Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт информационных технологий БГУИР

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TM_Lab

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.02.2016

Размер:

2.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

В выражении (2.24) время t заменено временем t-τ, так как спад импульса смещен относительно фронта на интервал времени, равный длительности импульса τ.

Для записи модулированного напряжения в формуле (2.19) для немодулированной последовательности, во-первых, заменим τ на τ2-τ1, чтобы учесть смещение фронта и спада импульса, во-вторых, время t заменим временем t-(τ2+τ1)/2, чтобы учесть смещение центра импульса относительно тактовой точки. Тогда

	UÔÈÌ	(t) =U	τ2 − τ1		×

∞	sin( kω1(			T1		(2.25)
		τ2 − τ1) / 2)				τ2 + τ1 ))
×(1 + ∑2				cos kω (t −

k =1	kω1(τ2 − τ1) / 2		1			2

или, заменив произведение синуса на косинус по формуле тригонометрических преобразований и подставив T1ω1=2π, найдем

τ2 − τ1

∞

UÔÈÌ (t) = U

+ ∑ U

(sin kω1(t − τ1) − sin kω1(t − τ2 )) . (2.26)

k =1 kπ

Заменив в (2.25) τ1 и τ2 согласно (2.23) и (2.24), получим

U ÔÈÌ

(t) = U

− 2

U∆τ

sin

Ωτ cos Ω(t −

) +

∞

(2.27)

∑

(sin kω1

(t +

− ∆τsin Ωt ) −

kπ k =1

− sin kω1 (t −

− ∆τsin Ω(t − τ)).

Ввыражении (2.24) sin kω1 (t + 2τ − ∆τ sin Ωt) и sin kω1 (t − 2τ − ∆τ sin Ω(t − τ))

заменим рядами Фурье, коэффициентами которых являются функции Бесселя.

Витоге получим:

U ÔÈÌ

(t )

U τ − 2

U ∆τ sin

Ω τ

cos

Ω (t −

) +

∞

∑

J n ( k ω1 ∆τ) sin((

k ω1

− n Ω )

) ×

k =1 n = −∞ k

× cos((

k ω1

− n Ω )t + n Ω

) ,

(2.28)

где ω1∆τ = mФИМ – индекс модуляции при ФИМ.

Частотно-импульсная модуляция. При ЧИМ по закону мгновенного значения сообщения меняется частота импульсов. Таким образом, ширина полосы частот определяется длительностью импульса. Спектр ЧИМ–сигнала совпадает со спектрами ШИМ и ФИМ – сигналов.

Амплитудная манипуляция (АМП). Во многих телемеханических устройствах различного назначения формируются дискретные первичные сигналы в виде некоторой последовательности однополярных или двухполярных прямоугольных импульсов. При амплитудной модуляции этими сигналами гармонического носителя получим сигнал передачи, амплитуда которого имеет толь-

ко два значения: U и 0 , или Umax и Umin. Такой вид модуляции называют амплитудной манипуляцией.

Если модулирующий сигнал меняется во времени от 0 до 1, то амплитуд- но-манипулированный сигнал запишется так:

U	ÀÌÏ	(t) =U	1 − m + 2mC (t) sin ω t,		(2.29)
	ÀÌÏ		1 + m	1
			1 + m

где ω1=2π/T1 – круговая частота носителя; m = (Umax–Umin)/(Umax+Umin) – коэффициент глубины модуляции.

Для построения спектров достаточно знать спектральное разложение модулирующих импульсов C(t), которое затем подставляется в выражение (2.26).

Модулирующие импульсы можно записать в виде ряда Фурье

	1		2	∞	sin(πk / Q)
U (t) =		+		∑	πk / Q	cos kΩ,	(2.30)
	Q
			Q k =1

где Ω=2π/T=2πF – круговая частота повторения импульсов.

