -8, 4*10^-4 м

ΔL_{z CD} = ΔL_{z DK} = ΔL_{z BC} + N_z2*l₂ / E*A2 =

= -8, 4*10^-4 – 180*10³*1, 4 / 2*10¹¹*2*1, 25*10^-3 =

= -13, 44*10^-4 м Построим эпюру для ΔL_z.

Задача 2:

1. Рассчитаем R_к :

ΔL_z =0

ΔL_z= R_к*L / E*A1+ R_к*L / E*A2+ R_к*2L / E*A3 –P1*L/E*A1- - P1*L / E*A2 – P2*L/E*A1 = 0

R_к / 4A + R_к / 2A + 2R_к / 1, 5A – 1,5P / 4A – 1,5P / 2A –

- 3,5P/ 4A = 0

25 R_к=24P

R_к = 0, 96P = 115, 2 кН

2. Определим N_z , σ_z и ΔL_z , построим их эпюры :

DK:

N_z1= R_к = 0, 96P = 115, 2 кН (растяжение)

σ_z1 = N_z1 / A3 = 2, 27P / 1, 5A =

= 115, 2*10³/ 1, 5*1, 25*10^-3 = 61, 44 МПа

СD:

N_z2 = -P1 + R_к =

= 0, 96P – 1, 5P =

= -64, 8 кН (сжатие)

σ_z2 = N_z2 / A2 = -64, 8*10³ / 2*1, 25*10^-3 = -25, 92 МПа

BC:

N_z3 = -P1-

-P2+R_к =

= -1,5P -3,5P+ 0, 96P =

= -484, 8 кН

σ_z3 = N_z3 / A1 = -484, 8*10³ / 4*1, 25*10^-3 = -96, 96 МПа

ΔL_z :

BC:

ΔL_zC = σ_z3 * l₁ / E = -96,96*10⁶*1,4 / 2*10¹¹ = -6,79*10^-4 м

СD:

ΔL_zD =ΔL_zC + (σ_z2 * l₂ / E) = -6,79*10^-4 – (25,92*10⁶*1,4 / /2*10¹¹) = -8,6*10^-4 м

DK:

ΔL_zK =ΔL_zD + (σ_z1 * l₃ / E) = -8,6*10^-4 + (61,44*10⁶*1,4*2/

/2*10¹¹ = -0,16*10^-6 м

Рассчитаем погрешность:

(0,16*10^-6 / 8,6*10^-4)*100 = 0,02%

3. Рассчитаем коэффициент запаса прочности для бруса:

n = σ_т / σ_max = 240 / 96,96 = 2,5

Задача 3: Для расчета удлинения бруса будем использовать следующую связь с температурой:

ΔL_T= α*L_i*ΔT

ΣΔL_i =0

R_к*L / E*A1+ R_к*L / E*A2+ R_к*2L / E*A3 –P1*L/E*A1-

- P1*L / E*A2 – P2*L/E*A1 + α*L_i*ΔT = 0

R_к / 4A + R_к / 2A + 2R_к / 1, 5A – 1,5P / 4A – 1,5P / 2A –

- 3,5P/ 4A + α*L_i*ΔT*E = 0

25 R_к=24P – 12*α*L_i*ΔT*E

R_к = 0, 96P – 12*0,124*10^-4*1,4*15*2*10³= 108,95 кН

1. Определим N_z , σ_z и ΔL_z на нагретом участке:

BC:

N_z3 = -P1- P2+R_к = -1,5P -3,5P+ 108,95 =

= -491, 05 кН

σ_z3 = N_z3 / A1 = -491, 05 *10³ / 4*1, 25*10^-3 = -98, 21 МПа

ΔL_zC = σ_z3 * l₁ / E = -98,21*10⁶*1,4 / 2*10¹¹ = -6,87*10^-4 м

2. Рассчитаем коэффициент запаса прочности для бруса:

n = σ_т / σ_max = 240 / 98,21= 2,4

3. Изобразим изменения на эпюрах

12