1 курс 2 сесия / Вища математика / тесты и вопросы / ВМ питання для заочного

Екзаменаційні питання з курсу

«Вища математика»

для здачі академічної різниці заочного факультету

1. Визначники другого, третього, n–го порядків, їх властивості. Довести 3 властивості визначників.

2. Означення оберненої матриці. Довести теорему (необхідну і достатню умову існування оберненої матриці).

3. Системи n лінійних рівнянь з n невідомими, основні означення. Довести теорему (правило Крамера).

4. Властивості лінійно-залежних векторних систем, доведення.

5. Теорема (про розклад вектора за базисом векторної системи)

6. Вивести два основні рівняння прямої на координатній площині .

7. Доведення теореми про загальне рівняння прямої на координатній площині. Дослідження загального рівняння.

8. Кут між двома прямими, умова паралельності та перпендикулярності прямих.

9. Дослідження рівняння II-го порядку з двома змінними (еліптичний випадок).

10. Дослідження рівняння II-го порядку з двома змінними(гіперболічний випадок).

11. Дослідження рівняння II-го порядку з двома змінними (параболічний випадок).

12. Означення границі послідовності. Сформулювати властивості збіжних послідовностей (властивості границі). Довести одну із них.

13. Нескінченно малі послідовності, їх властивості (довести одну з них).

14. Зв’язок нескінченно малої та нескінченно великої послідовностей.

15. Теорема про зв’язок нескінченно малої та збіжної послідовностей. Арифметичні теореми про збіжні послідовності (довести одну з них).

16. Теореми порівняння (довести одну з них)

17. Означення неперервності функції в точці. Арифметичні теореми для функції, неперервних в точці. Довести одну з них.

18. Означення похідної функції, теорема про зв’язок диференційованості та неперервної функції.

19. Теорема про похідну складної функції.

20. Сформулювати арифметичні теореми для диференційовних функцій. Довести одну із них.

21. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Довести (на вибір) три із них.

22. Означення монотонних функцій. Довести теорему - критерій монотонності функції.

23. Теорема (перша достатня умова екстремуму функції).

24. Поняття функції двох змінних. Лінії рівня, їх економічний зміст на прикладі виробничих функцій та функцій попиту.

25. Частинні похідні функції двох змінних, їх економічний зміст на прикладі виробничих функцій та функцій попиту.

26. Повний диференціал функції двох змінних. Похідна за напрямом вектора. Градієнт функції та його властивості.

27. Означення екстремуму функції двох змінних. Необхідна умова екстремуму. Достатня умова екстремуму функції двох змінних.

28. Означення первісної функції. Теорема про множину первісних.

29. Означення невизначеного інтеграла. Властивості невизначеного інтеграла.

30. Таблиця основних інтегралів.

31. Метод інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Рекомендації до застосування.

32. Заміна змінних в невизначеному інтегралі.

33. Означення визначеного інтеграла. Теорема Ньютона-Лейбніца.

34. Властивості визначеного інтеграла, що виражаються рівностями.

35. Властивості визначеного інтеграла, що виражаються нерівностями.

36. Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Рекомендації до застосування.

37. Заміна змінних у визначеному інтегралі.

38. Диференціальні рівняння першого порядку. Основні поняття. Теорема Коші.

39. Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДР) другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Властивості розв’язків. Теорема про структуру загального розв’язку ЛОДР.

40. Теорема про загальний розв’язок ЛОДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

41. Розв’язування неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами в випадку правої частини спеціального вигляду.

Приклади екзаменаційних завдань

з вищої математики

для здачі академічної різниці заочного факультету

1. Для заданих матриць:

; ;

знайти

2. Розв’язати систему рівнянь:

.

а) за допомогою оберненої матриці ; б) методом Крамера .

2. Знайти один із базисів векторної системи:

, , .

Розкласти всі вектори за знайденим базисом.

4. Трикутник заданий вершинами А(8; -2), В(0; 6), С(4;-1). Знайти :

а) Внутрішній кут А;

б) Рівняння медіани, яка проходить через вершину С;

в) Рівняння висоти, проведеної з вершини В.

5. Дослідити криву (20 балів), схематично побудувати її.

6. Знайти границі:

а) ; б)

в) ; г) .

7. Знайти похідні функцій:

а) ; б) .

8. Знайти градієнт та похідну у напрямку вектора функції в точці . Схематично зобразити на площині вектор та градієнт, охарактеризувати результати.

9. Знайти екстремуми функції при умові .

10. Знайти екстремуми функції .

11. Знайти частинний (окремий) розв’язок ДР , що задовольняє умову .

12. Знайти загальний розв’язок ДР .

13. Знайти загальний розв’язок ДР .

14. Обчислити .

15. Знайти площу фігури, обмеженої лініями : .

16. Обчислити .

17. Знайти інтеграл .

18. Дослідити збіжність числового ряду

19. Знайти область збіжності степеневого ряду .