Подставив (2.30) в (2.29), получим выражение для спектра АМП-сигнала в виде

ÀÌÏ

(t ) = U

Q (1 − m ) + 2m

sin

ω t +

Q (1 + m )

2mU

∞

sin( πk / Q )

∑

πk / Q

(sin( ω1 + k

Ω)t + sin( ω1 − kΩ)t ) .

(2.31)

Q (1 + m ) k =1

Примеры

спектров

АМП-сигналов при m = 1

и m = 0,5 приведены на

рис. 2.5.

1/2 U

m = 0,5

2/3 U

m = 1

0,32 U

Q = 2

1/3U

Q = 2

0,21U

0,07 U

0,1U

		1	+1/τ	+2/τ					+F +1/τ		+3F
-2/τ	-1/τ	F	+1/τ	+2/τ	-3F -1/τ		-F	1	+F +1/τ		+3F
1	1		1	1	1	1	1	1	1	1	1
F	F		F	F	F F		F	F	F F		F

Рис. 2.5. Cпектры АМП-сигналов

Фазовая манипуляция. При ФМП изменение фазы носителя происходит скачком на любой заранее заданный угол ∆ϕ под действием прямоугольного модулирующего сигнала. Различают абсолютную (АФМП) и относительную (ОФМП) фазовые манипуляции. Обозначив модулирующий сигнал через С(t), запишем модулированный сигнал в следующем виде:

UÔÌÏ (t) =U sin(ω1t +∆ϕ(C(t) −1/ 2)),

(2.32)

где U – амплитуда носителя; ∆ϕ – величина изменения начальной фазы. Такой сигнал изменяет во время модуляции свою начальную фазу от

-∆ϕ/2 до +∆ϕ/2 и обратно при изменении модулирующего сигнала C(t) от 0 до 1 и обратно.

Величину

mÔÌ = ∆ϕ/ 2 ,

(2.33)

характеризующую максимальное отклонение фазы от среднего значения, называют индексом фазовой манипуляции.

После тригонометрических преобразований выражение (2.32) можно записать в следующем виде:

U	ÔÌÏ	(t) =U (sin(ω t − ∆ϕ)cos(∆ϕC(t)) +
	ÔÌÏ		1	2
			∆ϕ	2
		+ cos(ω1t −	∆ϕ	)sin(∆ϕC(t)),	(2.34)
		+ cos(ω1t −	2	)sin(∆ϕC(t)),
			2

или следующий вид

U	ÔÌÏ	(t ) = U		(Q −1 + cos ∆ϕ)2 + sin 2 ∆ϕ sin ω t +
	ÔÌÏ		Q			1
			Q
		∞				(sin( ω1 + kΩ)t + sin( ω1 − kΩ)t ). (2.35)
+	2U	∑ sin( πk / Q ) sin			∆ϕ	(sin( ω1 + kΩ)t + sin( ω1 − kΩ)t ). (2.35)
	Q	k =1	πk / Q		2

Примеры спектров для ФМП сигналов приведены на рис. 2.6.

Q = 2

0,71U

Q = 2

U=0

∆ϕ=±900

0,45U

∆ϕ=1800

0,64U

0,15U

0,21U

F1-1/τ

F1+1/τ

F1-1/τ

F1 F1+1/τ

Рис. 2.6. Спектры ФМП-сигналов

Частотная манипуляция (ЧМП). При частотной манипуляции частота носителя под действием прямоугольного модулирующего сообщения принима-

ет скачком два граничных значения частоты ωmin и ωmax.

Такой сигнал можно представить как сумму двух сигналов с амплитудной манипуляцией, т.е. полученных от двух генераторов с амплитудной манипуляцией. В моменты переключений колебания на одной частоте прекращаются и возникают на другой частоте. Так как фазы в эти моменты могут быть различны, то фаза результирующего сигнала изменяется скачком. Результирующий спектр представлен на рис. 2.7.

