3.1. Электрические заряды, поля и потенциалы

Бенджамин Франклин (1706—1790) наряду с другими своими заслугами был также первым американским физиком. Именно он дал названия двум типам зарядов один стал называться положительным, другой — отрицательным. Эти названия сохранились и до настоящего времени.

Электростатический эффект возникает в результате механического перераспределения зарядов. Например, при натирании стеклянного стержня шелковой тканью происходит унос электронов с его поверхности, в результате чего в нем остается избыток положительных зарядов, что делает его положительно заряженным

По своему отношению к электрическим зарядам материалы можно разделить на три группы: проводники, диэлектрики и полупроводники. В проводниках электрические заряды (электроны) свободно перемещаются внутри материала, тогда как в диэлектриках они этого делать не могут.

На рис. 3.1А показан объект, обладающий положительным электрическим зарядом q. Если в окрестность этого объекта внести небольшой тестовый положительный заряд, на него начнут действовать электрические силы отталкивания. Если объект будет заряжен отрицательно, он станет притягивать тестовый заряд. В векторной форме силу отталкивания или притяжения можно выразить в виде вектора f (выделение указывает на то, что величина является вектором). Факт того, что сила действует на тестовый заряд при отсутствии физического контакта между зарядами, означает наличие электрического поля в пространстве между ними.

Электрическое поле в каждой точке можно определить по величине силы, действующей на заряд:

(3.1)

(А) (Б)

Рис. 3.1 А — Положительный тестовый заряд внесен в окрестность заряженного объекта, Б — электрическое поле сферического объекта.

На рис. 3.1А электрическое поле показано в виде силовых линий, которые в каждой точке пространства являются касательными к вектору силы. По определению силовые линии исходят из положительного заряженного объекта, а входят в отрицательно заряженный. Плотность силовых линий характеризуется напряженностью электрического поля Е в конечном объеме пространства.

Для гипотетической замкнутой поверхности S (поверхности Гаусса) связь между зарядом q и потоком Ф может быть записана в виде:

(3.2)

где ε₀ = 8.8542 × 10 ¹² Кл²/Н×м² — электрическая постоянная, или в виде интегральной зависимости:

(3.3)

где интеграл равен Ф_E. В приведенных уравнениях, известных под названием закона Гаусса, заряд q соответствует полному заряду, заключенному внутри замкнутой поверхности. Из закона Гаусса можно сделать следующий важный вывод: заряд на изолированном проводнике всегда находится в равновесном состоянии и всегда располагается на внешней стороне его поверхности. Закон Кулона является следствием закона Гаусса. Он гласит, что сила, действующая на тестовый заряд, обратно пропорциональна квадрату расстояния до этого заряда:

(3.4)

Другим следствием закона Гаусса является утверждение, что электрическое поле снаружи заряженного тела направлено перпендикулярно его поверхности (рис. 3.1 Б) и модуль векторов силовых линий может быть найден из уравнения:

(3.5)

где r — расстояние от центра сферы.

Аналогично этому можно записать выражение для электрического поля внутри однородной сферы с зарядом q. Силовые линии этого поля будут также иметь радиальное направление, а их модуль соответствовать выражению:

(3.6)

где R — радиус сферы, а r— расстояние от центра сферы. Следует отметить, что в центре сферы (r = 0) электрическое поле равно нулю.

Если электрический заряд распределен вдоль бесконечно длинного тонкого стержня (рис. ЗЛА), силовые линии поля будут направлены перпендикулярно к нему, а его напряженность равна значениям, полученным из уравнения:

(3.7)

где r — расстояние до стержня (его толщина должна быть мала, чтобы ею можно было пренебречь), а λ— линейная плотность зарядов (заряд на единицу длины). Электрическое поле бесконечной заряженной пластины (рис. 3.3Б) будет также перпендикулярно ее поверхности, а его напряженность определяться выражением:

(3.8)

(А) (Б) (В)

Рис. 3.2 Электрическое поле вокруг бесконечного тонкого стержня (А), в окрестности бесконечной пластины (Б). Силовые линии электрического поля с различной концентрацией, отображающие изменение геометрии объекта (В).

Однако для изолированного проводящего объекта электрическое поле является в два раза сильней:

(3.9)

где σ - плотность поверхностного заряда (заряда на единицу площади).

и наблюдается наивысшая концентрация силовых линий (рис 3.2В). Очень полезным научным и инженерным устройством является цилиндр Фарадея камера, полностью покрытая либо заземленными токопроводящими листами, либо металлической сеткой. Вне зависимости от того, насколько сильно внешнее электрическое поле, поле внутри такого устройства будет практически равно нулю. Именно поэтому автомобили и металлические корабли являются лучшими укрытиями во время грозы, поскольку они работают как виртуальные устройства Фарадея. Но всегда следует помнить, что хотя такие устройства являются блестящей защитой от электрических полей, они практически бесполезны против магнитных полей, если только их стенки не выполнены из толстых ферромагнитных материалов.

