Логика учебник Деминой

4. Условное суждение – импликация. В естественном языке импликации соответствует союз «если…, то…». Логическая форма: (А→ В). Первыйаргументимпликации(А) называетсяантецедентом, или условием, второй (В) – консеквентом, или следствием. Импликация будет ложной только в одном случае: когда условие выполнено (А истинно), а следствие не наступило (В ложно). Возьмем высказывание: «Если я устал, то не могу работать». Человек устал, но может работать. Значит, его первоначальное высказывание было ложным

(табл. 8).

Таблица 8

Импликация

5. Суждение эквивалентности. В языке эквивалентности соответствует союз «…тогда и только тогда, когда…». Логическая форма: (А ≡ В). Данное суждение истинно тогда и только тогда, когда его аргументы (А и В) либо истинны, либо ложны (табл. 9).

Таблица 9

Эквивалентность

6. Отрицательные суждения – отрицание. В языке им соот-

ветствуют выражения «не», «неверно, что…». Отрицание действует только на одно суждение, поэтому таблицу можно представить так

(табл. 10).

Таблица 10

Отрицание

Отметим, что смысл определенных нами с помощью таблиц логических союзов (конъюнкции, дизъюнкции и т. д.) лишь приблизительно совпадает со смыслом грамматических союзов (и, или и т. д.), которые в повседневном обиходе употребляются, как правило, неоднозначно.

Отношения между сложными суждениями

Отношения между сложными суждениями во многом подобны отношениям между простыми суждениями, но есть и отличия.

Сравнимыми называются сложные суждения, в состав которых входит хотя бы одна общая переменная, соответствующая простым суждениям. Среди сравнимых суждений выделяют совместимые

и несовместимые суждения.

Между совместимыми суждениями возникают отношения эквива-

лентности, логического следования, частичной совместимости.

Междунесовместимымисуждениямивозникаютдвавидаотноше-

ний: противоречие и противоположность.

Эквивалентными являются суждения, которые принимают одинаковые логические значения при одних и тех же значениях составляющих. Это значит, что таблицы истинности таких суждений совпадают. Эквивалентность позволяет нам выделить суждения с различными смыслами, но одинаковыми значениями.

Покажем это на следующем примере:

«В деле об убийстве имеются двое подозреваемых: Петр и Павел. Допрошены четыре свидетеля. Они дали такие показания:

1-й свидетель: «Петр не виноват». 2-й свидетель: «Павел не виноват».

3-йсвидетель: «Издвухпоказанийпоменьшеймереодноистинно». 4-й свидетель: «Показания 3-го свидетеля ложны».

Прав оказался 4-й свидетель. Кто же совершил преступление?» Обозначимбуквойp суждение«Петрвиноват», абуквойq – «Павел виноват». Тогда показания 1-го свидетеля будут (¬p), 2-го – (¬q), 3-го – (¬p ¬q ), а 4-го – ¬(¬p ¬q). Можно убедиться, что показания 4-го свидетеля, по существу, эквивалентны суждению «Петр

виноват и Павел виноват», т. е. ( p & q ) (табл. 11).

Мы видим, что (p&q) ≡ ¬ (¬p ¬ q), так как они имеют одинаковые таблицы. Таким образом, знание эквивалентностей упрощает решение логических задач.

Суждения находятся в отношении логического следования, если не может быть так, чтобы первое суждение было истинным, а второе – ложным. Проверяется это также с помощью семантических таблиц и означает, что в совместной семантической таблице не найдется такой строчки, в которой первое суждение будет истинным, а второе – ложным. Это самое важное отношение в логике, так как оно лежит в основе дедуктивных умозаключений (о них мы будем говорить позже). Обозначается логическое следование специальным знаком (читается «логически следует»).

Например, ((р → q) & ¬q) ¬ p

«Если законы правовые, то они выражают интересы большинства народа. Эти законы не выражают интересов большинства народа. Следовательно, эти законы не правовые».

Отношениечастичнойсовместимостиозначает, чтовпостроенной для них совместной семантической таблице суждения не могут одновременно принимать значение «ложь», но при этом могут встречаться все другие комбинации (например, р и р → q).

Противоречие между сложными суждениями, как и между простыми, проявляется в том, что вместе они не могут быть ни истинными, ни ложными. Суждения же, находящиеся в отношении противоположности, не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными.

Все эти отношения мы можем установить и проверить путем построения совместных таблиц для суждений, как это было показано на примере эквивалентности.

