Непрерывный сигнал очистить от помехи значительно сложнее, так как мгновенные значения непрерывного сигнала, разделенные бесконечно малым временны′м интервалом, отличаются на бесконечно малую величину, т.е. непрерывный сигнал имеет несчетное (бесконечное) количество значений. Поэтому искаженный помехой он целиком может быть принят за полезный.

На передающей стороне канала цифровой связи непрерывный сигнал преобразуется в цифровой с помощью аналого-цифрового преобразователя. Цифровой сигнал может непосредственно передаваться по проводам. При передаче через открытое пространство им моделируется высокочастотное колебание.

На приемной стороне радиоканала цифровой связи принятые радиоимпульсы преобразуются детектором в видеоимпульсы — цифровой сигнал. Этот сигнал может быть использован непосредственно (например, введен вЭЦВМ) илипреобразован висходный непрерывный сигнал с помощью цифро-аналогового преобразователя.

3.2. Алгебра логики

Математической базой цифровой техники является алгебра логики. Как аппарат формальной логики она разработана в середине XIX в. английским математиком Дж. Булем и поэтому часто называется булевой алгеброй. На возможность применения ее в технике впервые (1910 г.) указал известный физик П. Эренфест, работавший в то время в Петербургском политехническом институте. Доказательство такой возможности дал в своих работах советский физик В.И. Шестаков.

Булевая алгебра оперирует с переменными, принимающими только два значения — 0 и 1, т.е. с двоичными переменными. Функция двоичных переменных, принимающая те же два значения, называется логической функцией (переключательной функцией, функцией алгебры логики).

Логическая функция может быть выражена словесно, в алгебраической форме и таблицей; последняя называется переключательной таблицей или таблицей истинности.

Любую логическую функцию можно представить совокупностью элементарных логических функций: дизъюнкцией, конъюнкцией и

114

инверсией. В указанном смысле этот набор называют функционально полным набором или базисом.

Базисные, логические функции. Дизъюнкция (логическое сложе-

ние) переменных x1, х2, ... , хn записывается в виде

Значение у = 0 имеет место только при x1 = х2 = ... = хn = 0. Если хотя бы одно слагаемое равно единице (хi = 1 — событие

наступило), то у = 1. Сумма наступивших событий (x1 + х2 + ... , где х1 = 1, х2 = 1, …) означает наступление события, т. е. при любом числе слагаемых, равных единице, сумма их равна единице: у = 1, если х1 = 1 или х2 = 1 или ... или все переменные х равны единице. Этим объясняется еще одно название рассматриваемой операции — операция ИЛИ.

Табл. 3.1 — таблица истинности операции ИЛИ двух переменных. В каждой ее строке записаны значения переменных х1 и х2 и соответствующее им значение функции у.

Две двоичные переменные имеют четыре сочетания. В общем случае n двоичных переменных дают 2n сочетаний.

Кромезнака«+» дизъюнкцияобозначаетсязнаком : у= x1 x2 ... xn Элемент, выполняющий дизъюнкцию, называется дизъюнкто-

ром или элементом ИЛИ.

Конъюнкция (логическое умножение) переменных записывается в виде

115

Из приведенного выражения следует: если хотя бы одна из переменных равна нулю, то функция равна нулю. Только в том случае, когда x1 = 1 и x2 = 1 и ... и xn = 1, у = 1. Поэтому данная операция также называется операцией И.

Табл. 3.2 — таблица истинности операции И двух переменных. Кромеприведеннойвстречаетсяследующаяформазаписиконъюнкции:

у = x1 x2 ... хn.

Элемент, выполняющий конъюнкцию, называется конъюнктором, или элементом И.

Инверсия (логическое отрицание) записывается в виде: y = x , читается «у НЕ x» и называется также операцией НЕ (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Таблица логического отрицания

Элемент, выполняющий инверсию, называется инвертором или элементом НЕ. Если в выражении (3.1) дизъюнкцию заменить на конъюнкцию и проинвертировать все переменные х, то результат окажется инверсией прежнего значения функции. Действительно, пусть x1 = х2 = 1, x3 = х4 = ... = хn = 0 и поэтому y1 = 1; после инверсии x1 = х2 = 0, x3 = х4 = ... = хn = 1 и конъюнкция этих переменных у2 = 0,

116

т.е. равна инверсии у1. Аналогично, если в выражении (3.2) конъюнкцию заменить на дизъюнкцию и проинвертировать все переменные, то результат окажется инверсией прежнего значения функции. Указанные свойства выражают принцип двойственности алгебры Буля.

