Литература

1.Гершензон Е.М., Малов Н.Н. Курс общей физики. Механика: Учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений. - М.: Академия, 2001. - 384с.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Учеб. пособие. – М.: изд-во Астрель, 2005.- 336с.

3. Стрелков С.П. Механика. - М.: Лань, 2005.- 560с.

4. Хайкин С.Э. Физические основы механики: учебное пособие. 3-е изд.- СПб.: «Лань», 2008.- 768с.

Лабораторная работа №6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ

КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: определение момента инерции твердых тел различной формы и проверка теоремы Штейнера-Гюйгенса методом крутильных ко-лебаний.

Принадлежности: крутильный маятник на однофилярном подвесе, технические весы, разновес, миллиметровая линейка, секундомер, два цилиндра равных масс и размеров, полый цилиндр, сплошной цилиндр, шар с подставкой.

Теория метода

Моментом инерции I точечной массы m, вращающейся вокруг некоторой оси на расстоянии r от нее, называется величина

. (1)

Для твердого тела

, (2)

где т_i - масса малых объемов, на которые разбивается тело; n - число указанных объемов в теле.

Момент инерции тел сравнительно простой формы может быть рассчитан. Ниже приведены моменты инерции некоторых тел, рассчитанные относительно оси вращения, проходящей через их центр масс, являющейся осью симметрии тел выбранной формы.

1. Однородный сплошной цилиндр радиуса r:

.

2. Однородный сплошной стержень длиныl:

.

3. Однородный сплошной шар радиусаr:

.

4. Цилиндр полый с внешним радиусомR и с внутренним радиусомr:

.

Отсюда вытекает, что значения I пропорциональны массам тел и квадратам расстояния, определяющих их размеры

, (3)

где  -коэффициент пропорциональности, зависящий от формы тела. Для шара и цилиндра расстояние r равно их радиусу.

Если известен момент инерции I_o тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции I этого тела относительно любой другой оси, параллельной первой и отстоящей от нее на расстоянии d вычисляется на основе теоремы о влиянии на момент инерции переноса осей вращения – теоремы Штейнера-Гюйгенса: момент инерции I тела относительно произвольной оси равняется моменту инерции I_o данного тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельной выбранной произвольной оси, плюс произведение масс этого тела на квадрат расстояния между осями d

, (4)

где m - масса тела.

Момент инерции тел сложной формы определяется опытным путем. Для этого применяется ряд методов. Наиболее употребительными из них являются: 1)динамический метод; 2) метод колебаний. Изучению последнего метода посвящена данная работа. В методе колебаний для измерения момента инерции используются крутильные колебания маятников, период колебаний которых зависит от моментов инерции колеблющихся масс маятников. Используя метод крутильных колебаний, можно определить моменты инерции разных тел как относительно осей, проходящих через центр масс, так и осей, параллельных им.

Крутильные колебания совершаются под действием упругих сил, возникающих при закручивании подвеса. Следовательно, крутильные колебания тел будут описываться основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела:

, (5)

где I - момент инерции системы;  -угол закручивания подвеса, М -момент упругих сил, который связан с коэффициентом жесткости подвеса с:

. (6)

Из уравнений (5) и (6) имеем

. (7)

Полученное уравнение представляет собой дифференциальную форму записи закона гармонических колебаний. Период этих колебаний равен

. (8)

Равенство (8) позволяет определить коэффициент жесткости проволоки с и момент инерции платформы I_о. Для этого следует сообщить крутильные колебания пустой платформе и измерить период ее колебаний Т_о:

. (9)

Затем кладут на платформу эталонную массу, момент инерции I_s которой известен. Повторяют опыт, измеряя период колебаний Т_s платформы с эталонной массой:

. (10)

Из формул (9) и (10) находим I_о и с:

. (11)

.

Момент инерции исследуемого тела определяют аналогично: измеряя период крутильных колебаний платформы с грузом, из формулы (10) находят

. (12)

Описание экспериментальной установки

Общий вид однофилярного подвеса показан на рис.1. На основании 1 укреплена стойка с кронштейном 2. На кронштейне укреплен цанговый зажим 3, к которому крепится подвес 4. К подвесу крепится платформа 8 со скобой 5. С помощью винтов 7 устанавливают систему так, чтобы ось диска 8 и острие на основании совпадали по направлению.

Определение параметров установки

Параметрами установки является коэффициент жесткости и момент инерции пустой платформы; их можно определить, пользуясь формулами 11. Совмещают центр платформы с центром основания (т.е. совмещают выступ на платформе с выступом основания). После этого сообщают платформе крутильные колебания, определяют период колебаний Т_о платформы. Для этого определяют время 30 крутильных колебаний платформы и определяют Т_о по формуле

. (13)

Т_о определяют таким образом минимум 3 раза и находят среднее значение. Потом на платформу ставят груз с известным моментом инерции и таким же образом по формуле (13) определяют период Т. После этого по формулам (11) определяют I_о и с и вычисляют их среднее значение.

Рис.1

Определение моментов инерции разных тел

Взвешивают массы на технических весах и измеряют размеры тел по соответствующим формулам, затем измеряют моменты инерции этих тел на однофилярном подвесе и сравнивают полученные значения.

Для выполнения опыта по измерению моментов инерции необходимо тело установить на платформу так, чтобы центр масс тела проектировался на центр платформы. Если тело имеет форму шара, то его необходимо установить на кольце (подставке) так, чтобы шар не скатывался. Сообщают платформе крутильные колебания и, выждав, пока колебания установятся, включают секундомер. Измерив время 20полных колебаний, находят период. Пользуясь средним значением момента инерции пустой платформыТ_о, определяют момент инерции тела по формуле (12).