Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

kontrolnye / Теория вероянтости / Теория вероянтости / зразок виконання контрольної роботи

.doc
Скачиваний:
152
Добавлен:
27.02.2016
Размер:
129.02 Кб
Скачать

Завдання 1

На двох полицях стоять книги. На першій полиці 12 українською і 6 російською мовами. На другій відповідно 10 і 8. З першої полиці навмання перекладено книги на другу полицю. Яка ймовірність того, що а)навмання вибрана книга з другої полиці буде українською? б)з першої полиці перекладено російську книгу, якщо вибрана з другої полиці книга виявилась українською?

Завдання 2

Проведено n=900 незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутись подія А з імовірністю 0,8.

А) за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти ймовірність того, що подія А настане 720 разів.

Б) За інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти ймовірність того, що подія А настане від 700 до 722 разів.

Завдання 3

Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х. Знайти функцію розподілу F(x) і побудувати її графік.

Завдання 4

Випадкова величина Х задана функцією розподілу F(x). Знайти щільність розподілу f(x), ймовірність того, що Х прийме значення в інтервалі (α, β). Побудувати графік функцій F(x) і f(x).

F(x)=

α=3,β =4

Завдання 5

Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x). Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х. Знайти функцію розподілу F(x).

f (x)=

Завдання 6

Відомо математичне сподівання а і середнє квадратичне відхилення σ нормально розподіленої випадкової величини Х. знайти ймовірність того, що Х прийме значення з інтервалу (α, β).

а=3, σ=2, α=3, β=10

Завдання 1

Розв’язання

Нехай випадкові події: А – з 2-ї полиці взято одну українську книгу Н1 – з першої полиці перекладено одну українську книгу на другу полицю, Н2 – з першої полиці перекладено одну російську книгу на другу полицю. Знайдемо ймовірності Р(Н1), Р(Н2), Р(А/Н1), Р(А/Н2).

1)Р(Н1)=

2) Р(Н2)=

3) Р(А/Н1)=

4) Р(А/Н2)=

За формулою повної ймовірності: Р(А)=Р(Н1)× Р(А/Н1)+ Р(Н2)× Р(А/Н2)

Р(А)=

Відповідь: Р(А)=

б) за формулою Байєса Р(Н2/А)= ==

Відповідь: Р(Н2/А)=

Завдання 2

Розв’язання.

А) Локальна теорема Мавра-Лапласа: Pn(m)≈, де φ (х) – локальна функція Лапласа, вона табульована і парна хm=n =900, m=702, p=0.8, q=1-p=1-0.8=0.2

Отже

Xm=

За таблицею функції φ(х): φ(хm)=φ(1,5)≈0.1295

Підставимо всі дані задачі в формулу теореми:

Р900(702)≈

Відповідь: Р900(702)≈0,011

Б)Інтегральна теорема Муавра-Лапласа,

P(m1≤m≤m2)=Ф(x2)-Ф(x1), де Ф(х) інтегральна функція Лапласа (вона табульована і непарна),

х2=, х1=, m1=700, m2=728, n=900, p=0.8, q=0.2. Отже

х2=

х1=

2)За таблицею функції Ф(х):

Ф(х1)= Ф(-1.67)= -Ф(1,67)≈-0,4525

Ф(х2)≈0,0675.

3)Підставимо всі дані задач в формулу теореми

Р(700≤m≤728)≈0.0675+0.4525≈0.52

Відповідь: Р(700≤m≤728)≈ 0.52

Задача 3

Розв’язання

Х

1

2

3

р

0,2

0,7

0,1

Математичне сподівання М(х)

М(х)=х1р12р23р3=1×0,2+2×0,7+3×0,1=0,2+1,4+0,3=1,9

М (х)=1,9

Дисперсія Д(х): Д(х)=М(х2)-[М(х)]2, де Д(х)=М(х2)-[М(х)]2=

= ×pi -[M(x)]2=1×0,2+4×0,7+9×0,1-1.92=

=0.2+2.8+0.9-1.92=0.29 Отже

Функція розподілу F(x)

F(x)=p()

F(x)=

Побудуємо графік функції

Розподілу F(x)

F(x)

1

0,9

0,8

0,2

0,1

x

0 1 2 3 4 5

Завдання 4

Розв’язання

F(x)=, α=3, β=4

Щільність розподілу f(x)

f(x) =F/(x)=

Ймовірність того, що НВВ Х прийме значення в інтервалі (α;β), дорівнює приросту функції F(x) на цьому інтервалі тобто,

р(α<х<β)=F(β)-F(α)

P(3<x<4)=

Побудуємо графік функцій:

F (x)

1

1 2 3 4 5

f (x)

2/3

1/3

0 2 4 X

Завдання 5

f(x)

Розв'язання

Математичне сподівання М(х) випадкової величини х0, яка є неперервною на інтервалі (0;2):

М(х)=

=

Дисперсія

Д(х)=

=

Функція розподілу F(x)

F(x)=

1)якщо х≤0, то f(x)=0 i F(x)=

2)якщо 0<х≤2, то

F(x)=

3)Якщо х>2, то F(x)==

Отже

F(x)=

Завдання 6

Розв’язання

Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова велечина х прийме значення з інтервалу (α,β)

Р(α<х<β)=Ф(Ф()

Де Ф(х) – інтегральна функція Лапласа (значення якої є в таблиці), а=3, σ=2, α=3, β=10. Де Ф(х) – інтегральна функція Лапласа, то Р(3<х<10)=

=Ф(-Ф()=Ф()-Ф(0)=Ф(3.5)-Ф(0)=0,49977-0=0,49977

Таким чином

Р(3<х<10)≈0,49977-0≈0,49977