При проектировании цифровых логических устройств используются восемь базовых логических функций, реализующих восемь базовых логических элементов. На рис. 3.4 представлены обозначения по ЕСКД восьми базовых логических функций.

Основные соотношения алгебры логики. Приводимые далее со-

отношения записаны в основном для частного случая двух переменных. Они справедливы для любого числа переменных.

Основные тождества алгебры логики:

х + 0 = х; х + 1 = 1; х+ х = х; х + x = 1;

хæ0 = 0; хæ1 = х; хæх = х; хæ x = 0; х = x .

Их справедливость легко установить, подставляя вместо х значения 0 и 1.

Рис. 3.4. Базовые логические элементы

117

Основные законы алгебры логики, действующие при сложении

иумножении переменных:

•переместительный закон: x1 + х2 = х2 + х1, х1х2 = x2x1;

•сочетательный закон: (x1 + x2) + x3 = x1 + (х2 + x3); (х1х2)x3 =

х1(х2x3);

•распределительный закон: x1(x2 + x3) = х1x2 + x1x3;

•закон поглощения: х1 + x1х2 = х1 + x2 ;

•закон склеивания: x1x2 +x1x2 = x1(x2 +x2)= x1 .

Закон отрицания (закон инверсии, теорема де Моргана):

х1 + х2 = х1 х2 ; х1х2 = х1 + х2 .

или в другой форме, получающейся инверсией обеих частей каждого равенства:

х1 + х2 = х1 х2 ; х1 х2 = х1 + х2 .

Справедливость этих выражений следует из принципа двойственности алгебры Буля.

Составление логических функций. Простую логическую функ-

цию иногда можно записать в аналитической форме непосредственно из словесного определения. В общем случае для получения аналитической формы используют таблицы истинности.

Пусть логическая функция задана табл. 3.4. Чтобы на наборах 1, 2, 3, 6 у = 1, единице должна быть равна каждая из конъюнкций

х3 х2 х1 или х3 х2 х1 , или х3 х2 х1 , или х3 х2 х1 , где xi записывают в инверсной форме, если xi в этом наборе равен нулю (иначе конъюнк-

ция не будет равна единице). Таким образом, функцию, представляемую табл. 3.4, запишем в виде

Такая форма логической функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). Она представляется логической суммой простых конъюнкций. Каждая из них содержит все переменные в прямом или инверсном виде не более одного раза; в такие конъюнкции не входят суммы переменных, а также отрицания произведений двух или более переменных. Входящие в СДНФ конъюнкции называются минтермами, или кон-

ституентами единиц.

118

Логическая сумма конъюнкций отличается от (3.3) тем, что все конъюнкции (или некоторые из них) не содержат всех переменных (в прямом или инверсном виде), и представляет собой дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) функции.

Логическая функция может быть составлена не только по единичным, но и по нулевым значениям. Из табл. 3.4 следует, что на наборах 0, 4, 5, 7 у = 0. Чтобы на каждом указанном наборе имело место у = 0, нулю должна равняться дизъюнкция переменных из этого набора, т.е. каждое слагаемое дизъюнкции; если в данном наборе переменная равна единице, то в дизъюнкцию должна входить ее инверсия. На всех указанных наборах функция из табл. 3.4 будет равна нулю, если осуществить конъюнкцию составленных дизъюнкций:

у = ( х3 + х2 + х1 )( х3 + х2 + х1 )( х3 + х2 +x1 )( х3 + x2 +x1 ). (3.4)

Здесьу= 0 обеспечивают: четвертыйсомножительприx3 = x2 = x1 = 1, т.е. на наборе №0; третий сомножитель при x3 = 0 , x2 = x1 = 1 , т.е. на наборе №4; второй сомножитель при x3 = x1 = 0 , х2 = 1, т.е. на наборе №5; первыйсомножительприx3 = x2 = x1 = 0 , т.е. нанаборе№7.

Форма, в которой выражена функция (3.4), называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Она представляется логическим произведением дизъюнкций. Каждая из них содержит все переменные в прямом или инверсном виде не

119