\| Ak \|		Ω=2π/T
		Ω=2π/T
		Q=2
	Ω Ω		Ω Ω
	ωmin		ωmax	ω
				ω

	2Ωmax		2Ωmax

Рис. 2.7 Спектр ЧМП-сигнала с разрывом фазы

Обычно для ЧМП изменяют скачкообразно один из параметров генератора несущих колебаний. При таком изменении параметра частота генерируемых колебаний также изменяется скачком, но без разрыва фазы. Отсутствие скачкообразного изменения фазы существенно сказывается на спектре сигнала с ЧМП. Найдём этот спектр, предполагая, что модулирующим сигналом C(t) является последовательность прямоугольных импульсов с периодом T=2π/Ώ.

Тогда ЧМП-сигнал можно записать в виде

U×ÌÏ (t) = U sin(ω1t + ∆ω∫(2C(t) −1)dt),

(2.36)

где U – амплитуда носителя; ∆ω = 2π∆f – девиация частоты, т.е. величина максимального отклонения мгновенной частоты от несущей.

После тригонометрического преобразования получим

U×ÌÏ (t) =U(sinω1t cosψ + cosω1t sinψ),

(2.37)

где ψ = ∆ω∫(2C(t) −1)dt – изменение фазы в результате частотной манипуля-

ции.

Легко найти, что переходная фаза будет меняться по пилообразному закону, так как

T/ 2

∆ω 2π

= mπ,

или ψmax = mπ/ 2 ,

2ψmax = ∆ω ∫

(2C(t) −1)dt =

2Ω

где m = ∆ω/Ω – индекс частотной манипуляции.

В выражении (2.37) cosψ и sinψ – периодические функции, так как из-

менение

фазы

ψ происходит

периодически.

Периодические

функции

f1 = cos ψ и f2 = sin ψ можно разложить в ряды Фурье

∞

f (t) = a0 + ∑ak cos kΩt

+∑bk sin kΩt

k =1

и тем самым найти спектр сигнала.

a 0 ,

ak и b k

следует учесть, что в ин-

При вычислении коэффициентов

тервале

времени от

0 до Т/2

(или

π)

фаза

изменяется по закону

ψ = m(Ωt −π/ 2),

в интервале времени от Т/2 (или π) до Т (или 2π) – по закону

ψ = m(3π/ 2 −Ωt) . Тогда для функции f1(t) =cosψ получим

2π

1 2π

a0 =

∫ f1(t)dΩ1t =

∫cos(Ωt −π/ 2)dΩt +

∫ cos m(3π/ 2 −Ωt)dΩt =

sin m

;

2π

πm

	1	2π	4m		π
ak =		∫ f1(t) cos kΩtdΩ t =		sin m
			π(m2 −k 2 )		2
	2π 0

при чётном k; при нечётном k получается ak = 0

	1	2π
bk =		∫ f1(t) sin kΩtdΩ t =0 при всех k.
	2π
		0

Аналогично для функции f2(t) =sinψ получим:

a0 =0; bk =0;

			1	π
		ak =		∫sin m(Ωt − π/ 2) cos kΩtdΩt +			(2.38)
		ak =		∫sin m(Ωt − π/ 2) cos kΩtdΩt +
	1	2π	2π 0		4m
	1	2π			4m		π
+		∫ sin m(3π/ 2 −Ωt) cos kΩtdΩt =				cos m
+		∫ sin m(3π/ 2 −Ωt) cos kΩtdΩt =			π(m2 − k 2 )	cos m
	2π 0				π(m2 − k 2 )		2

при нечётном k и ak =0 при чётном k.

В результате напряжение после частотной манипуляции записывается в

виде

∞

U×ÌÏ

(t) =U

sin mπ sin ω1t +U ∑

sin m

πcos2kΩt +sin ω1t +

πm

π(m2 −(2k)2 )

k =0

∞

cos mπ cos(2k +1)Ωt cos ω1t.

+U ∑

π(m2 −(2k +1)2 )

k =0

Заменив произведение косинусов и произведение синуса на косинус, окончательно получим

UЧМП

(t) =

(sin

sin ω1t +

2 cosm

cos(ω1 ± Ω)t +

−

± Ω

...).

