Эквиваленция Структура: (S есть P) ≡ (S есть P) или: p ≡ q. “тогда и только тогда, когда” и др.
Например: «Золотая медаль присуждается учащемуся тогда и только тогда, когда...», «если у данного прямоугольника все стороны равны, то это – квадрат».
3.2.3. Проблема истинности
Логика – это наука, исследующая механизм интеллектуальной деятельности человека и имеющая целью получение истинного знания об окружающем мире. В связи с этой гносеологической установкой она оперирует понятиями «правильного мышления» и «истинностного значения».
«И с т и н н о с т н о е значение – одна из возможных характеристик высказывания с точки зрения соответствия его описываемому фрагменту действительности».1 Число истинностных значений в различных логических системах различно. «Правильное мышление» основано на логике. Именно логика, умело подобранная в соответствии с предметом рассмотрения, делает мысли адекватными реальности.
Логика – элемент самой природы. Прежде чем она «поселилась» в головах людей и стала наукой о «правильном мышлении» (т.е. соответствующим действительности), она уже изначально присутствовала в мире вне нас, вне нашего мышления. Логика как наука возникает позднее и стремится к теоретической реконструкции действительности в уме и мышлении. Подобно тому как наука простилась с мечтой о единой научной картине мира, логика сегодня прощается с мечтой о создании универсальной формальной системы, охватывающей весь процесс мышления. Можно лишь говорить о большем или меньшем соответствии формализма человеческому мышлению.
«Правильное» мышление, чтобы быть истинным, должно быть адекватным по числу возможных истинностных значений. Только в таком случае оно будет соответствовать действительности, которая не всегда «умещается» в два логических значения.
Если допускается, что любое высказывание о мире является либо истинным, либо ложным, то речь идет о классической логике, двузначной или бивалентной, в которой любое высказывание принимает одно из двух допустимых значений истинности. Если высказывание соответствует действительности, то оно является «истинным», а если не соответствует действительности, то оно – «ложно».
1 Горский Д.И. Краткий словарь по логике. - М., 1991. - С. 75.
85
Двузначная логика исследует формы словесно-логического мышления и в этом смысле «управляет» разговорным языком, устанавливая причину и суть происходящего. Она исходит из определенности и завершенности опыта. Это дает ей право судить о том, что истинно, а что ложно, например, математические доказательства двузначны («доказано» – «не доказано»). Она прочно обосновалась в юридической практике, в точных и экономических науках. Однако в ряде ситуаций двузначная логика превращается в «прокрустово ложе» для мышления и требует новых разрешающих способностей ума. Трудно представить себе «демократические» выборы по схеме «за» и «против». «Логика избирателя» - трехзначна (третье значение – «воздержался»).
Допущение или недопущение двузначности является демаркационной линией между классической и неклассической логикой. Последняя основывается на допущении трех (истинно, ложно и неопределенно) и более значений истинности. В многозначной логике любое высказывание может принимать одно из n (n>2) значений. Например, модальная логика расширяет сферу традиционных логических исследований за счет операторов «возможно» и «необходимо».
Таблицы |
Условия истинности сложных суждений, состоящих из про- |
|
стых категорических суждений, основываются на допущении |
||
истинности |
||
|
двузначности и задаются при помощи таблиц истинности. |
3.1. Таблица истинности для конъюнкции (см. рис. 35):
p |
q |
p & q |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
|
Рис. 35 |
|
p, q – пропозициональные переменные, обозначающие простые суждения. То есть p - (S есть P) и q - (S есть P). Буква “И” означает истину, а буква “Л” означает ложь. Каждой строке таблицы соответствует
сложное суждение.
С о е д и н и т е л ь н ы е (конъюнктивные) суждения истинны тогда, когда истинны все входящие в него простые суждения (члены конъюнкции). Конъюнкция ложна, если ложен хотя бы один из ее членов.
3.2. Таблица истинности для дизъюнкции:
p |
q |
p v q |
И |
И |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
|
Рис. 36 |
|
86
а) с л а б а я дизъюнкция истинна, когда истинен хотя бы один из членов дизъюнкции, и ложна, когда все ее члены – ложны (это показано на рис. 36);
p |
q |
p v q |
б) с и л ь н а я дизъюнкция истинна толь- |
И |
И |
Л |
ко при разных логических значениях |
И |
Л |
И |
членов дизъюнкции и ложна при оди- |
Л |
И |
И |
наковых.Это видно из рис. 37. |
Л |
Л |
Л |
|
|
Рис. 37 |
|
|
3.3. Таблица истинности для импликации (см. рис. 38):
p |
q |
p → q |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
|
Рис. 38 |
|
И м п л и к а т и в н о е суждение истинно во всех случаях, кроме одного, когда антецедент – истинен, а консеквент – ложен. То есть в случае, когда причина возникла, а следствие не наступает, вся импликация
является ложной.
3.4. Таблица истинности для эквиваленции (см. рис. 39):
p |
q |
p ≡ q |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
|
Рис. 39 |
|
Э к в и в а л е н т н ы е суждения являются равнозначными. Поэтому они истинны при равных значениях членов эквиваленции и ложны – при разных.
3.5.Таблица истинности для отрицания (см. рис. 40):
p |
|
p |
И |
|
Л |
Л |
|
И |
|
Рис |
. 40 |
«Отрицание» – унарный союз.
Если исходное суждение истинно, то его отрицание
– ложно, и наоборот.
Сложное суждение может не только состоять из нескольких простых суждений, но и включать в себя несколько логических союзов:
(p & q) → p.
Чтобы установить истинность такого суждения, необходимо установить главный логический союз, указывающий на вид суждения, и построить соответствующую таблицу истинности (см. рис. 41):
p |
q |
p & q |
(p & q)→p |
Главный логический союз (в |
87