§4. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ

Под законом логики понимают необходимую связь как между элементами мысли, так и между мыслями, выраженную в суждении, умозаключении. Она находит свое выражение в схемах правильных форм, сложившихся в процессе многовековой практики мышления. Эти схемы легко выражаются в формулах, принимающих значение «истина», при всех наборах значений, входящих в них переменных. Такие формулы в логике высказываний называются тождественноистинными. Так, формула (А→А) является тождественно-истинной, поскольку любые значения ее переменных дают значение «истина». Это подтверждается таблицей 12.

Таблица 12

Закон тождества

Данная формула является логической формой закона тождества и означает, что всякое высказывание является тождественным самому себе.

Известный в логике закон двойного отрицания выражается формулой ¬¬ А ≡ A. Согласно этому закону, любое утверждение может быть выражено в форме двойного отрицания. Например, суждение «Это решение правильное» эквивалентно суждению «Неверно, что это решение не является правильным». Число тождественно-истин- ныхформулнеограничено, апотомуколичествозаконоввлогикебесконечно.

Закон логики – это сложное суждение, которое во всех строках построенной для него таблицы принимает значение «истина».

В традиционной логике, восходящей к Аристотелю, выделяется

четыре основных закона.

1. Закон тождества. В классической логике выражается формулой

А → А (Если А, то А), или А ≡ А (А тогда и только тогда, когда А).

Его содержательная формулировка такова: «Один и тот же термин в одном и том же рассуждении должен употребляться в одном и том же отношении, в одном и том же смысле и применительно к одному и тому же времени».

Это означает, что используемые нами понятия не должны подменяться в ходе одного и того же рассуждения. Это естественное требование ко всякому честному спору, обсуждению и т. п. Подмена понятий – один из основных источников логических ошибок, а если это делается сознательно, то рассматривается как софизм.

Приведем анекдотический пример такого сознательного нарушения: «По окончании с Персиею войны многие из придворных, желая посмеяться над Балакиревым (любимый шут Петра Первого), спрашивали его: что он там видел, с кем знаком и чем занимался? Шут все отмалчивался. Вот однажды в присутствии государя и многих вельмож один из придворных спросил его: «Да знаешь ли ты какой у персиян язык?».

– И очень знаю, – отвечал Балакирев.

Все вельможи удивились. Даже и государь изумился. Но Балакирев то и твердит, что «знаю».

–Ну и какой же он? – спросил шутя Меньшиков.

–Да такой красный, как и у тебя, Алексаша, – ответил шут. Вельможи все засмеялись, и Балакирев был доволен тем, что

верх остался на его стороне». (Русский литературный анекдот конца

XVIII–нач. XIX века. – М., 1990. С. 13–15).

Применительно ксуждениямзакон тождестваозначает, чтосуждениядолжныбытьнеизменныминапротяженииданногорассуждения: а) по количеству и качеству (для простых), б) по логическим связям (для сложных суждений).

Данный закон является основанием правильного ведения споров. Если спорящий высказал какую-либо мысль и обещал ее доказать, то он должен иметь дело именно с этой мыслью на протяжении всего спораинепытатьсяподменитьееболеелегкодоказуемой. Еслижеон видит невозможность доказательства, то должен честно признаться

вэтом.

2.Законнепротиворечия. Формулазаконанепротиворечиятакова: ¬(А&¬А), т. е. «Неверно, что А и не-А».

Содержательная его формулировка дается Аристотелем (Метафи-

зика, кн. 4, гл. 3): «Невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении».

Формула (А&¬А) называется противоречием. Закон указывает на недопустимость противоречия в наших рассуждениях, т. е. нельзя одновременно что-либо утверждать и это же отрицать.

Всредневековойлогикебылосформулированоправило– «Излжи следует все, что угодно», являющееся выражением закона непротиворечия.

Вклассической логике это высказывание формализуется как закон Дунса Скотта: (А&¬А)→В, где В – любое суждение.

Шутливую интерпретацию данного закона предложил выдаю-

щийсяанглийскийматематикифилософБ. Рассел. Онвзялсядоказать, что если 2 2=5, то он – папа Римский. «Доказательство» строилось следующим образом: дано, что 2 2=5. Это значит, что 4=5. Вычтем из каждой части равенства 3 (это допускается правилами математики). Получим 1=2. Поменяем части равенства местами (также допустимая операция): 2=1. Папа Римский и я – нас двое. Но мы доказали, что 2=1. «Значит, я и естьпапаРимский» завершил свое «доказательство» Рассел.

Закон непротиворечия выражает важное требование к нашему мышлению: если в ходе рассуждения мы пришли к противоречию, значит, наше мышление идет по ложному пути. Необходимо вернуться обратно и устранить источники противоречия.

