Контрольная работа №6

I. Для полинома g(x) (см. таблицу) выполнить следующие действия:

а) разложить на множители, используя операцию Символы→Фактор;

б) выполните подстановку переменной x=y+z в выражение g(x);

в) разложите по степеням выражение, полученное при выполнении пункта б;

г) приведите подобные слагаемые в выражении, полученном в пункте в, по переменной z.

№	g (x)	№	g (x)
1	x4 – 2 x3 + x2 - 12 x + 20	8	x4 - 6 x3 + 4 x2 + 10 x + 75
2	x4 + 6 x3 + x2 - 4 x – 60	9	x4 + x3 -17 x2 - 45x – 100
3	x4 - 14 x2 - 40 x – 75	10	x4 - 5 x3 + x2 - 15x + 50
4	x4 - x3 + x2 - 11 x + 10	11	x4 - 4 x3 – 2 x2 - 20x + 25
5	x4 - x3 – 29 x2 - 71 x - 140	12	x4 + 5 x3 + 7 x2 + 7x – 20
6	x4 + 7 x3 + 9 x2 + 13 x – 30	13	x4 - 7 x3 + 7 x2 - 5x + 100
7	x4 + 3 x3 + 23 x2 - 55 x – 150	14	x4 + 10 x3 + 36 x2 + 70x + 75

II. Разложите выражения на элементарные дроби:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

III. Упростить:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6);

7) ; 8);

9) ; 10) ;

11) ; 12);

13) ; 14);

15) ;

16) ;

17) .

IV. Разложить на множители:

1) x² –10x + 21; 2) x⁶ – 1;

3) x³ – 27; 4) x⁶ – 27;

5) ax² + bx + c; 6) a³ + b³;

7) x(y² – z²) + y(z² – x²) + z(x² – y²); 8) 3x – 3y + x²y – xy²;

9) 4x² +24x + 36; 10) x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y);

11) a³(b+c)+b³(a+c)+c³(a+b)+abc(a+b+c);

12) .

V. Привести подобные:

1) 4x+6ax+(5x)²+8x²+5x³–x³; 3) x² – yx² + 2y²x – x;

2) (x+3)⁵–5(x+3)⁴–4(x+3)³+2; 4) (x+2)⁴–5(x+2)³+2(x+2)²+26(x+2).

VI. Выполните разложение функции в ряд Тейлора по переменной х.

а) f(x) = exp(-a x); д) f(x) = sin(x+y);

б) f(x) = x sin(x); е) f(x) = exp(-a x²) cos(y);

в) ;ж) ;

г) .

VII. Найдите сумму ряда.

1) ; 3); 5);

2) ; 4); 6).

VIII. Вычислить произведения:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

IX. Найти производную:

1) ; 2) ;

3) y = e^x cos x; 4) y = x³ arctg x³;

5) y = x sin x ln x; 6) y = (x² – 2x + 3) e^x;

7) y = 10 ^x tg x; 8) y = x ln x;

9) y = e ^ax (a sin x – cos x); 10) ;

11) ; 12).

X. Найти вторую производную:

1) ; 4);

2) ; 5)y = (sin² x + 1);

3) y = tg sin x; 6) y = (x⁴ – x² + 1)³.

XI. Вычислить значения производных заданных функций в указанных точках:

1);x= 1; 5);x= 2;

2);; 6);x= 0;

3);x= 0; 7);x= -1;

4);x= 2; 8);.

XII. Найти вторую производную в указанных точках:

1) f(x) = x² ln x + cos 2x; x=1, x=π;

2);.

XIII. Найти неопределенный интеграл:

1)2)3)

4)5)6)

7)8)9)

10)11)12).

XIV. Найти определенные интегралы:

1) ; 5) 9)

2) ; 6) 10)

3) ; 7) 11)

4) 8) 12) .

XV. Определить символьное значение первой и второй производных f(x):

1) 1/(tg 2 x + 1); 6) x² · arctg(x/3); 11) (2x + 3) · sin x;

2) cos x / (2x + 5); 7) e^2x · sin 3x; 12) cos 3x / (1 – cos 3x)²;

3) ; 8) ctg 2x / (sin 2x)²; 13) ;

4) sin x / (1 + sin x); 9) (x + 1) · sin x; 14) (1 + x) / (2 + x);

5) x² · lg(x + 2); 10) 5x + x · lg x; 15) 1 / (1 + x + x²).

XVI. Осуществите символьное вычисление производной:

1) ; 2); 3).

XVII. Осуществите символьное вычисление интеграла:

1) ; 3);

2) ; 4).

XVIII. Найти пределы:

1) ; 8);

2) ; 9);

3) ; 10);

4) ; 11;

53) ; 12;