− 22 sin m

2 sin(ω1

2 −32 cosm

2 cos(ω1

3 )t

Таким образом, спектр состоит из колебаний на несущей частоте ω1 и на боковых частотах ω1 ±kΩ, как в случае гармонического модулирующего сигнала C(t) = cos Ωt , но амплитуды колебаний другие.

Примеры спектров ЧМП-сигналов, рассчитанных по выражению (2.38), показаны на рис. 2.8.

					0,64									m=1,0
				0,50			0,50							m=1,0
				0,50			0,50							Q=2
		0,21						0,21
		0,21						0,21
0,04	0									0		0,04
0,04												0,04
														ω


4-Ω	3-Ω		2-Ω	-Ω	1		+Ω	+2Ω		+3Ω		+4Ω
					1
					ω
1	1	1		1			1	1		1		1
ω	ω		ω	ω			ω	ω		ω		ω
		0,5												m=3
		0,5												Q=2
				0,382										Q=2
	0,273			0,382								0,273
	0,273				0,212							0,273
0					0,212			0						0	ω
0								0						0

5-Ω	4-Ω	3-Ω		2-Ω		-Ω	1	+Ω	+2Ω		+3Ω		+4Ω	+5Ω
5-Ω	4-Ω	3-Ω		2-Ω		-Ω	ω	+Ω	+2Ω		+3Ω		+4Ω	+5Ω
1	1	1		1	1			1	1	1		1		1
ω	ω	ω		ω		ω		ω	ω		ω		ω	ω

Рис. 2.8. Примеры спектров ЧМП-сигналов

Двукратная модуляция: АМ-АМ. АМ-АМ-сигналы в телемеханике используются редко. Однако их шумовые характеристики часто служат эталоном для сравнения различных методов модуляции. Рассмотрим АМ-АМ-сигнал, когда модулированная по амплитуде поднесущая описывается выражением

U ÀÌ (t) = Uω1(1 + mÀÌ cos Ωt) sin ω1t ,

(2.39)

где Uω1 – амплитуда поднесущей; ω1– круговая частота поднесущей; mAM – ко-

эффициент амплитудной модуляции на первой ступени; Ω – круговая частота модулирующего сообщения.

U 0 M .m	U 0 M
4	2
4
	U 0

-Ω	1	+Ω
1	-ω	1
-ω	0	-ω
ω	ω	ω
0		0

ω0

-Ω	1	+Ω
1	+ω	1
+ω	0	+ω
ω	ω	ω
0		0

Рис. 2.9. Спектр сигнала при АМ-АМ

Сигнал UH(t) является модулирующим по отношению к модулирующему колебанию

UÍ (t) =U0 cosω0t .

(2.40)

В соответствии с определением амплитудной модуляции АМ-АМ-сигнал можно записать в виде

U ÀÌ −ÀÌ (t) = (U0 + kUω1(1 + mÀÌ	cos Ωt) cos ω1t) cos ω0t =	(2.41)
= U0 (1 + M AM (1 + mÀÌ cos Ωt) cos ω1t) cos ω0t,		(2.41)
= U0 (1 + M AM (1 + mÀÌ cos Ωt) cos ω1t) cos ω0t,

где MAM = kUω1/U0 – коэффициент амплитудной модуляции на второй ступени. Для получения спектра преобразуем выражение (2.41) и окончательно

получим

U	ÀÌ	− ÀÌ	(t) =U	0	cos ω	t +	U 0 M AM	cos( ω	0	± ω )t +

					0	2				1

+	U 0 M AM m AM		cos( ω0 + ω1 ± Ω)t +				(2.42)

4
+		U 0 M AM mAM		cos( ω	0	− ω ± Ω)t.