3. Закон исключенного третьего. Этот закон часто называют

по-латыни tertium non datur, что значит – «третьего не дано». Логическая запись закона: А ¬А.

Здесь имеется в виду, что мир или таков, каким он описывается в А, илитаков, какимонописываетсяв¬А, третьявозможностьисключена.

Содержательная его формулировка: из двух суждений А и ¬А

истинным следует считать только одно.

Важная роль закона исключенного третьего проявляется в доказательствах от противного, весьма распространенных в математике: желая доказать А (допустим, какую-либо математическую теорему), мы предполагаем, что ¬А. Затем выводим из ¬А противоречие, что свидетельствует о ложности ¬А (согласно закону непротиворечия). Делаем вывод: если ¬А – ложно, значит А – истинно (третьего не дано).

Уже сам Аристотель замечал, что этот закон не применим к некоторымвысказываниям. Например, «Завтрабудетморскоесражение» – ни само это высказывание, ни его отрицание не являются ни истинными, ни ложными. Именно закон исключенного третьего чаще всего подвергается пересмотру в неклассических логиках.

Тем не менее этот закон продолжает играть важную роль как в классической логике, так и в математике, и в нашем естественном мышлении.

Имеют место следующие эквивалентности:

¬ЗА≡ РА. Вэтойформулевыраженосновнойпринципдемократического общества: «Что не запрещено, разрешено».

ОА ≡ ¬ Р ¬ А («А обязательно, если не разрешено не-А»), ¬ ОА ≡ Р ¬ А («А необязательно, если разрешено не-А»), ЗА ≡ О ¬ А («А запрещено, если обязательно не-А»), ОА ≡ З ¬ А («А обязательно, если запрещено не-А»), Не имеют место ОА → А, а также неверно, что А → РА.

Данные положения объясняются так: если что-то обязательно, то это не значит, что данная обязанность будет выполнена; норма может быть нарушена; и если что-то имеет место, то это не значит, что оно разрешено.

БА (безразлично А) ≡¬ ОА & ¬ О ¬ А (т. е. А не обязательно и не обязательно не-А).

Для эпистемических модальностей:

Д – доказано, Оп – опровергнуто, В – возможно,

С – не доказано и не опровергнуто.

Между указанными модальностями имеют место следующие отношения:

ДА ≡ ¬ B ¬ A (« А – доказано, если невозможно не-А»), ¬ ДА ≡ B ¬ A («А недоказано, если возможно не-А»),

Д ¬ А («Доказанность не-А означает, что А опровергнуто»), СА ≡ ¬ ДА & ¬ ОпА (смысл данной эквивалентности очевиден), ДА → А («Если доказано А, то А»), ОпА → ¬ А («Если опровергнуто А, то не-А»).

Если «КА» – «Некто знает, что А», то КА ≡ А.

Модальная логика – это раздел современной неклассической логики, изучающий модальные высказывания и их отношения в структуре высказываний. Алетические модальности были первыми, которые начали изучать в логике. Алетическая логика становится основой модальной логики. Временную, эпистемическую, деонтическую логики строили по аналогии с алетической.

Применительно к решению проблем права разрабатывается деонтическая логика. В правовой логике говорят уже не просто о возможности или необходимости, но о деонтической (или правовой) необходимости, под которой понимается правовая обязанность, как определенная законом необходимость поведения. Под деонтической

возможностью понимается субъективное право как определенная законом мера возможного (т. е. допустимого поведения).

Кдеонтическимвысказванияммыотносимтевысказывания, которые являются носителями разнообразных норм.

ЛогическиезависимостимеждудеонтическимимодальностямиО, Р, З можно изобразить с помощью логического квадрата, так называемого «квадрата противоположностей» (рис. 23).

Ор Зр

Рр ¬Ор

Рис. 23. Деонтический квадрат противоположностей

Буквой «р» мы обозначаем некоторое действие, которое может быть обязательно, или разрешено, или запрещено.

Из свойств «деонтического квадрата» вытекает ряд утверждений:

–если действие обязательное, то оно разрешено.

–если действие запрещено, то оно не обязательно.

–никакое действие не является обязательным и запрещенным одновременно.

–любое действие либо разрешено, либо запрещено.

–если действие запрещено, то оно не разрешено.

–если действие разрешено, то оно не запрещено.

–все, что не запрещено, то разрешено.

Деонтическая логика не просто описывает нормативные рассужденияиреальныекодексы, онаформулируеткритериирационального рассужденияв области права; критерии, дающие разумныеоснования для действия.