Электрический диполь — это комбинация двух разноименных зарядов, расположенных на расстоянии 2а друг от друга (рис 3.3А). Каждый из зарядов будет действовать на внесенный тестовый заряд с силой, определяемой их электрическими полями E₁ и Е_2. Результирующее электрическое поле диполя Е определяется из суммы векторов напряженности двух полей. Модуль вектора Е может быть найден из уравнения:

(3.10)

где r — расстояние от центра диполя. Важными характеристиками распределения зарядов в этом случае являются величина заряда q и расстояние 2а. В выражение (3.10) входит произведение этих величин, это означает, что при измерении напряженности электрического поля Е на различном расстоянии от диполя (считается, что это расстояние должно быть намного больше а), никогда не удастся получить раздельные значения q и 2а, а только их произведение

(3.11)

Рис. 3.3 А — электрический диполь, Б — диполь в электрическом поле подвергается действию силы вращения.

Диполи были обнаружены в некоторых материалах с кристаллической структурой. Это позволило реализовать пьезоэлектрические и пироэлектрические детекторы. Первоначальная ориентация диполя определяется типом кристаллической решетки. Когда диполь помещается в электрическое поле, на него начинают действовать силы вращения (рис. 3.3Б). Если электрическое поле достаточно сильное, диполь занимает положение вдоль его силовых линий. Вращательный момент, действующий на диполь в это время, может быть записан в векторной форме в следующем виде:

(3.12)

Для изменения ориентации диполя во внешнем электрическом поле должна быть совершена работа. Эту работу можно выразить в виде потенциальной энергии U, запасенной в системе диполь — устройство, генерирующее внешнее электрическое поле. В векторной форме эта потенциальная энергия имеет вид:

(3.13)

Процесс изменения ориентации диполя называется поляризацией. Приложенное электрическое поле должно быть достаточно сильным для возможности преодоления сил, стремящихся сохранить кристаллическую решетку материала неизменной. Для упрощения процесса поляризации прибегают к нагреву материала, что повышает подвижность его молекулярной структуры. Поляризация применяется при изготовлении пьезоэлектрических и пироэлектрических кристаллов.

Электрическое поле вокруг заряженного объекта может быть описано не только вектором напряженности Е, но и скалярной величиной, называемой электрическим потенциалом V. Обе эти величины тесно связаны друг с другом, и какую из них применять на практике, как правило, диктуется соображениями удобства. Потенциал редко используется для описания электрических полей в заданной точке пространства. На практике чаще применяется понятие разности потенциалов (напряжения) между двумя точками. Для нахождения напряжения между двумя произвольными точками можно применить метод тестового заряда, описанный выше. Роль тестового заряда здесь играет очень маленький положительный заряд q₀. Пусть электрический заряд помещен в точку А, где он находится в состоянии равновесия (теоретически, бесконечно долгое время), при этом на него действует сила, равная q₀E. Если теперь мы попытаемся переместить заряд из точки А в точку В, нам придется совершить работу по преодолению этой силы. Работу W_AB , выполненную против сил электрического поля для перемещения заряда из точки А в точку В можно выразить через величину напряжения между этими точками:

(3.14)

В соответствии с этим выражением можно утверждать, что электрический потенциал в точке В меньше потенциала в точке А. В системе СИ единица измерения напряжения 1 Вольт определяется равной отношению 1 джоуля на 1 кулон (1 В = 1Дж/Кл). Для удобства точка А выбирается на расстоянии, значительно удаленном от всех остальных зарядов (теоретически, на бесконечно большом расстоянии), и электрический потенциал в этой точке считается равным нулю. Исходя из этого, электрический потенциал в любой другой точке пространства можно определить как:

(3.15)

Из этого уравнения видно, что потенциал в окрестности положительного заряда является положительным. Это объясняется тем, что при перемещении положительного тестового заряда из бесконечности в конкретную точку пространства была выполнена работа на преодоление сил отталкивания. Поэтому знак минус из формулы можно убрать. Следует отметить, что разность потенциалов между двумя точками не зависит от траектории перемещения тестового заряда. Она только описывает разницу электрического поля между двумя выбранными точками. При измерении величины К в точках, расположенных вдоль прямой линии, оказалось, что скорость изменения параметра К при перемещении заряда вдоль пути l соответствует напряженности поля Е в этом направлении, т.е.