kontrolnye / Теория вероянтости / Теория вероянтости / зразок виконання контрольної роботи
.docЗавдання 1
На двох полицях стоять книги. На першій полиці 12 українською і 6 російською мовами. На другій відповідно 10 і 8. З першої полиці навмання перекладено книги на другу полицю. Яка ймовірність того, що а)навмання вибрана книга з другої полиці буде українською? б)з першої полиці перекладено російську книгу, якщо вибрана з другої полиці книга виявилась українською?
Завдання 2
Проведено n=900 незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутись подія А з імовірністю 0,8.
А) за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти ймовірність того, що подія А настане 720 разів.
Б) За інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти ймовірність того, що подія А настане від 700 до 722 разів.
Завдання 3
Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х. Знайти функцію розподілу F(x) і побудувати її графік.
Завдання 4
Випадкова величина Х задана функцією розподілу F(x). Знайти щільність розподілу f(x), ймовірність того, що Х прийме значення в інтервалі (α, β). Побудувати графік функцій F(x) і f(x).
F(x)=
α=3,β =4
Завдання 5
Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x). Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х. Знайти функцію розподілу F(x).
f (x)=
Завдання 6
Відомо математичне сподівання а і середнє квадратичне відхилення σ нормально розподіленої випадкової величини Х. знайти ймовірність того, що Х прийме значення з інтервалу (α, β).
а=3, σ=2, α=3, β=10
Завдання 1
Розв’язання
Нехай випадкові події: А – з 2-ї полиці взято одну українську книгу Н1 – з першої полиці перекладено одну українську книгу на другу полицю, Н2 – з першої полиці перекладено одну російську книгу на другу полицю. Знайдемо ймовірності Р(Н1), Р(Н2), Р(А/Н1), Р(А/Н2).
1)Р(Н1)=
2) Р(Н2)=
3) Р(А/Н1)=
4) Р(А/Н2)=
За формулою повної ймовірності: Р(А)=Р(Н1)× Р(А/Н1)+ Р(Н2)× Р(А/Н2)
Р(А)=
Відповідь: Р(А)=
б) за формулою Байєса Р(Н2/А)= ==
Відповідь: Р(Н2/А)=
Завдання 2
Розв’язання.
А) Локальна теорема Мавра-Лапласа: Pn(m)≈, де φ (х) – локальна функція Лапласа, вона табульована і парна хm=n =900, m=702, p=0.8, q=1-p=1-0.8=0.2
Отже
Xm=
За таблицею функції φ(х): φ(хm)=φ(1,5)≈0.1295
Підставимо всі дані задачі в формулу теореми:
Р900(702)≈
Відповідь: Р900(702)≈0,011
Б)Інтегральна теорема Муавра-Лапласа,
P(m1≤m≤m2)=Ф(x2)-Ф(x1), де Ф(х) інтегральна функція Лапласа (вона табульована і непарна),
х2=, х1=, m1=700, m2=728, n=900, p=0.8, q=0.2. Отже
х2=
х1=
2)За таблицею функції Ф(х):
Ф(х1)= Ф(-1.67)= -Ф(1,67)≈-0,4525
Ф(х2)≈0,0675.
3)Підставимо всі дані задач в формулу теореми
Р(700≤m≤728)≈0.0675+0.4525≈0.52
Відповідь: Р(700≤m≤728)≈ 0.52
Задача 3
Розв’язання
Х |
1 |
2 |
3 |
р |
0,2 |
0,7 |
0,1 |
Математичне сподівання М(х)
М(х)=х1р1+х2р2+х3р3=1×0,2+2×0,7+3×0,1=0,2+1,4+0,3=1,9
М (х)=1,9
Дисперсія Д(х): Д(х)=М(х2)-[М(х)]2, де Д(х)=М(х2)-[М(х)]2=
= ×pi -[M(x)]2=1×0,2+4×0,7+9×0,1-1.92=
=0.2+2.8+0.9-1.92=0.29 Отже
Функція розподілу F(x)
F(x)=p()
F(x)=
Побудуємо графік функції
Розподілу F(x)
F(x)
1
0,9
0,8
0,2
0,1
x
0 1 2 3 4 5
Завдання 4
Розв’язання
F(x)=, α=3, β=4
Щільність розподілу f(x)
f(x) =F/(x)=
Ймовірність того, що НВВ Х прийме значення в інтервалі (α;β), дорівнює приросту функції F(x) на цьому інтервалі тобто,
р(α<х<β)=F(β)-F(α)
P(3<x<4)=
Побудуємо графік функцій:
F (x)
1
1 2 3 4 5
f (x)
2/3
1/3
0 2 4 X
Завдання 5
f(x)
Розв'язання
Математичне сподівання М(х) випадкової величини х0, яка є неперервною на інтервалі (0;2):
М(х)=
=
Дисперсія
Д(х)=
=
Функція розподілу F(x)
F(x)=
1)якщо х≤0, то f(x)=0 i F(x)=
2)якщо 0<х≤2, то
F(x)=
3)Якщо х>2, то F(x)==
Отже
F(x)=
Завдання 6
Розв’язання
Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова велечина х прийме значення з інтервалу (α,β)
Р(α<х<β)=Ф(Ф()
Де Ф(х) – інтегральна функція Лапласа (значення якої є в таблиці), а=3, σ=2, α=3, β=10. Де Ф(х) – інтегральна функція Лапласа, то Р(3<х<10)=
=Ф(-Ф()=Ф()-Ф(0)=Ф(3.5)-Ф(0)=0,49977-0=0,49977
Таким чином
Р(3<х<10)≈0,49977-0≈0,49977