4						1

Двукратная модуляция: АМ-ЧМ. При данном сигнале поднесущая модулированная по амплитуде, модулирует носитель по частоте. В соответствии с определением частотной модуляции можно записать выражение для АМ-ЧМ-сигнала, в виде

U ÀÌ −×Ì	(t) =U0 cos(ω0t + kUω ∫(1+ mÀÌ cos Ωt) cos ω1tdt) .	(2.43)
	1

Не раскрывая выражения (2.43), спектр АМ-ЧМ можно построить по следующему правилу: строится спектр полезного сообщения C(t), затем спектр полезного сообщения переносится на частоту поднесущей ω1 по правилам АМ

сигнала, а потом полученный спектр переносится на несущую частоту по правилам ЧМ-сигнала.

Спектр, построенный по рассмотренной выше методике, приведен на рис. 2.10. Следует отметить, что спектр, построенный по данной методике, дает представление о частотном составе спектра, позволяет определить полосу частот, занимаемую сигналом, но не дает возможности определить амплитуды отдельных гармонических составляющих.

ω0-nω1-Ω ω0-nω1 ω0-ω1 ω0 ω0+ω1 ω0+nω1 ω0+nω1+Ω

Рис. 2.10. Спектр сигнала при АМ-ЧМ

Двукратная модуляция: ЧМ-ЧМ. В данном случае сначала сообщением C(t) = UΩ cos Ωt модулируется по частоте поднесущая, а затем ЧМ-сигнал

модулирует по частоте несущую.

В общем случае выражение для ЧМ-ЧМ-сигнала можно записать в следующем виде:

U×Ì −×Ì (t) =U0 cos(ω0t +∫kUω1 cos(ω1t +m×Ì sinΩt)dt) =

U0 cos(ω0t +ωgí ∫cos(ω1t +m×Ì sinΩt)dt) ,	(2.44)

где ωgн = кUω1 – девиация частоты несущей; mЧМ – индекс частотной модуляции поднесущей.

UЧМ-ЧМ

ω0−pω1 ω0−ω1 ω0 ω0+ω1	ω
	ω0+pω1

ω0	−pω1	−nΩ	ω0	+pω1	+nΩ

Рис. 2.11. Спектр сигнала при ЧМ-ЧМ

Расчёт спектра и мощности модулированного сигнала. Определим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью τ и с периодом T. Напряжение такой формы действует в каналах связи и часто рассматривается как основной периодический сигнал при исследовании передачи информации по линии связи.

Для такого сигнала по формулам получаем значения составляющих:

a		A		1	τ 2	τ
0	=	0	=		∫ Udt =U		;
2		2		T		T
					−τ 2

ak =

τ 2

U cos kΩ1tdt =

sin k

π;

∫

kπ

−τ 2

bk = 0 , т.е.

ψk = 0 или π

и Ak

Следовательно, напряжение можно представить рядом Фурье

u(t) =U (

(sin

πcosΩ t

+ 1 sin 2

πcos2Ω t +

T π

(2.45)

∞

sin kΩ1

τ 2

sin 3

πcos3Ω1t +K)) =U

+ ∑2

cos kΩ1t) .

kΩ1 τ

k =1

Поскольку средняя мощность, выделяемая сигналом на активном сопротивлении, равном 1 Ом, складывается из мощностей, выделяемых на этом сопротивлении гармоническими составляющими

	A2	∞	A2
Pñð =	0	+ ∑	k	,	(2.46)
	4		2
		k =1

практическая ширина спектра с энергетической точки зрения может быть определена как область частот, в пределах которой сосредоточена подавляющая часть.

Более полную информацию по расчёту и построению спектров вы можете найти в конспекте лекции по курсу «Телемеханика».

2. Общие сведения о лабораторном макете и руководство по использованию макета

Данный лабораторный макет предназначен для удобного, быстрого и простого проведения опытов по построению спектров модулированных сигналов. Наглядность и лёгкость анализа спектров – большой плюс данного макета.

Для начала работы с макетом необходимо запустить файл Run.bat, после чего вы оказываетесь в среде MATLAB 6.5. Перед вами появляется меню

(рис. 2.12):

Далее в соответствии с вариантом задания на лабораторную работу вы выбираете необходимый вид модуляции (методика проведения работы исследования приведена на примере АМ).

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>